آزمون ریاضی شبیه‌ساز تیزهوشان و نمونه دولتی، تعیین مرکز، و جانمایی نهم به دهم

با دو بار دوران می‌توان پاره‌خط $ab$ را به پاره‌خط $cd$ منتقل کنیم به‌گونه‌ای که نقطهٔ $a$ روی $c$ و نقطهٔ $b$ روی نقطهٔ $d$ منتقل شود.

محل برخورد پاره‌خط‌های $ad$ و $bc$ را $M$ می‌نامیم.

ابتدا $ab$ را $180$ درجه حول نقطهٔ $M$ دوران می‌دهیم. پس از این دوران، نقطهٔ $a$ روی نقطهٔ $d$ و نقطهٔ $b$ روی نقطهٔ $c$ می‌افتد. (چرا؟)

سپس، پاره‌خط دوران یافته را $180$ درجه حول نقطهٔ وسط $cd$ دوران می‌دهیم. دراین‌صورت نقطهٔ $a$ روی نقطهٔ $c$ و نقطهٔ $b$ روی نقطهٔ $d$ می‌افتد.

از طرفی، واضح است که با یک بار دوران نمی‌توان پاره‌خط $ab$ را به پاره‌خط $cd$ منتقل کنیم به‌گونه‌ای که نقطهٔ $a$ روی $c$ و نقطهٔ $b$ روی نقطهٔ $d$ منتقل شود. بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

چون \(x^2+y^2=-2xy\)، پس \(x=-y\).
چرا؟

حال، از \(x^2+y^2=-2xy\) و \(x=-y\)، نتیجه می‌شود:
\[\frac{x^2+y^2}{3x^2+y^2}=\frac{1}{2}.\quad (y\ne0)\]
چگونه؟

واضح است که
\[(B-C)\subseteq A.\]
(چرا؟)

این مسئله با توجه به تعریف زنجیر که در صفحهٔ ۵ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم ارائه شده، طرح شده است.

با توجه به تعریف اعداد گویا: \[\mathbb{Q}=\{\frac{a}{b}\mid a\in\mathbb{Z},b\in\mathbb{N}\}\]
هر چهار عدد داده شده گویا هستند. (چرا؟)

پاسخ تشریحی

می‌دانیم \(a-b\) یک عدد صحیح و \(a+b\) عددی گویا و غیرصحیح است. از طرفی، واضح است که مجموع یک عدد صحیح و یک عدد گویای غیرصحیح، یک عدد گویای غیر صحیح است. پس:
\[(a-b)+(a+b)=2a\] یک عدد گویای غیرصحیح است. در نتیجه:
\[a\in(\mathbb{Q}-\mathbb{Z}).\] بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.
حال، باید نشان دهیم که گزینه‌های دیگر نادرست هستند تا مطمئن شویم که این سؤال درست است.
\(\bullet\) در راه‌حل بالا، نشان دادیم که \(2a\) یک عدد گویای غیرصحیح است. پس، گزینهٔ ۱ نادرست است.
\(\bullet\) اگر گزینهٔ ۲ درست باشد، آنگاه از \((a-b)\in\mathbb{Z}\) نتیجه می‌شود که \(a\) نیز یک عدد صحیح است. پس \(a+b\) نیز عددی صحیح می‌شود که با فرض مسئله در تناقض است. پس گزینهٔ ۲ نادرست است.
\(\bullet\) اگر گزینهٔ ۴ درست باشد، آنگاه \(a+b=0\) که این با فرض \((a+b)\in (\mathbb{Q}-\mathbb{Z})\) در تناقض است. پس گزینهٔ‌ ۴ نیز نادرست است.

برای دو عدد $a$ و $b$، $|a-b|$ یعنی فاصلهٔ این دو عدد روی محور اعداد. فاصلهٔ این دو عدد را با یک پاره‌خط صورتی نشان می‌دهیم.

در شکل بالا فرض کرده‌ایم $b>a$.
بنابه فرض مسئله،
\[\begin{aligned}&6|a-b|=6|b-c|\\&\Rightarrow |a-b|=|b-c|\end{aligned}\]
یعنی فاصلهٔ دو عدد $b$ و $c$ با فاصلهٔ دو عدد $a$ و $b$ برابر است. بنابراین $c>b$. (چرا؟)

پرسش. چرا در حالت $b < a$ نیز همین نتایج به‌دست می‌آید؟

\[\begin{aligned}&\Big(\sqrt[3]{16}-\sqrt[3]{1024}\Big)^3\\&=\Big(\sqrt[3]{8\times2}-\sqrt[3]{512\times2}\Big)^3\\&=\Big(\sqrt[3]{2^3\times2}-\sqrt[3]{2^9\times2}\Big)^3\\&=\Big(2\sqrt[3]{2}-8\sqrt[3]{2}\Big)^3\\&=\big(-6\sqrt[3]{2}\big)^3\\&=(-6)^3\times\big(\sqrt[3]{2}\big)^3\\&=(-6)^3\times2.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

پاسخ تشریحی

\[\begin{aligned}&\sqrt{0.025\times10^{-7}}\\&=\sqrt{25\times10^{-3}\times10^{-7}}\\&=\sqrt{25\times10^{-10}}\\&=5\times10^{-5}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

گستردهٔ این مخروط، قسمتی از یک دایره به شعاع \(\sqrt{5}\) است. زیرا:
\[\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.\]
نسبت کمان حاصل از گستردهٔ روی مخروط به کل دایرهٔ آن برابر است با:
\[x=\frac{r}{r^2+h^2}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}.\]
پس:
\[S=\pi\big(\sqrt{5}\big)^2\frac{\sqrt{5}}{5}=\sqrt{5}\pi.\]

اگر مربع عددی \((x^2)\) به آن \((x)\) اضافه شود، حاصل \(57\) خواهد بود. یعنی: \[\begin{aligned}&x^2+x=57\\&\Rightarrow x(x+1)=57.\end{aligned}\]
واضح است که \(x\) هیچ‌کدام از اعداد داده شده نیست:
\[\begin{aligned}&x=57:\;x(x+1)=57(58)\ne57\\&x=42:\;x(x+1)=42(43)\ne57\\&x=-8:\;x(x+1)=-8(-7)\ne57\\&x=8:\;x(x+1)=8(9)\ne57\\&x=-87:\;x(x+1)=-87(-86)\ne57.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

گزینهٔ ۴ درست است. (چرا؟)

مقدار \(A\) به‌ازای \(x=-3\) برابر است با:
\[\begin{aligned}A&=x^2-3\\&=(-3)^2-3\\&=9-3\\&=6.\end{aligned}\]
مقدار \(B\) به‌ازای \(x=-3\) برابر است با:
\[\begin{aligned}B&=x^3+2x-7\\&=(-3)^3+2(-3)-7\\&=-27-6-7\\&=-40.\end{aligned}\]
در نتیجه، مقدار \(A^2-Bx\) به‌ازای \(x=-3\) برابر است با:
\[\begin{aligned}A^2-Bx&=6^2-(-40)(-3)\\&=36-120\\&=-84.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینه‌ٔ ۲ درست است.