آزمون ریاضی شبیه‌ساز تیزهوشان و نمونه دولتی، تعیین مرکز، و جانمایی نهم به دهم

تعداد اعداد دو رقمی $90$ تا است. اگر حداقل یکی از رقم‌های یک عدد دو رقمی زوج باشد، آن‌وقت حاصل‌ضرب ارقام آن عدد، زوج است. $65$تا عدد دو رقمی وجود دارد که حداقل یکی از ارقام‌ آن زوج است. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

در هر مثلث قائم‌الزاویه، میانهٔ وارد بر وتر نصف وتر است. (تمرین ۲۰ صفحهٔ ۱۰۶ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم را ببینید.)

بنابراین، در شکل بالا، مثلث‌های \(ABM\) و \(ACM\) متساوی‌الساقین هستند. اگر اندازهٔ زاویهٔ \(B\) را با \(b\)، و اندازهٔ زاویهٔ \(C\) را با \(c\) نمایش دهیم، آن‌وقت بنابه قضیهٔ مثلث متساوی‌الساقین داریم:
\[C\widehat{A}M=c,\;B\widehat{A}M=b.\]
در نتیجه، \(c-b=40^\circ\). (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

ضلع چهارم چهارضلعی اول را با \(x\) و ضلع چهارم چهارضلعی دوم را با \(y\) نمایش می‌دهیم:
\[\begin{aligned}&{\color{blue}2},{\color{red}3},{\color{green}4},{\color{brown}x}\\&{\color{blue}4},{\color{brown}5},{\color{red}6},{\color{green}y}.\end{aligned}\]
با توجه به اندازهٔ اضلاع این دو چهارضلعی، نسبت تشابه برابر \(2\) است.
چرا؟

بنابراین: \[\frac{y}{4}=2\Rightarrow y=8.\] پس، محیط چهارضلعی بزرگ‌تر برابر است با:\[4+5+6+8=23.\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

\[\begin{aligned}&\dfrac{a^2-b^2}{ab}-\dfrac{a^2-b^2}{ab-a^2}\\[7pt]&=\dfrac{a^2-b^2}{ab}-\dfrac{(a-b)(a+b)}{a(b-a)}\\[7pt]&=\dfrac{a^2-b^2}{ab}-\dfrac{(a-b)(a+b)}{a(a-b)(-1)}\\[7pt]&=\dfrac{a^2-b^2}{ab}+\dfrac{(a+b)}{a},\quad(a\ne b)\\[7pt]&=\dfrac{a^2-b^2}{ab}+\dfrac{(a+b)b}{ab},\quad(a\ne b)\\[7pt]&=\dfrac{a^2-b^2}{ab}+\dfrac{ab+b^2}{ab},\quad(a\ne b)\\[7pt]&=\frac{a^2+ab}{ab},\quad(a\ne b)\\[7pt]&=\frac{a(a+b)}{ab},\quad(a\ne b)\\[7pt]&=\frac{a+b}{b}.\quad(a\ne b,\,a\ne0)\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

چون تعداد افرادی که تنها به یک ورزش علاقه دارند، \(21\) نفر است، پس \(m=4\). (چرا؟)

پس \(25\) نفر تنها به \(2\) ورزش علاقه‌مند هستند.

گزینهٔ ۱ درست است.
چرا؟

گزینهٔ ۲ ناردست است.
چرا؟

گزینهٔ ۳ نادرست است.
چرا؟

گزینهٔ ۴ نادرست است.
چرا؟

زیرمجموعه‌های \(4\)عضوی، \(5\)عضوی، و \(6\)عضوی \(A\) حداقل در دو عضو مشترک هستند. تعداد این زیرمجموعه‌ها \(22\)تا است. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

پاسخ تشریحی

اگر \(A\) عددی مثبت باشد، آنگاه: \[\frac{A}{|A|}=\frac{A}{A}=1.\]
اگر \(A\) عددی منفی باشد، آنگاه: \[\frac{A}{|A|}=\frac{A}{-A}=-1.\]
چون \(xyz < 0\)، پس از بین سه متغیر \(x\)، \(y\)، و \(z\)، دوتای آنها هم‌علامتند.
\(\bullet\) اگر از بین \(x\)، \(y\)، و \(z\)، دوتا متغیر، مثبت باشند و دیگری منفی، آنگاه داریم:
\[\begin{aligned}&\frac{x}{|x|}+\frac{y}{|y|}+\frac{z}{|z|}+{\color{red}\frac{xyz}{|xyz|}}\\[7pt]&=1+1+(-1)+{\color{red}(-1)}\\&=0.\end{aligned}\]
\(\bullet\) اگر از بین \(x\)، \(y\)، و \(z\)، دوتا متغیر، منفی باشند و دیگری مثبت، آنگاه داریم:
\[\begin{aligned}&\frac{x}{|x|}+\frac{y}{|y|}+\frac{z}{|z|}+{\color{red}\frac{xyz}{|xyz|}}\\[7pt]&=-1+(-1)+1+{\color{red}(-1)}\\&=-2.\end{aligned}\] بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

اگر \(x < 0\)، آن‌وقت:
\[\Big|24-3|2x-7|+\sqrt[3]{-27x^3}\Big|=-3x-3.\]
(چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

گستردهٔ این مخروط، قسمتی از یک دایره به شعاع \(\sqrt{5}\) است. زیرا:
\[\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.\]
نسبت کمان حاصل از گستردهٔ روی مخروط به کل دایرهٔ آن برابر است با:
\[x=\frac{r}{r^2+h^2}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}.\]
پس:
\[S=\pi\big(\sqrt{5}\big)^2\frac{\sqrt{5}}{5}=\sqrt{5}\pi.\]

کافی است خارج‌قسمت تقسیم $100$ بر $7$ را به‌دست آوریم:
\[100=7\times14+2.\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

در زیر، مثالی از رنگ‌آمیزی اعداد یک تا صد با شرایط این مسئله، آمده است.
\[\begin{aligned}&{\color{blue}1},\dots,{\color{blue}6},{\color{red}7},\\&{\color{blue}8},\dots,{\color{blue}13},{\color{red}14},\\&{\color{blue}15},\dots,{\color{blue}20},{\color{red}21},\\&\quad\vdots\\&{\color{blue}92},\dots,{\color{blue}97},{\color{red}98},\\&{\color{blue}99},{\color{blue}100}.\end{aligned}\]

مقدار \(A\) به‌ازای \(x=-3\) برابر است با:
\[\begin{aligned}A&=x^2-3\\&=(-3)^2-3\\&=9-3\\&=6.\end{aligned}\]
مقدار \(B\) به‌ازای \(x=-3\) برابر است با:
\[\begin{aligned}B&=x^3+2x-7\\&=(-3)^3+2(-3)-7\\&=-27-6-7\\&=-40.\end{aligned}\]
در نتیجه، مقدار \(A^2-Bx\) به‌ازای \(x=-3\) برابر است با:
\[\begin{aligned}A^2-Bx&=6^2-(-40)(-3)\\&=36-120\\&=-84.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینه‌ٔ ۲ درست است.