آزمون آنلاین ریاضی نهم- فصل‌های ۱ و ۲

تعدادی از دانش‌آموزان «علامهٔ حلّی» و «فرزانگان» را به اردوی راهیان نور برده‌اند. تعداد دانش‌آموزانی که از «علامهٔ حلّی» در اردو شرکت کرده‌اند، برابر است با تعداد دانش‌آموزانی که از «فرزانگان» در اردو شرکت نکرده‌اند. تعداد دانش‌آموزانی که در اردو شرکت کرده‌اند بیشتر است یا تعداد دانش‌آموزان فرزانگان؟

مجموعه‌های \(A\)، \(B\)، و \(C\) به‌صورت زیر تعریف می‌شوند.
\[\begin{aligned}A&=\{2x\mid x\in\mathbb{Z}\}\\B&=\{3x\mid x\in\mathbb{Z}\}\\C&=\{5x\mid x\in\mathbb{Z}\}.\end{aligned}\]
کدام عبارت (عبارت‌ها)، مجموعه‌ای است که در نمودار ون زیر مشخص شده است؟

اگر $A=\{4,5,a\}$، $B=\{1,b,5,7\}$ و $A\cup B=\{5,7,1,2,6,c\}$، آنگاه مقدار $a+b+c$ برابر است با:

اگر $A=\{\sqrt{2},\sqrt{3},1,2,3,4,5,6\}$، $B=\{x\mid x\in\mathbb{N}, 3\leq x\leq 8\}$ و $C=\{x\mid x^2\in \mathbb{Z},-2\leq x\leq 2\}$، آنگاه ناحیه‌های هاشور خوردهٔ شکل زیر، چند عضو دارد؟

فرض کنید $M=\{1,2,3,4,5,6,7\}$. یک زنجیر از زیرمجموعه‌های \(M\) داریم که \(\{1\}\) و \(\{1,3,5,7\}\) اعضای این زنجیر هستند. این زنجیر، حداکثر چند عضو دیگر (به‌غیر از \(\{1\}\) و \(\{1,3,5,7\}\)) می‌تواند داشته باشد؟

اگر $x$ عددی صحیح باشد، آنگاه عبارت زیر با چه اعدادی می‌تواند برابر باشد؟
\[n\big(\{1,-1,x\}\otimes\{1,0,-1\}\big)\]
(نماد \(\otimes\)، نماد ضرب دونه‌به‌دونه است که تعریف آن در صفحهٔ ۷ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم آمده است.)

می‌خواهیم با سه تکه پارچهٔ هم‌عرض، پرچمی با سه رنگ متفاوت بدوزیم که در آن سه تکه افقی دوخته شوند. می‌توانیم پارچهٔ بالا را یکی از رنگ‌های سبز، آبی، قهوه‌ای یا مشکی، پارچهٔ میانی را یکی از رنگ‌های سفید، صورتی یا بنفش و پارچهٔ پایینی را یکی از رنگ‌های قرمز یا زرد انتخاب کنیم. اگر همهٔ حالت‌هایی را که می‌توان با شرایط گفته شده پرچم دوخت، مجموعهٔ $S$ بنامیم، تعداد اعضای مجموعهٔ $S$ با تعداد اعضای کدام‌ مجموعه (مجموعه‌های) زیر برابر است؟

صفحهٔ چرخندهٔ زیر را سه بار می‌چرخانیم و هر بار اعداد روبه‌روی عقربه را می‌خوانیم و به ترتیب از چپ به راست می‌نویسیم. احتمال اینکه عدد سه‌رقمی حاصل، مضرب \(3\) باشد چقدر است؟

اگر طول دورهٔ گردش در نمایش اعشاری عدد $a$ و $b$ به‌ترتیب \(2\) و \(3\) باشد، عددهایی را که می‌توانند طول دورهٔ گردش در نمایش اعشاری عدد $a\times b$ باشند، علامت بزنید. (برای مشاهدهٔ تعریف طول دورهٔ گردش، اینجا را کلیک کنید.)

برای پنج عدد متفاوت $a$، $b$، $c$، $d$، و $e$ می‌دانیم رابطهٔ زیر برقرار است:
\[6|a-b|=6|b-c|=3|c-d|=2|d-e|\]
عبارت‌های درست را علامت بزنید.