تست هوش پیشرفته (۲۵ آزمون هوش آنلاین)

پاسخ تشریحی

برای حل این مسئله کافی است مسیر برعکس را پیدا کنیم؛ یعنی ابتدا خانه‌ای را پیدا کنیم که خانهٔ بعدی آن، خانهٔ گنج است. همان‌طور که در شکل زیر می‌بینید، فقط از خانهٔ زردرنگ می‌توان به خانهٔ گنج رفت.

و در مرحلهٔ بعد، خانهٔ قبلی خانهٔ زردرنگ را پیدا کنیم و همین‌طور ادامه دهیم تا به‌خانهٔ اول برسیم. در شکل زیر، خانهٔ شروع (\(1\)) و خانه‌های بعدی به‌ترتیب شماره‌گذاری شده‌اند.

پاسخ تشریحی

از ساعت \(10\) صبح تا \(12\) ظهر، \(2\) ساعت یا \(2\times60=120\) دقیقه است. با توجه به صورت مسئله، این \(2\) ساعت به یک \(9\) دقیقه و سه قسمت برابر (دو قسمت از \(10\) صبح تا \(9\) دقیقه قبل از الان، و یک قسمت از الان تا \(12\)) تقسیم شده است. پس هریک از این قسمت‌ها برابر است با:
\[\begin{aligned}&(120-9)\div3\\&=111\div3\\&=37.\end{aligned}\] یعنی \(37\) دقیقهٔ دیگر ساعت \(12\) می‌شود.

پاسخ تشریحی

پاسخ به صورت، \(30,\,18,\,48,\,66\) است.
با شروع از بالا در هر ستون، هر دو عدد متوالی را با هم جمع کنید تا به عدد بعدی برسید. برای ستون اول داریم:
\[\begin{aligned}3+8&=11\\8+11&=19\\11+19&=30\end{aligned}\]
و به همین ترتیب برای ردیف آخر ستون‌های بعدی داریم:
\[\begin{aligned}8+10&=18\\19+29&=48\\27+39&=66\end{aligned}\]

چون پول علی چهار برابر پول جمال، و پول جمال سه برابر پول سوسن است، پس پول علی دوازده برابر پول سوسن است. بنابراین، اگر \(192\) هزار تومان را به \(16\) قسمت مساوی تقسیم کنیم، آن‌وقت \(1\) قسمت آن سهم سوسن، \(3\) قسمت آن سهم جمال و \(12\) قسمت آن سهم علی است. در نتیجه، سهم سوسن، جمال، و علی به‌ترتیب برابر \(12\) هزار تومان، \(36\) هزار تومان، و \(144\) هزار تومان است. زیرا:
\[\begin{aligned}&192\div16=12\\&12\times3=36\\&12\times12=144.\end{aligned}\]

پاسخ تشریحی

اعداد دنبالهٔ داده شده را به‌ دو دسته تقسیم می‌کنیم:
\[{\color{red}6\frac{7}{8}},\,{\color{blue}2\frac{9}{16}},\,{\color{red}5\frac{5}{8}},\,{\color{blue}3\frac{13}{16}},\,{\color{red}4\frac{3}{8}},\,{\color{blue}?}\]
اعداد قرمز از \(6\frac{7}{8}\) شروع می‌شوند و برای به‌دست آوردن اعداد بعدی باید \(1\frac{1}{4}\) از عدد قبلی کم کرد:
\[\begin{aligned}&6\frac{7}{8}-1\frac{1}{4}=5\frac{5}{8}\\[7pt]&5\frac{5}{8}-1\frac{1}{4}=4\frac{3}{8}\end{aligned}\]
اعداد آبی از \(2\frac{9}{16}\) شروع می‌شوند و برای به‌دست آوردن اعداد بعدی باید \(1\frac{1}{4}\) به عدد قبلی اضافه کرد:
\[\begin{aligned}&2\frac{9}{16}+1\frac{1}{4}=3\frac{13}{16}\\[7pt]&3\frac{13}{16}+1\frac{1}{4}=5\frac{1}{16}.\end{aligned}\]

این سؤال که در دو قسمت از برنامه هوشیار مطرح شده است، یک دنباله عددی نیست بلکه یک کد است. اگر حروف الفبا را به ترتیب شماره گذاری کنیم دنبالهٔ \(31,30,16,32,1,12\) متناظر با واژهٔ هوشیار است.

سؤالات مسابقهٔ هوشیار را حتماً حل کنید.

همه سؤالات مسابقه هوشیار

پاسخ تشریحی

ترکیب هر دو کلمهٔ پشت هم، عبارت جدیدی می‌سازد.
گارگزار
پیگردِ قانونی
صلاحدید

در شکل بالا، قسمت سمت چپ پایین متعادل است. زیرا:
\[6\times{\color{red}1}=2\times{\color{red}3}.\] توجه کنید که اعداد \(1\) و \(3\) در رابطهٔ بالا، فاصلهٔ وزنه‌ها از خط مشخص شده در شکل زیر هستند.

وزن سمت چپ برابر است با:
\[\begin{aligned}&(6+2)\times{\color{red}7}\\&=8\times7\\&=56.\end{aligned}\] توجه کنید که عدد \(7\) در رابطهٔ بالا، فاصلهٔ خط آبی از خط قرمز در شکل زیر است.

و وزن سمت راست برابر است با: \[\begin{aligned}&4\times{\color{red}11}+3\times{\color{red}4}\\&=44+12\\&=56.\end{aligned}\] توجه کنید که اعداد \(11\) و \(4\) فاصله‌ٔ وزنه‌های سمت راست از خط مشخص شده در شکل زیر است.

کاشی C3 باید با کاشی گزینهٔ C جایگزین شود.

توجه کنید که در هر سطر و ستون دو کاشی اول و دوم را روی هم قرار می‌دهیم تا کاشی سوم حاصل شود با این شرط که خطوطی که روی می‌افتند حذف می‌شوند.

عدد \(569\) در مربع سمت چپ و عدد \(986\) در مربع سمت راست است.
تمام اعداد در دو مربع به‌جز دو عدد \(569\) و \(986\) به صورت دوتایی دارای ارقام یکسان با ترتیب متفاوت هستند. به عنوان مثال در مربع سمت چپ عدد \(749\) و در مربع سمت راست عدد \(479\) را داریم. به همین صورت جفت‌های \(682\) و \(268\)، \(382\) و \(238\)، \(516\) و \(165\)، \(578\) و \(758\)، \(129\) و \(291\) را مشاهده می‌کنید.

پاسخ تشریحی

شکل زیر، پاسخ این مسئله است.

اگر شکل بالا را به شکل داده شده بچسبانیم، مربع زیر ساخته می‌شود.

مجموع سن مرجان، مهتاب، مریم، و بهار برابر است با: \[29+57=86.\] پس سن مونا برابر است با: \[107-86=21.\] از طرفی، چون مجموع سن مونا و بهار برابر \(46\) است، پس سن بهار برابر است با: \[46-21=25.\] مجموع سن مریم و بهار برابر \(57\) است، پس سن مریم برابر است با: \[57-25=32.\] مجموع سن مهتاب و مریم برابر \(44\) است، پس سن مهتاب برابر است با: \[44-32=12.\] مجموع سن مرجان و مهتاب برابر \(29\) است، پس سن مرجان برابر است با: \[29-12=17.\]

پاسخ تشریحی

حرف مقابل «ث»، حرف «آ» است. دو حرف بعد از «آ»، در جهت عقربه‌های ساعت، حرف «پ» است. و حرف مقابل «پ»، حرف «چ» است.

پاسخ، عدد ۶ است.
در سمت چپ جدول،‌ هر سطر را یک عدد سه رقمی در نظر بگیرید. دراین‌صورت مجموع عدد سطر اول و عدد سطر سوم برابر است با عدد سطر دوم:
\[498+379=877\]

در هر خانه، رقم‌ها را باهم جمع می‌کنیم و حاصل را در خانهٔ زیر آن می‌نویسیم. بنابراین، گزینهٔ زیر، پاسخ مسئله است.

پاسخ تشریحی

رومیزی به هیچ نوعی از انواع خوراکی اشاره نمی‌کند. گزینه‌های دیگر عبارتند از:
قیمه‌پلو
کشک بادنجان
کته کباب
ماست و خیار

پاسخ تشریحی

بان در هر 4کلمه می‌تواند کلمه‌ و معنا را تغییر دهد.
محیط‌بان
سوزن‌بان
نگهبان
پارکبان

پاسخ تشریحی

اعداد $180$ و $120$ باید جابه‌جا شوند.

با روند زیر، هر عدد الگوی اول از عدد قبلی‌اش ساخته می‌شود:

\[\times 2,\times 3,\times 2,\times 3,\times 2\]

با روند زیر، هر عدد الگوی دوم از عدد قبلی‌اش به‌دست می‌آید:

\[\times 3,\times 2,\times 3,\times 2,\times 3\]

پاسخ، به صورت "4 3 5 1 2" یا "2 1 5 3 4" است.
توجه کنید که مجموع اعداد \(1\) تا \(5\) برابر با \(15\) است. بنابراین طبق شرط اول دو عدد \(2\) و \(4\) باید در دو دایرۀ بیرونی باشند.

پاسخ تشریحی

چون مرد شلخته، \(21\) لنگه جوراب آبی و \(17\) لنگه جوراب قرمز دارد، پس اگر او \(21+17=38\) لنگه جوراب بردارد، ممکن است که هیچ لنگه جوراب سیاهی بر نداشته باشد. بنابراین، برای اینکه صد در صد مطمئن شود که حتماً یک جفت جوراب سیاه برداشته است، باید \(38+2=40\) لنگه جوراب برداشته باشد.

پاسخ تشریحی

پاسخ، عدد \(16\) در بالا و عدد \(10920\) در پایین است.
عدد بالایی در هر لوزی از حاصل جمع ارقام اعداد لوزی قبل از خود به دست می‌آید و عدد پایینی در هر لوزی از حاصل ضرب دو عدد درون لوزی قبل از خود حاصل می‌شود.
بنابراین برای قسمت بالایی داریم:
\[1+3+8+4+0=16.\]
و برای قسمت پایینی داریم:
\[13\times840=10920.\]

پاسخ تشریحی

همهٔ کلمات داده شده، به‌جز هولناک، بار معنایی مثبت دارند.

پاسخ تشریحی

سطر اول را عددی یک‌رقمی، سطر دوم را عددی دورقمی، سطر سوم را عددی سه‌رقمی و سطر چهارم را عددی چهاررقمی در نظر بگیرید. اگر عدد هر سطر را در \(8\) ضرب کنیم، عدد سطر بعدی به‌دست می‌آید:
\[\begin{aligned}&9\times{\color{red}8}=72\\&72\times{\color{red}8}=576\\&576\times{\color{red}8}=4608.\end{aligned}\]
بنابراین، به‌جای علامت سؤال باید عدد \(0\) قرار بگیرد.

از قضیهٔ خطوط موازی و مورب نتیجه می‌شود که زاویهٔ \(x\)، مکمل زاویهٔ \(110^\circ\) است. پس \[\begin{aligned}&x+110^\circ=180^\circ\\&\Rightarrow x=70^\circ.\end{aligned}\]

مطابق شکل زیر، یکی از ضلع‌های زاویهٔ \(y\) را امتداد می‌دهیم تا خط افقی پایین را در نقطهٔ‌ \(A\) قطع کند.

بنابه قضیهٔ خطوط موازی و مورب، اندازهٔ زاویهٔ \(A\) برابر \(80\) درجه است. پس، بنابه قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث (در مثلث \(ABC\)) داریم:
\[\begin{aligned}A\widehat{C}B&=180^\circ-70^\circ-80^\circ\\&=30^\circ.\end{aligned}\]
در نتیجه روی خط \(AC\) داریم:
\[\begin{aligned}&30^\circ+90^\circ+y=180^\circ\\&\Rightarrow y=180^\circ-120^\circ\\&\Rightarrow y=60^\circ.\end{aligned}\]

پس:
\[x+y=70^\circ+60^\circ=130^\circ.\]
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

می‌دانیم که \(A\) مجموعه‌ای ناتهی است. پس \(n(A\cup B)\ne0\). همچنین، می‌دانیم:
\[n(A\cup B)=n(A-B)+n(B-A)+n(A\cap B).\] پس هر سه مقدار \(n(A-B)\)، \(n(B-A)\)، و \(n(A\cap B)\) نمی‌توانند برابر \(0\) باشند.

حال، با توجه به رابطهٔ \[\begin{aligned}&3 \times n(A-B)\\& = 2 \times n(B-A)\\& = 5 \times n(A \cap B)\end{aligned}\] و اینکه می‌خواهیم حداقل مقدار \(n(B)\) را بیابیم، باید کوچک‌ترین عدد طبیعی را پیدا کنیم که هم بر \(2\)، هم بر \(3\)، و هم بر \(5\) بخش‌پذیر باشد. واضح است که این عدد ک‌م‌م سه عدد \(2\)، \(3\)، و \(5\) است؛ یعنی \(30\). بنابراین:
\[\begin{aligned}&n(A-B)=10\\&n(B-A)=15\\&n(A\cap B)=6.\end{aligned}\] در نتیجه:
\[\begin{aligned}n(B)&=n(B-A)+n(A\cap B)\\&=15+6\\&=21.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

گزینهٔ ۲ نادرست است. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

\(A=\{5,8,11,14,\dots,302\}\). (چرا؟)

بنابراین گزینهٔ ۲ درست است.

\[\begin{aligned}&2\sqrt[3]{A}=\frac{2}{3}\\[7pt]&\Rightarrow\sqrt[3]{A}=\frac{1}{3}\\[7pt]&\Rightarrow\big(\sqrt[3]{A}\big)^3=\big(\frac{1}{3}\big)^3\\[7pt]&\Rightarrow A=\frac{1}{3^3}\\[7pt]&\Rightarrow\sqrt{A}=\sqrt{\frac{1}{3^3}}\\[7pt]&\Rightarrow\sqrt{A}=\frac{1}{\sqrt{3^3}}\\[7pt]&\Rightarrow\sqrt{A}=\frac{1}{3\sqrt{3}}\\[7pt]&\Rightarrow3\sqrt{A}=\frac{1}{\sqrt{3}}\\[7pt]&\Rightarrow3\sqrt{A}=\frac{1}{\sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\[7pt]&\Rightarrow3\sqrt{A}=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

\(0.25=2^{-2}\) (چرا؟)

گزینهٔ ۳ صحیح است.
در بقیهٔ گزینه‌ها طول و عرض نقطه‌های داده شده عضو مجموعه اعداد گویا یا مجموعه اعداد گنگ هستند که نمی‌توانیم آن‌ها را در صفحه مختصات نمایش دهیم.

ارتفاع استوانه را با \(h\) نمایش می‌دهیم.
\[\begin{aligned}&\frac{4}{3}\pi a^3=\pi\big(\frac{3}{2}\big)^2\times h\\[8pt]&\frac{12}{3}=\frac{h}{4}\Rightarrow h=16.\end{aligned}\]

اگر \(a<0\)، \(b>0\)، و \(c<0\)، آن‌وقت:

\(\bullet\) عبارت \(ab^2c\) مثبت است. (چرا؟)

\(\bullet\) عبارت \((b-a)^3\) مثبت است. (چرا؟)

\(\bullet\) عبارت \(ac^2-b^2c\) ممکن است مثبت، منفی، یا صفر باشد. (چرا؟)

\(\bullet\) عبارت \(\dfrac{a^3b^3}{b^6c^2}\) منفی است.

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

مسئله‌های مشابه

تمرین ۲ صفحهٔ ۶۰ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم

توجه کنید که بنابه گفتهٔ مسئله $a$ و $b$ اعدادی صحیح هستند؛ یعنی فقط $x$ را باید متغیر در نظر گرفت.
\[\begin{aligned}&(x^2+ax+1)(x+b)\\&=x^2(x+b)+ax(x+b)+1(x+b)\\&=x^3+bx^2+ax^2+abx+x+b\\&=x^3+(b+a)x^2+(ab+1)x+b.\end{aligned}\]
پس، اگر به‌جای $a$ و $b$ هر عدد صحیحی قرار دهیم، تعداد جمله‌های حاصل‌ضرب نمی‌تواند بیشتر از چهارتا باشد.

بنابراین، تعداد جمله‌های حاصل‌ضرب نمی‌تواند پنج‌تا باشد.

برای اینکه بدانیم سؤال درست است یا نه، باید نشان دهیم که تعداد جمله‌های حاصل‌ضرب می‌تواند دوتا، سه‌تا یا چهارتا باشد؛ برای اثبات این ادعا کافی است برای هریک از مواردی که گفتیم حداقل یک مثال بیاوریم.
مثال برای چهار جمله؟

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

پرسش. چند عدد صحیح مانند $a$ و $b$ وجود دارد به‌طوری‌که حاصل عبارت $(x^2+ax+1)(x+b)$، چهار جمله داشته باشد؟ در صورت وجود، حداقل دو مثال برای $a$ و $b$ بیاورید.
چند عدد صحیح مانند $a$ و $b$ وجود دارد به‌طوری‌که حاصل عبارت $(x^2+ax+1)(x+b)$، سه جمله داشته باشد؟ در صورت وجود، حداقل دو مثال برای $a$ و $b$ بیاورید.
چند عدد صحیح مانند $a$ و $b$ وجود دارد به‌طوری‌که حاصل عبارت $(x^2+ax+1)(x+b)$، دو جمله داشته باشد؟ در صورت وجود، حداقل دو مثال برای $a$ و $b$ بیاورید.