نهم. فصل ۳. قضیهٔ زاویهٔ خارجی مثلث

قضیهٔ زاویه خارجی مثلث. اندازهٔ هر زاویهٔ خارجی در یک مثلث دلخواه برابر است با مجموع اندازه‌های زاویه‌های داخلی غیرمجاورش.

فرض. یک مثلث دلخواه داریم.
حکم. اندازهٔ هر زاویهٔ خارجی در این مثلث برابر است با مجموع اندازه‌های زاویه‌های داخلی غیرمجاورش.

اثبات. مطابق شکل زیر، فرض کنیم زاویهٔ \(ACD\) زاویهٔ خارجی مثلث \(ABC\) باشد. می‌خواهیم ثابت کنیم \(A\widehat{C}D=\widehat{A}+\widehat{B}\).

واضح است: \[\begin{aligned}&A\widehat{C}B+A\widehat{C}D=180^\circ\\&\Rightarrow A\widehat{C}D=180^\circ-A\widehat{C}B.\quad(1)\end{aligned}\]
از طرفی، بنابه قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث داریم:
\[\begin{aligned}&\widehat{A}+\widehat{B}+A\widehat{C}B=180^\circ\\&\Rightarrow\widehat{A}+\widehat{B}=180^\circ-A\widehat{C}B.\quad(2)\end{aligned}\]
از رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) نتیجه می‌شود:
\[A\widehat{C}D=\widehat{A}+\widehat{B}.\]