آزمون ریاضی شبیه‌ساز تیزهوشان و نمونه دولتی، تعیین مرکز، و جانمایی نهم به دهم

در آزمایش ریختن دو تاس مشابه، احتمال \(4\) بودن مجموع دو عدد رو شده برابر \(\frac{3}{36}\) است. (چرا؟)

قبل از خواندن راه‌حل این مسئله، راهنمای حل تمرین ۸ صفحهٔ ۹۷ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم را دقیق بخوانید.

از محل ایستادن حسین، خطی موازی با خط دروازه رسم می‌کنیم (خط زرد در شکل زیر). فاصلهٔ همهٔ نقاط روی خط زرد از خط دروازه برابر ۵ متر است.(؟) از تیر دروازه خطی بر خط دروازه عمود کرده‌ایم؛ این عمود، خط زرد را در نقطهٔ $P$ قطع کرده است.

واضح است نقاطی از خط زرد که در سمت چپ نقطهٔ $P$ قرار دارند، جواب مسئله نیستند.(؟)

مسئله از ما چه می‌خواهد؟!

اگر ثابت کنیم که \(HK=HT\)، آن‌وقت چون \(SH+HK\) کوتاهترین فاصلهٔ بین \(S\) و \(K\) است، پس، \(SH+HT\) نیز کوتاهترین مسیر برای توپ در این مسئله است. (تمرین ۸ صفحهٔ ۹۷ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم را ببینید.)

مثلث $STK$ قائم‌الزاویه است ($K\widehat{T}S=90^\circ$)، $KT=10$، و $ST=24$. (چرا؟)

در ادامه، برای پیدا کردن فاصلهٔ‌ حسین از سعید (طول $HS$)، ابتدا طول $KS$ را به‌دست می‌آوریم و سپس، ثابت می‌کنیم که طول $KS$ دوبرابر طول $HS$ است.

به‌سادگی می‌توان ثابت کرد: \[HK=HT.\quad(1)\] (چگونه؟)

اکنون با توجه به رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) داریم: \[HS=HK\] یعنی طول \(KS\) دوبرابر طول \(HS\) است.

حال، با به‌کارگیری قضیهٔ فیثاغورس در مثلث $STK$ داریم:
\[KS=26\quad (1)\]
(چرا؟)

در نتیجه:
\[\begin{aligned}HT=HS&=\frac{KS}{2}\\[7pt]&=\frac{26}{2}\\[7pt]&=13.\end{aligned}\]

بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

ایرادهای فوتبالی مسئله!

عرض زمین فوتبال حداقل ۴۵ متر است.
فاصلهٔ حسین از خط دروازه ۵ متر است. پس باتوجه‌به ابعاد محوطهٔ دروازه‌بان (محوطهٔ ۶ قدم)،  جایگاه حسین در شکل، درست نیست.
طول دروازهٔ فوتبال ۷ متر و ۳۲ سانتی‌متر است.

برای کسب اطلاعات بیشتر دربارهٔ زمین فوتبال، اینجا را کلیک کنید.

اندازهٔ هریک از زاویه‌های نُه‌ضلعی منتظم داده شده برابر است با:
\[\frac{(9-2)\times180^\circ}{9}=\frac{7\times180^\circ}{9}=140^\circ.\]
بنابراین، می‌توان اندازهٔ چهار زاویهٔ چهارضلعی زردرنگ شکل زیر را به‌دست آورد.

می‌دانیم که مجموع زاویه‌های هر چهارضلعی برابر \(360^\circ\) است(؟). پس اندازهٔ زاویه‌ای که با علامت سؤال مشخص شده، برابر است با:
\[360^\circ-40^\circ-220^\circ-40^\circ=60^\circ.\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

در کسر داده شده باید داشته باشیم:
\[\begin{aligned}&x\ne0,\\&x^2-4\ne0\Rightarrow(x-2)(x+2)\ne0\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&x\ne2\\&x\ne-2.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

در بین اعدادِ
\[0.\overline{1}, 0.\overline{2}, 0.\overline{3}, \dots , 0.\overline{1396}\]اعداد برابر را پیدا می‌کنیم:
\[\begin{aligned}&0.\overline{1}=0.\overline{11}=0.\overline{111}=0.\overline{1111}\\&0.\overline{2}=0.\overline{22}=0.\overline{222}\\&0.\overline{3}=0.\overline{33}=0.\overline{333}\\&0.\overline{4}=0.\overline{44}=0.\overline{444}\\&0.\overline{5}=0.\overline{55}=0.\overline{555}\\&0.\overline{6}=0.\overline{66}=0.\overline{666}\\&0.\overline{7}=0.\overline{77}=0.\overline{777}\\&0.\overline{8}=0.\overline{88}=0.\overline{888}\\&0.\overline{9}=0.\overline{99}=0.\overline{999}\\&0.\overline{10}=0.\overline{1010}\\&0.\overline{12}=0.\overline{1212}\\&0.\overline{13}=0.\overline{1313}\\\end{aligned}\]
در نتیجه، تعداد اعضای این مجموعه برابر است با:
\[1396-22=1374.\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

\[\Big\{\frac{9}{2},\frac{10}{3},\frac{11}{4},\dots,\frac{1399}{1392}\Big\}\neq \Big\{x\in\mathbb{Q}\mid \frac{1399}{1392}\leq x\leq \frac{9}{2}\Big\}.\]
(چرا؟)

بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

\[\begin{aligned}&\big||x|-\sqrt{3}\big|=\sqrt{2}\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&|x|-\sqrt{3}=\sqrt{2}\\&|x|-\sqrt{3}=-\sqrt{2}\end{aligned}\right.\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&|x|=\sqrt{2}+\sqrt{3}\\&|x|=-\sqrt{2}+\sqrt{3}.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
پس:
\[\begin{aligned}&|x|=\sqrt{2}+\sqrt{3}\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&x=\sqrt{2}+\sqrt{3}\\&x=-\big(\sqrt{2}+\sqrt{3}\big)=-\sqrt{2}-\sqrt{3}\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
و
\[\begin{aligned}&|x|=-\sqrt{2}+\sqrt{3}\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&x=-\sqrt{2}+\sqrt{3}\\&x=-\big(-\sqrt{2}+\sqrt{3}\big)=\sqrt{2}-\sqrt{3}.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

پاسخ تشریحی

\[\begin{aligned}&\sqrt{0.025\times10^{-7}}\\&=\sqrt{25\times10^{-3}\times10^{-7}}\\&=\sqrt{25\times10^{-10}}\\&=5\times10^{-5}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

\[\begin{aligned}&\frac{4}{3}\pi(3)^3-\frac{4}{3}\pi(2)^3\\&=\frac{4}{3}\pi(27)-\frac{4}{3}\pi(8)\\&=\frac{4}{3}\pi(27-8)\\&=\frac{4}{3}\pi(19)\\&=\frac{76}{3}\pi.\end{aligned}\]

توجه کنید که در عبارتِ
\[\frac{1}{1\times 2}-\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{5\times 6}-\frac{1}{7\times 8}+\cdots \frac{1}{99\times 100}\]
علامت کسر $\dfrac{1}{99\times 100}$ مشخص نشده است؛ ابتدا باید علامت این کسر را معلوم کنیم.
در عبارت داده شده علامت کسر $\dfrac{1}{99\times 100}$، منفی است. (چرا؟)

مسئلهٔ مشابه

تمرین ۹ صفحهٔ ۱۳ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم

گزینهٔ ۴ درست است. (چرا؟)

با جایگذاری مقدار به‌جای $a$ و $b$ می‌توان گزینهٔ درست را یافت. چون $a+b=10$، قرار می‌دهیم $a=10$ و $b=0$؛ دراین‌صورت داریم:‌
\[\begin{aligned}&5a^2+a^2b+ab^2+5b^2\\&=5(10)^2+(10^2)(0)+(10)(0)^2+5(0)^2\\&=5\times 100\\&=500.\end{aligned}\]
پس گزینهٔ ۳ درست است.

پرسش. اگر هر عدد دیگری به‌جای $a$ و $b$ انتخاب کنیم به‌طوری‌که $a+b=10$، آیا بازهم حاصل $5a^2+a^2b+ab^2+5b^2$ برابر ۵۰۰ است؟
پاسخ. بله!
برای اینکه ثابت کنیم پاسخ پرسش بالا همواره «بله» است، لازم است که درستی تساوی زیر را (برای هر مقدار $a$ و $b$) پذیرفته باشیم.
\[a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\]
چرا تساوی بالا همواره درست است؟