آزمون ریاضی شبیه‌ساز تیزهوشان و نمونه دولتی، تعیین مرکز، و جانمایی نهم به دهم

ابتدا نقاطی از شکل را به‌صورت زیر، نام‌گذاری می‌کنیم.

سپس، پاره‌خط \(AD\) را (از طرف \(A\)) به‌اندازهٔ خودش امتداد می‌دهیم تا نقطهٔ \(P\) به‌دست آید.

گزاره. برای هر نقطهٔ \(N\) روی پاره‌خط \(AB\) داریم:
\[DN=PN.\quad(1)\]
(چرا؟)

در این مسئله می‌خواهیم نقطه‌ای، مانند \(N\)، روی پاره‌خط \(AB\) بیابیم به‌طوری‌که \(CN+DN\) کمترین مقدار ممکن شود. برای این‌ کار، از \(C\) به \(P\) پاره‌خطی رسم کنیم و محل برخورد آن با \(AB\) را \(N\) می‌نامیم. در این حالت، \(CN+DN\) کوتاهترین کابل است. (چرا؟)

در نتیجه، با استفاده از قضیهٔ فیثاغورس، طول کوتاهترین کابل ممکن برابر \(\sqrt{181}\) است. (چرا؟)

پرسش. در راه‌حل بالا، چند نقطه، مانند \(N\)، روی پاره‌خط \(AB\) وجود دارد که \(CN+DN\) کمترین مقدار ممکن شود؟

مسئله‌های مشابه

۱. تمرین ۸ صفحهٔ ۹۷ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم

۲. مطابق شکل زیر، سعید می‌خواهد از گوشهٔ زمین به حسین پاس بدهد تا حسین، توپ را به تیر دروازه بزند. حسین، از فاصلهٔ ۵ متری خط دروازه، در چه فاصله‌ای از سعید بایستد تا توپ در مجموع کوتاهترین مسیر ممکن را طی کند؟ (می دانیم عرض این زمین فوتبال ۴۰ متر و طول دروازه ۸ متر است.)

ارتفاع \(BH\) را رسم ‌می‌کنیم.

در نتیجه، اختلاف مساحت ذوزنقهٔ متساوی‌الساقین \(ABCD\) با مساحت مثلث \(BCD\) برابر است با:
\[\begin{aligned}&\frac{1}{2}(AB+CD)\times BH-\frac{1}{2}CD\times BH\\[7pt]&=\frac{1}{2}BH\times\big((AB+CD)-CD\big)\\[7pt]&=\frac{1}{2}BH\times AB\\[7pt]&=\frac{1}{2}BH\times4\\[7pt]&=2BH.\end{aligned}\]

حال باید طول \(BH\) را بیابیم.

\(BH=\sqrt{5}\). (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

چون \(x^2+y^2=-2xy\)، پس \(x=-y\).
چرا؟

حال، از \(x^2+y^2=-2xy\) و \(x=-y\)، نتیجه می‌شود:
\[\frac{x^2+y^2}{3x^2+y^2}=\frac{1}{2}.\quad (y\ne0)\]
چگونه؟

چون تعداد افرادی که تنها به یک ورزش علاقه دارند، \(21\) نفر است، پس \(m=4\). (چرا؟)

پس \(25\) نفر تنها به \(2\) ورزش علاقه‌مند هستند.

گزینهٔ ۱ درست است.
چرا؟

گزینهٔ ۲ ناردست است.
چرا؟

گزینهٔ ۳ نادرست است.
چرا؟

گزینهٔ ۴ نادرست است.
چرا؟

پاسخ تشریحی

اعضای مجموعهٔ \(A\) عبارتند از:
\[{\color{blue}\varnothing}, {\color{red}\{\varnothing\}}, {\color{green}\big\{\varnothing,\{\varnothing\}\big\}}.\]بنابراین:

\(\bullet\) گزینهٔ ۱ نادرست است.
چرا؟

\(\bullet\) گزینهٔ ۲ درست است.
چرا؟

\(\bullet\) گزینهٔ ۳ درست است.
چرا؟

\(\bullet\) گزینهٔ ۴ درست است.
چرا؟

مسئلهٔ مشابه

تمرین ۱ صفحهٔ ۵ کتاب ریاضی تکمیلی نهم

اگر با چنین مسائلی مشکل دارید، حتماً درسنامهٔ مجموعه‌ها را بخوانید:

\[\sqrt{\big(\sqrt{2}-\sqrt[3]{3}\big)^2}=\big|\sqrt{2}-\sqrt[3]{3}\big|.\] می‌توان نشان داد که \(\sqrt{2} < \sqrt[3]{3}\). چگونه؟

در نتیجه:
\[\begin{aligned}\sqrt{\big(\sqrt{2}-\sqrt[3]{3}\big)^2}&=\big|\overbrace{\sqrt{2}-\sqrt[3]{3}}^{<0}\big|\\&=-\big(\sqrt{2}-\sqrt[3]{3}\big)\\&=-\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}\\&=\sqrt[3]{3}-\sqrt{2}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

پاسخ تشریحی

\[\begin{aligned}&\sqrt{0.025\times10^{-7}}\\&=\sqrt{25\times10^{-3}\times10^{-7}}\\&=\sqrt{25\times10^{-10}}\\&=5\times10^{-5}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

وقتی کره در استوانه محاط باشد، ارتفاع استوانه برابر قطر کره، و شعاع قاعده استوانه برابر شعاع کره است.
پس مساحت استوانه برابر است با:
\[\begin{aligned}2\pi x^2+2\pi x\times(2x)&=2\pi x^2+4\pi x^2\\&=6\pi x^2.\end{aligned}\]
بنابراین، نسبت مساحت استوانه به مساحت کره برابر است با:
\[\frac{6\pi x^2}{4\pi x^2}=\frac{3}{2}.\]
در نتیجه، حجم کره برابر است با:
\[\frac{4}{3}\pi\big(\frac{3}{2}\big)^3=\frac{9}{2}\pi.\]

اگر مربع عددی \((x^2)\) به آن \((x)\) اضافه شود، حاصل \(57\) خواهد بود. یعنی: \[\begin{aligned}&x^2+x=57\\&\Rightarrow x(x+1)=57.\end{aligned}\]
واضح است که \(x\) هیچ‌کدام از اعداد داده شده نیست:
\[\begin{aligned}&x=57:\;x(x+1)=57(58)\ne57\\&x=42:\;x(x+1)=42(43)\ne57\\&x=-8:\;x(x+1)=-8(-7)\ne57\\&x=8:\;x(x+1)=8(9)\ne57\\&x=-87:\;x(x+1)=-87(-86)\ne57.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

بنابه فرض مسئله، داریم: \[{\color{red}a^2+b^2=4ab}\] پس:
\[\begin{aligned}\Big(\frac{a+b}{2a-2b}\Big)^6&=\Big(\frac{a+b}{2(a-b)}\Big)^6\\[8pt]&=\Big(\frac{1}{2}\times\frac{a+b}{a-b}\Big)^6\\[8pt]&=\Big(\frac{1}{2}\Big)^6\times\Big(\frac{a+b}{a-b}\Big)^6\\[8pt]&=\frac{1}{64}\times\Big(\big(\frac{a+b}{a-b}\big)^2\Big)^3\\[8pt]&=\frac{1}{64}\times\Big(\frac{{\color{red}a^2+b^2}+2ab}{{\color{red}a^2+b^2}-2ab}\Big)^3\\[8pt]&=\frac{1}{64}\times\Big(\frac{{\color{red}4ab}+2ab}{{\color{red}4ab}-2ab}\Big)^3\\[8pt]&=\frac{1}{64}\times\Big(\frac{6ab}{2ab}\Big)^3\\[8pt]&=\frac{1}{64}\times3^3\\[8pt]&=\frac{27}{64}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

پرسش. چرا در صورت مسئله، شرط \(a\ne b\) نوشته شده است؟

گزینهٔ ۲ صحیح است.
طبق تعریف کسری که صورت و مخرج آن یک چندجمله‌ای باشد، گویا است. بین عبارت‌های داده شده فقط صورت و مخرج، $\dfrac{5\sqrt{7}}{a}$ و $\dfrac{\sqrt{\pi}}{2a-3b}$ چندجمله‌ای هستند.