دسته: قضیه‌ها

قضیهٔ سوم تشابه

قضیهٔ سوم تشابه اگر سه ضلع مثلثی با سه ضلع از مثلث دیگری متناسب باشند، دو مثلث متشابه هستند. فرض. در دو مثلث \(ABC\) و $MNP$ داریم: $\frac{MN}{AB}=\frac{MP}{AC}=\frac{NP}{BC}$ . حکم. $\bigtriangleup MNP\sim \bigtriangleup ABC$. اثبات قضیهٔ سوم تشابه. روی ضلع $AB$ به اندازهٔ $MN$ جدا می کنیم، $AD=MN$. از $D$ خطی موازی با $BC$ رسم […]

قضیهٔ دوم تشابه

قضیهٔ دوم تشابه اگر یک زاویه از مثلثی با یک زاویه از مثلث دیگر برابر باشد و ضلع‌های این دو زاویه متناسب باشند، دو مثلث متشابه هستند. فرض. در دو مثلث $ABC$ و $MNP$ داریم: $\widehat{A}=\widehat{M}$ و $\frac{MN}{AB}=\frac{MP}{AC}$. حکم. $\bigtriangleup MNP\sim \bigtriangleup ABC$. اثبات قضیهٔ دوم تشابه. روی ضلع $AB$ به اندازهٔ $MN$ و روی […]

قضیهٔ اول تشابه

قضیهٔ اول تشابه اگر دو زاویه از مثلثی با دو زاویه از مثلث دیگری برابر باشند، دو مثلث متشابه هستند. فرض. در دو مثلث $ABC$ و $MNP$ داریم: $\widehat{A}=\widehat{M}$ و $\widehat{B}=\widehat{N}$. حکم. $\bigtriangleup MNP\sim \bigtriangleup ABC$. اثبات قضیهٔ اول تشابه. روی ضلع $AB$ به اندازهٔ $MN$ جدا می کنیم، $AD=MN$. از $D$ خطی موازی با […]

قضیهٔ اساسی تشابه

قضیهٔ اساسی تشابه در یک مثلث،اگر خطی موازی با یک ضلع، دو ضلع دیگر یا امتداد آن‌ها را قطع کند مثلثی تشکیل می‌شود که با مثلث اولیه متشابه است فرض. $MN\parallel BC$. حکم. $\bigtriangleup AMN\sim \bigtriangleup ABC$. اثبات قضیهٔ اساسی تشابه. با استفاده از قضیهٔ خطوط دو خط موازی می دانیم: $\widehat{B}=\widehat{M}$ و $\widehat{C}=\widehat{N}$. با […]

تعمیم تالس

فرض. $DE\parallel BC$. حکم. $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$. اثبات تعمیم قضیهٔ تالس. از $E$ خطی موازی با $AB$ رسم می‌کنیم تا $BC$ را در $F$ قطع کند. چهارضلعی $BDEF$ متوازی الاضلاع است، پس \[BF=DE.\quad(1)\] با استفاده از قضیهٔ تالس روابط زیر برقرار است \[DE\parallel BC\Rightarrow \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}.\quad(2)\] \[EF\parallel AB\Rightarrow \frac{AE}{AC}=\frac{BF}{BC}.\quad(3)\] از رابطه‌های \((1)\)، \((2)\)، و \((3)\) نتیجه می‌شود: $$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}.$$

عکس قضیهٔ تالس

عکس قضیهٔ تالس اگر خطی دو ضلع مثلثی را قطع کند و روی آنها پاره‌خط‌های متناظر متناسب ایجاد کند، آنگاه با ضلع سوم مثلث موازی است. فرض. $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$. حکم. $MN\parallel BC$. اثبات عکس قضیهٔ تالس. با روش برهان غیر مستقیم فرض کنیم حکم نادرست باشد، پس $MN\nparallel BC$. از $M$ خطی موازی با $BC$ رسم […]

قضیهٔ تالس

قضیهٔ تالس اگر در یک مثلث، خطی موازی یک ضلع دو ضلع دیگر را قطع کند، روی آن دو ضلع پاره‌خط‌های متناسب ایجاد می‌کند. فرض. $DE\parallel BC$. حکم. $\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}$. اثبات قضیهٔ تالس. $EF$ ارتفاع مشترک دو مثلث $ADE$ و $BDE$ است. پس \[\frac{S_{ADE}}{S_{BDE}}=\frac{AD}{BD}.\quad(1)\] $DH$ ارتفاع مشترک دو مثلث $ADE$ و $CDE$ است. پس \[\frac{S_{ADE}}{S_{CDE}}=\frac{AE}{CE}.\quad(2)\] می‌دانیم […]

قضیهٔ میانه-مساحت و عکس آن

قضیهٔ میانه-مساحت. میانهٔ مثلث، آن را به دو مثلث هم‌مساحت تقسیم می‌کند. اثبات. در مثلث \(ABC\)، میانهٔ \(AM\) و ارتفاع \(AH\) را رسم می‌کنیم. چون \(AM\) میانه است، پس \(BM=CM\). بنابراین، داریم: \[\begin{aligned}S_{ABM}&=\frac{1}{2}AH\times BM\\[7pt]&=\frac{1}{2}AH\times CM\\[7pt]&=S_{ACM}.\end{aligned}\] یعنی \(AM\) مثلث \(ABC\) را به دو مثلث هم‌مساحت \(ABM\) و \(ACM\) تقسیم کرده است. عکس قضیهٔ میانه-مساحت. پاره‌خطی که […]

قضیهٔ نسبت در میانه‌های مثلث

قضیهٔ نسبت در میانه‌ های مثلث. در هر مثلث، میانه‌ها به نسبت \(2\) به \(1\) یکدیگر را قطع می‌کنند. اثبات. در مثلث \(ABC\) سه میانهٔ \(AM\)، \(BN\)، و \(CK\) را رسم می‌کنیم. بنابه نتیجهٔ قضیهٔ همرسی میانه‌ها، شش مثلث ایجاد شده در شکل بالا هم‌مساحت‌اند. پس: \[\frac{S_{ACG}}{S_{CGM}}=\frac{2}{1}\cdot\quad(1)\] از \(C\) خطی بر \(AM\) عمود می‌کنیم و […]

قضیهٔ همرسی میانه‌ها

قضیه همرسی میانه ها. در هر مثلث، هر سه میانه همرسند. اثبات. فرض کنید در مثلث \(ABC\)، دو میانهٔ \(AM\) و \(BN\) یکدیگر را در نقطهٔ \(G\) قطع کرده باشند. پاره‌خط \(CG\) را رسم ‌می‌کنیم و آن را از طرف \(G\) امتداد می‌دهیم تا ضلع \(AB\) را در نقطهٔ \(K\) قطع کند. اگر نشان دهیم […]