دسته: مبانی ترکیبیات

مبانی ترکیبیات. هفتهٔ هفتم. استقراء ریاضی (۲)

استقراء قوی، استقراء قهقرایی، استقراء روی اعداد صحیح ملاحظاتی دربارهٔ تعریف بازگشتی دنباله‌ها و آرایه‌ها تعریف بازگشتی آرایه‌ها حسابان متناهی (ویدئوی اول) حسابان متناهی (ویدئوی دوم) تعریف بازگشتی دنباله‌ها خاصیت یا اصل خوش‌ترتیبی تمرین‌های هفتهٔ هفتم ۱. رابطه زیر را با استقرا ثابت کنید. \[\big(1+x\big)\big(1+x^2\big)\dots\big(1+x^{2^n}\big)=1+x+\dots+x^{2^{n+1}}-1\] ۲. ثابت کنید اگر \(2\cos\varphi=x+\frac{1}{x}\)، آنگاه به‌ازای هر عدد صحیح […]

مبانی ترکیبیات. هفتهٔ ششم. استقراء ریاضی (۱)

معرفی اصل استقرا و چند مثال استقرا با دو مقدمه، استقراء توام تقویت استقرا، روش جایگذاری و تکرار تمرین تکمیلی

مبانی ترکیبیات. هفتهٔ پنجم. ساختارهای دوری

شمارش مضاعف ساختارهای دوری (قسمت اول) ساختارهای دوری (قسمت دوم) ساختارهای دوری (قسمت سوم) ساختارهای دوری (قسمت چهارم) ساختارهای دوری (قسمت پنجم) تمرین‌های هفتهٔ پنجم ۱. درستی گزاره زیرا را ثابت کنید: به \(\dfrac{n^{\underline{m}}}{n}\) طریق می‌توان \(m\) نفر را دور یک میز دایره‌ای با \(n\geq m\) صندلی نشاند. ۲. ثابت کنید به \[\begin{aligned}\Big[{n\atop2}]=(n-1)!\Big(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n-1}\Big)\end{aligned}\] طریق می‌توان […]

مبانی ترکیبیات. هفتهٔ چهارم. اثبات‌های ترکیبیاتی – شمارش مضاعف

اثبات‌های ترکیبیاتی شمارش مضاعف (قسمت اول) شمارش مضاعف (قسمت دوم) تمرین‌های هفتهٔ چهارم ۱. یک گراف کامل \(n\)رأسی داریم که یال‌های آن را با دو رنگ، رنگ‌آمیزی کرده‌ایم. اگر تعداد مثلث‌های تک‌رنگ برابر \(\Delta\) باشد، نشان دهید: \[\Delta\geq\binom{n}{3}-\Bigg\lfloor\frac{n}{2}\Big\lfloor\Big(\frac{n-1}{2}\Big)^2\Big\rfloor\Bigg\rfloor.\] ۲. برنامهٔ تمرین ماهانهٔ یک تیم بسکتبال تنظیم شده است. این تیم در یک ماه \(30\) روزه […]

مبانی ترکیبیات. هفتهٔ سوم. اصل لانه کبوتری

اصل لانه کبوتری (قسمت اول) اصل لانه کبوتری (قسمت دوم) اصل لانه کبوتری (قسمت سوم) تمرین‌های هفتهٔ سوم ۱. توپ فوتبال از قطعات چرمی سیاه و سفید ساخته شده است. قطعات سیاه، پنج‌ضلعی منتظم و قطعات سفید، شش‌‌ضلعی منتظم‌اند. هر پنج‌ضلعی با \(5\)تا شش ضلعی و هر شش‌ضلعی با \(3\)تا پنج‌ضلعی و \(3\)تا شش‌ضلعی احاطه […]

مبانی ترکیبیات. هفتهٔ دوم. افراز عددی مرتب و نامرتب – پیچیدگی

افراز عددی مرتب و نامرتب (قسمت اول) افراز عددی مرتب و نامرتب (قسمت دوم) افراز عددی مرتب و نامرتب (قسمت سوم) افراز عددی مرتب و نامرتب (قسمت چهارم) افراز عددی مرتب و نامرتب (قسمت پنجم) پیچیدگی تمرین‌های هفتهٔ دوم ۱. فرض کنید \(a\) و \(b\) اعداد صحیحی باشند که \(0\leq a\leq b\) برقرار است. تعداد […]

مبانی ترکیبیات. هفتهٔ اول. توابع با مقادیر صحیح – شمارش

توابع سقف و کف (قسمت اول) توابع سقف و کف (قسمت دوم) تابع ایورسون شمارش (قسمت اول) شمارش (قسمت دوم) تمرین‌های هفتهٔ اول ۱. اگر \(m\) عددی صحیح باشد، عبارت زیر را ثابت کنید و برای تعریف سقف، فرم مشابه را بدست آورده و ثابت کنید. \[\begin{aligned}&\Big\lfloor\frac{m}{2}\Big\rfloor=\frac{m}{2}-\frac{1}{4}+\frac{(-1)^m}{4}\\[7pt]&\Big\lceil\frac{m}{2}\Big\rceil=?\end{aligned}\] ۲. اگر \(x\geq0\) عددی حقیقی باشد، موارد زیر […]

مبانی ترکیبیات. مقدمه

«ریاضیات گسسته» یا «مبانی ترکیبیات» عنوان یکی از دروس بسیار مهم و کاربردی در ریاضیات است. مبحث «شمارش» یکی از اساسی‌ترین موضوعات ریاضیات گسسته است که همهٔ دانش‌آموزان در دوران تحصیل با آن مواجه می‌شوند. هرچند که در دورهٔ ابتدایی و سال‌های اول دبیرستان، مباحث ریاضیات گسسته، مستقل از سایر بخش‌های ریاضی نیست، اما در […]