آزمون ورودی کلاس ریاضیات پیشرفته دهم

در تقسیم $4x^3+8x^2-11x$ بر $2x-1$، مقدار خارج‌قسمت به‌ازای $x=\dfrac{1}{2}$ چیست؟

می‌دانیم وجه‌های یک پنج‌وجهی، چهارتا مثلث و یک چهارضلعی هستند. این پنج‌وجهی چند یال دارد؟

فرض کنید $A=\big[{1 \atop 1}\big]$، $B=\big[{4 \atop 1}\big]$، $C=\big[{4 \atop 5}\big]$ و $D=\big[{1 \atop 5}\big]$. اگر چهارضلعی $ABCD$ را حول خط $x=2$، $180$ درجه دوران دهیم، حجم حاصل چند برابر $\pi$ می‌شود؟

تفاضل صورت و مخرج کسر متعارفی مولد \(1.2\overline{3}\)، حتماً مضرب کدام عدد (عددهای) زیر است؟

یازده زیرمجموعهٔ غیرمساوی از $M=\{1,2,3,\dots,10\}$ طوری انتخاب می‌کنیم که از هر دوتای آنها، یکی زیرمجموعهٔ دیگری باشد. اگر $A$، $B$، و $C$ به‌ترتیب مجموعه‌های $7$، $5$، و $3$ عضوی از این $11$ مجموعه باشد، در مورد $A\cup(B-C)$ چه می‌توان گفت؟

برای پنج عدد متفاوت $a$، $b$، $c$، $d$، و $e$ می‌دانیم رابطهٔ زیر برقرار است:
\[6|a-b|=6|b-c|=3|c-d|=2|d-e|\]
عبارت‌های درست را علامت بزنید.

مجموعه‌های \(A\)، \(B\)، و \(C\) به‌صورت زیر تعریف می‌شوند.
\[\begin{aligned}A&=\{2x\mid x\in\mathbb{Z}\}\\B&=\{3x\mid x\in\mathbb{Z}\}\\C&=\{5x\mid x\in\mathbb{Z}\}.\end{aligned}\]
کدام عبارت (عبارت‌ها)، مجموعه‌ای است که در نمودار ون زیر مشخص شده است؟

سکه‌ای را چهار بار پرتاب کرده‌ایم. احتمال اینکه بار سوم رو آمده باشد، چقدر است؟

مجموعهٔ $S$ شامل همهٔ قطرهای یک شش‌ضلعی است. تعداد اعضای مجموعهٔ $S$ با تعداد اعضای کدام مجموعه (مجموعه‌های) زیر برابر است؟

با توجه به تساوی زیر، \(x-y\) چه عددی است؟
\[2^{2^{2^2}}=2^{2^{2}}x=4^{y^3}.\]

عبارت (عبارت‌های) درست را علامت بزنید.

در چهارضلعی محدب $ABCD$، دو مثلث $ABD$ و $ADC$ همنهشت‌اند. عبارت (عبارت‌های) درست را علامت بزنید.

عبارت (عبارت‌های) درست را علامت بزنید.

اگر $a$ و $b$ دو عدد صحیح باشند، آنگاه دربارهٔ دو ادعای زیر چه می‌توان گفت؟
ادعای اول: اگر $a=-b$،‌ آنگاه تعداد جملات حاصل‌ضرب $(x^2+ax+1)(x+b)$ پس از ساده‌کردن دقیقاً $3$تا است.
ادعای دوم: اگر $b=0$، آنگاه تعداد جملات حاصل‌ضرب $(x^2+ax+1)(x+b)$ پس از ساده‌کردن $3$ تا یا $2$ تا است.

چندتا از تساوی‌های زیر اتحاد هستند؟
\[\begin{aligned}&a^3-b^3=(a-b)(a^2-ab+b^2)\\&(a-1)(a^2-2)=a^3-3a+2\\&x^4+1=(x^2-x+1)(x^2+x+1)\end{aligned}\]

اگر \(x=\sqrt{5-\sqrt{24}}\)، آن‌وقت حاصل \(x+x^{-1}\) کدام است؟

اگر \(a+2b=3\)، آن‌وقت حاصل عبارت \(a(a+2)+4b(b+1)+4ab\) چقدر است؟

می‌دانیم \(x^2+2\sqrt{2}\,x+k\) را می‌توان تجزیه کرد. بیشترین مقدار \(k\) چقدر است؟

مجموعهٔ‌ همهٔ نقاط \(\Big[{x\atop y}\Big]\) که \(x^2-y^2+6x+2y+8=0\)، در صفحهٔ مختصات چه شکلی را نشان می‌دهد؟

فرض کنید $A=\big[{3x+2y\atop 8}\big]$ و $B=\big[{-7 \atop -2x-2y}\big]$. اگر $A$ روی نیم‌ساز ربع اول و سوم و $B$ روی نیم‌ساز ربع دوم و چهارم باشد، $2y+x$ چقدر است؟