آزمون ورودی کلاس ریاضیات پیشرفته دهم

دربارهٔ دو ادعای زیر چه می‌توان گفت؟
ادعای اول: عبارت $x^3(x^2-13)^2-144x$ بر $x^3-x^2$ بخش‌پذیر است.
ادعای دوم: عبارت $x^3(x^2-13)^2-144x$ بر $x^2+5x+6$ بخش‌پذیر است.

می‌دانیم وجه‌های یک هشت‌وجهی چهارتا مثلث و چهارتا چهارضلعی هستند. تعداد یال‌های این هشت‌وجهی چند تاست؟

سه نقطهٔ $A=\big[{1 \atop 1}\big]$، $B=\big[{3 \atop 1}\big]$ و $C=\big[{3 \atop 5}\big]$ را در نظر بگیرید. حجم حاصل از دوران مثلث $ABC$ حول از خط‌ $x=3$ چقدر است؟

حاصل عبارت زیر کدام است؟
\[0.\overline{10}-0.\overline{11}+0.\overline{12}-0.\overline{13}+0.\overline{14}-\dots+0.\overline{98}-0.\overline{99}\]

یازده زیرمجموعهٔ غیرمساوی از $M=\{1,2,3,\dots,10\}$ طوری انتخاب می‌کنیم که از هر دوتای آنها، یکی زیرمجموعهٔ دیگری باشد. اگر $A$، $B$، و $C$ به‌ترتیب مجموعه‌های $7$، $5$، و $3$ عضوی از این $11$ مجموعه باشد، در مورد $A\cup(B-C)$ چه می‌توان گفت؟

مجموعهٔ $\{(-1)^x|x-4|^2\mid x\in\mathbb{Z},1\leq x\leq6\}$ با کدام مجموعه (مجموعه‌های) زیر برابر است؟

مجموعهٔ \(A=\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\) را یک «مجموعهٔ جذاب» می‌نامیم در صورتی‌که سه شرط زیر را دارا باشد:
شرط اول: \(A\subseteq\mathbb{N}\)
شرط دوم: اعضای مجموعهٔ \(A\)، از کوچک به بزرگ مرتب شده باشد.
شرط سوم: به‌ازای هر دو عضو متوالی آن مانند \(a_i\) و \(a_{i+1}\) داشته باشیم: \(\big(a_i,a_{i+1}\big)=1\).
مجموعه (مجموعه‌های) جذاب را علامت بزنید.

کدام پیشامد (پیشامدهای) زیر، معادل $\{2,3,5\}\times \{2,3,5\}$ است؟
(تعریف حاصل‌ضرب دو مجموعه در صفحهٔ ۱۲ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم آمده است.)

اعضای مجموعهٔ $D$ همهٔ حالت‌های ممکن سه‌بار پرتاب یک سکه هستند. تعداد اعضای مجموعهٔ \(D\) با تعداد اعضای کدام مجموعه (مجموعه‌های) زیر برابر است؟

با توجه به تساوی زیر، \(x-y\) چه عددی است؟
\[2^{2^{2^2}}=2^{2^{2}}x=4^{y^3}.\]

\[2‎\sqrt{20}+\sqrt{90}+x=‎4‎\sqrt{5}+‎23\sqrt{10}\]
در معادلهٔ بالا، \(x\) کدام است؟

چند عبارت از عبارت‌های زیر درست است؟
\(\bullet\) اگر در دو چهارضلعی $ABCD$ و $A'B'C'D'$ داشته باشیم:
\[\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}=\frac{DA}{D'A'}\]
دو چهارضلعی متشابه‌اند.
\(\bullet\) اگر در دو پنج‌ضلعی $ABCDE$ و $A'B'C'D'E'$ داشته باشیم:
\[\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}=\frac{DE}{D'E'}=\frac{EA}{E'A'}\]
دو پنج‌ضلعی متشابه‌اند.
\(\bullet\) اگر در دو شش‌ضلعی $ABCDEF$ و $A'B'C'D'E'F'$ داشته باشیم:
\[\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}=\frac{DE}{D'E'}=\frac{EF}{E'F'}=\frac{FA}{F'A'}\]
دو شش‌ضلعی متشابه‌اند.

در چهارضلعی \(ABCD\) سه ضلع \(AB\)، \(BC\)، و \(CD\) برابرند. اگر \(A\widehat{B}C=70^\circ\) و \(B\widehat{C}D=170^\circ\)، آنگاه اندازهٔ \(B\widehat{A}D\) چند درجه است؟

عبارت‌هایی را که دوجمله‌ای هستند یا به‌ دوجمله‌ای تبدیل می‌شوند، مشخص کنید.

حاصل عبارت \(2\Big(\sqrt{x^2}+\sqrt{(2-x)^2}\Big)+x^2\) به‌ازای \(x=2-\sqrt{5}\) چقدر است؟

در معادلهٔ \(x^3-4x^2+3x=0\) مجموع ریشه‌ها چقدر است؟

حاصل‌ضرب یک سه‌جمله‌ای در خودش حداقل چند جمله‌ دارد؟

نامعادلهٔ $2x+d<5x-3$ را در نظر بگیرید. فرض کنید $A$ مجموعه اعدادی باشد که می‌توان به‌جای $x$ قرار داد و $B$ مجموعه اعدادی باشد که می‌توان به‌جای $d$ قرار داد. اگر $5\in A$،‌ آنگاه دربارهٔ $B$ چه می‌توان گفت؟

دربارهٔ دو ادعای زیر چه می‌توان گفت؟

ادعای اول: چهار نقطه در صفحهٔ مختصات وجود دارد که اگر آنها را دو‌به‌دو به‌هم وصل کنیم، چهار شیب متفاوت به‌دست آید.

ادعای دوم: پنج نقطه در صفحهٔ مختصات وجود دارد که اگر آنها را دو‌به‌دو به‌هم وصل کنیم، چهار شیب متفاوت به‌دست آید.

حل برخورد دو خط به معادله‌های $y=x+2$ و $my=x+n$ روی محور $x$ قرار دارد. $n$ چقدر است؟