آزمون ریاضی شبیه‌ساز تیزهوشان و نمونه دولتی، تعیین مرکز، و جانمایی نهم به دهم

در مجموع \(6\) مسابقه انجام می‌‌شود. (چرا؟)

پس مجموع امتیازات هر \(4\) تیم، می‌تواند هریک از اعداد \(12\)، \(13\)، \(14\)، \(15\)، \(16\)، \(17\)، یا \(18\) باشد.
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

پرسش. اگر \(n\) تیم داشته باشیم و هریک از آنها با \(n-1\) تیم دیگر مسابقه دهد، در مجموع چند مسابقه انجام می‌شود؟
(تمرین ۲ صفحهٔ صفحهٔ ۲۰ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم، و تمرین ۱۱ صفحهٔ ۱۶ کتاب ریاضیات تکمیلی هفتم را ببینید.)

فرض کنید در ذوزنقهٔ \(ABCD\) داشته باشیم \(BC=CD=DA=1\) و \(AB=2\).

در این‌صورت \(B\widehat{C}D=120^\circ\).

چرا؟

بنابراین، در مثلث \(BCD\) بنابه قضیهٔ مثلث متساوی الساقین و قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث، داریم:
\[\begin{aligned}&C\widehat{D}B+D\widehat{B}C+B\widehat{C}D=180^\circ\\&\Rightarrow 2C\widehat{D}B+120^\circ=180^\circ\\&\Rightarrow2C\widehat{D}B=60^\circ\\&\Rightarrow C\widehat{D}B=30^\circ.\end{aligned}\]

به طریقی مشابه، می‌توان ثابت کرد که \(D\widehat{C}A=30^\circ\). حال، اگر محل برخورد دو قطر ذوزنقه \(ABCD\) را \(O\) بنامیم، از قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث (در مثلث \(CDO\)) داریم:
\[\begin{aligned}&C\widehat{D}O+D\widehat{O}C+O\widehat{C}D=180^\circ\\&\Rightarrow30^\circ+D\widehat{O}C+30^\circ=180^\circ\\&\Rightarrow60^\circ+D\widehat{O}C=180^\circ\\&\Rightarrow D\widehat{O}C=120^\circ.\end{aligned}\]

بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

دوتا. (چگونه؟)

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

پرسش. یک $n$-ضلعی منتظم داده شده است. چند تا چندضلعی منتظم درون این $n$-ضلعی منتظم می‌توان رسم کرد که همهٔ رأس‌های هریک از آنها روی رأس‌های $n$-ضلعی منتظم داده شده باشند؟
 

\[\begin{aligned}&\Big((A-B)\cup(B-C)\Big)-(A\cup C)\\&=\Big(\big(\{1,2\}-\{2,3,4\}\big)\cup\big(\{2,3,4\}-\{4,5\}\big)\Big)-\big(\{1,2\}\cup\{4,5\}\big)\\&=\Big(\{1\}\cup\{2,3\}\Big)-\{1,2,4,5\}\\&=\{1,2,3\}-\{1,2,4,5\}\\&=\{3\}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

\(\dfrac{\sqrt{12}-\sqrt{147}+\sqrt{48}}{-3\sqrt{3}}=\dfrac{1}{3}\). (چرا؟)

\(A=5^{51}\). (چرا؟)

\(B<0\). (چرا؟)

\(C=8068\). (چرا؟)

\[R=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{4+5}=\sqrt{9}=3.\]
نسبت کمان حاصل از گستردهٔ روی مخروط به کل دایرهٔ آن برابر است با:
\[x=\frac{2}{3}.\] پس مساحت رویهٔ مخروط برابر است با:
\[\pi\times9\times\frac{2}{3}=6\pi.\] در نتیجه، مساحت قاعدهٔ مخروط برابر است با:
\[\pi(2)^2=4\pi.\] بنابراین، مساحت کل مخروط برابر است با:
\[6\pi+4\pi=10\pi.\]

در روز پنج‌شنبه، لیلا و شادی به‌ترتیب \(19\) و \(11\) کیسهٔ زباله جمع‌آوری کرده‌اند. (چرا؟)

تساوی اول، تجزیهٔ یک عبارت جبری را نشان نمی‌دهد. زیرا \(x(x+1)+1\) به‌صورت حاصل‌ضرب دو عبارت جبری نیست.
تساوی دوم،‌ تجزیهٔ یک عبارت جبری را نشان می‌دهد. زیرا \(2y^2+5y\) به‌صورت حاصل‌ضرب \(2y\) در \(y+\frac{5}{2}\) نوشته شده است.
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

با جایگذاری مقدار به‌جای $a$ و $b$ می‌توان گزینهٔ درست را یافت. چون $a+b=10$، قرار می‌دهیم $a=10$ و $b=0$؛ دراین‌صورت داریم:‌
\[\begin{aligned}&5a^2+a^2b+ab^2+5b^2\\&=5(10)^2+(10^2)(0)+(10)(0)^2+5(0)^2\\&=5\times 100\\&=500.\end{aligned}\]
پس گزینهٔ ۳ درست است.

پرسش. اگر هر عدد دیگری به‌جای $a$ و $b$ انتخاب کنیم به‌طوری‌که $a+b=10$، آیا بازهم حاصل $5a^2+a^2b+ab^2+5b^2$ برابر ۵۰۰ است؟
پاسخ. بله!
برای اینکه ثابت کنیم پاسخ پرسش بالا همواره «بله» است، لازم است که درستی تساوی زیر را (برای هر مقدار $a$ و $b$) پذیرفته باشیم.
\[a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\]
چرا تساوی بالا همواره درست است؟