آزمون ریاضی شبیه‌ساز تیزهوشان و نمونه دولتی، تعیین مرکز، و جانمایی نهم به دهم

در آزمایش ریختن دو تاس مشابه، احتمال \(4\) بودن مجموع دو عدد رو شده برابر \(\frac{3}{36}\) است. (چرا؟)

در شکل زیر، هریک از مثلث‌های زرد، آبی، و سبز، مثلث‌هایی قائم‌الزاویه هستند.

طول وتر مثلث‌های زرد، آبی، و سبز به‌ترتیب برابر \(\sqrt{2}\)، \(3\sqrt{2}\)،‌ و \(\sqrt{10}\) است. (چرا؟)

در نتیجه، محیط شکل صورتی برابر است با:
\[\begin{aligned}&4\sqrt{2}+3\sqrt{2}+\sqrt{10}\\&=7\sqrt{2}+\sqrt{10}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

باید مقادیری را پیدا کنیم که به‌ازای آنها مخرج کسر داده شده، برابر صفر می‌شود.
\[\begin{aligned} &(x^2+16-10x)(x^4-5x^2+4)=0\\&\Rightarrow(x-8)(x-2)(x^2-4)(x^2-1)=0\\&=(x-8)(x-2)(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)=0\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned} &x-8=0\Rightarrow x=8\\&x-2=0\Rightarrow x=2\\&x+2=0\Rightarrow x=-2\\&x-1=0\Rightarrow x=1\\&x+1=0\Rightarrow x=-1.\end{aligned}\right.\end{aligned}\] بنابراین، کسر داده شده، به‌ازای مقادیر \(8\)، \(2\)، \(-2\)، \(1\)، و \(-1\) تعریف نشده است.

چون اعداد دورقمی را با \(M\) و اعداد زوج را با \(A\) نشان داده‌ایم، پس مجموعهٔ اعداد فرد دورقمی برابر است با: \(M-A\).
چون مضارب طبیعی \(3\) را با \(B\) و مضارب طبیعی \(5\) را با \(C\) نشان‌ داده‌ایم، پس مجموعهٔ مضارب طبیعی \(15\) برابر است با: \(B\cap C\).
در نتیجه، مجموعهٔ اعداد فرد دورقمی که مضرب \(15\) نیستند برابر است با: \((M-A)-(B\cap C)\) و نمودار گزینهٔ ۲ نشان‌دهندهٔ این مجموعه است.

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

اگر به چنین مسائلی مسلط نیستید، حتماً درسنامهٔ مجموعه‌های سایت تکمیلی را بخوانید.

مسئله‌ٔ مشابه

سؤال ۴۱ آزمون پیشرفت تحصیلی نهم سمپاد (فروردین ۹۷)

در بین اعدادِ
\[0.\overline{1}, 0.\overline{2}, 0.\overline{3}, \dots , 0.\overline{1396}\]اعداد برابر را پیدا می‌کنیم:
\[\begin{aligned}&0.\overline{1}=0.\overline{11}=0.\overline{111}=0.\overline{1111}\\&0.\overline{2}=0.\overline{22}=0.\overline{222}\\&0.\overline{3}=0.\overline{33}=0.\overline{333}\\&0.\overline{4}=0.\overline{44}=0.\overline{444}\\&0.\overline{5}=0.\overline{55}=0.\overline{555}\\&0.\overline{6}=0.\overline{66}=0.\overline{666}\\&0.\overline{7}=0.\overline{77}=0.\overline{777}\\&0.\overline{8}=0.\overline{88}=0.\overline{888}\\&0.\overline{9}=0.\overline{99}=0.\overline{999}\\&0.\overline{10}=0.\overline{1010}\\&0.\overline{12}=0.\overline{1212}\\&0.\overline{13}=0.\overline{1313}\\\end{aligned}\]
در نتیجه، تعداد اعضای این مجموعه برابر است با:
\[1396-22=1374.\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

\(A=\{5,8,11,14,\dots,302\}\). (چرا؟)

بنابراین گزینهٔ ۲ درست است.

\[\begin{aligned}\big|7\sqrt{3}-12\big|&=\big|\sqrt{49\times 3}-\sqrt{12\times 12}\big|\\&=\big|\underbrace{\sqrt{147}-\sqrt{144}}_{>0}\big|\\&=\sqrt{147}-\sqrt{144}\\&=7\sqrt{3}-12.\end{aligned}\]
بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

اگر \(a>0\)، آن‌وقت:
\[\begin{aligned}\frac{\sqrt[3]{(a+1)^2}\times(-2^3)}{\sqrt[3]{8(a+1)^{-1}}\times\sqrt{a+1}}=-2\sqrt{a+1}.\end{aligned}\]
(چرا؟)

\[\begin{aligned}27^{12}&=\big(9\times3\big)^{12}\\&=9^{12}\times3^{12}\\&=9^{12}\times\big(3^2\big)^6\\&=9^{12}\times9^6\\&=9^{18}\\&=\big(9^9\big)^2.\end{aligned}\]

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

\[\begin{aligned}&\pi(12)^2(25)-\frac{4}{3}\pi(10)^3\\&=\pi(144)(25)-\frac{4}{3}\pi(1000)\\&=3600\pi-\frac{4000}{3}\pi\\&=\frac{6800}{3}\pi.\end{aligned}\]

فرض کنید پس از \(n\) سال، سن پدر با مجموع سن فرزندانش، برابر شود. یعنی:
\[\begin{aligned}&45+n=(4+n)+(12+n)+(15+n)\\&\Rightarrow45+n=31+3n\\&\Rightarrow45-31=3n-n\\&\Rightarrow14=2n\\&\Rightarrow7=n.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

گزینهٔ ۳ صحیح است.
\[\begin{aligned}&\sqrt{a^2(a^2-b^2)+b^2(b^2-a^2)}\\&=\sqrt{(b^2-a^2)(-a^2+b^2)}\\&=\sqrt{(b^2-a^2)(b^2-a^2)}\\&=\sqrt{(b^2-a^2)^2}\\&=|b^2-a^2|.\end{aligned}\]
چون$b< a<0$ پس $b^2> a^2>0$ و در نتیجه $b^2-a^2> 0$ و \[\begin{aligned}&|b^2-a^2|=b^2-a^2.\end{aligned}\]