درسنامهٔ مفصل کسرهای مصری بههمراه مثالهای و تمرینهای متنوع، و ویدئوهای آموزشی، در سایت تکمیلی نوشته شده است. این درسنامه شامل پنج جلسه است:
جلسهٔ اول – تعریف کسر مصری تمرینهای جلسهٔ اول
جلسهٔ دوم – الگوریتم حریصانه تمرینهای جلسهٔ دوم
جلسهٔ سوم – فرمول کسر مصری با دو جمله تمرینهای جلسهٔ سوم
جلسهٔ چهارم – تمرینهای گوناگون
جلسهٔ پنجم – مسئلههای باز
در جلسهٔ پنجم درسنامهٔ کسر مصری، جدولی از کسرهای مختلف وجود دارد. به معلمان عزیز توصیه میکنیم که از این جدول برای طرح سؤالات مربوط به کسر مصری استفاده کنند.
توضیحاتی مختصر دربارهٔ کسرهای مصری
کسری با صورت $1$ و مخرج طبیعی را یک کسر واحد مینامند.
فرض کنید $0<\frac{m}{n}<1$. وقتی $\frac{m}{n}$ را بهصورت مجموعی از کسرهای واحدِ متفاوت بنویسیم، به عبارت نوشته شده کسر مصری میگویند. برای مثال، عبارتِ
\[\frac{2}{3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\]
کسر مصری است ولی عبارتِ
\[\frac{2}{3}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\]
کسر مصری نیست.
در مسئلهٔ ۱۳ صفحهٔ ۱۴ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم چند مثال پراکنده و بیهدف از کسرهای مصری ارائه شده است؛ و توضیحات بیشتر به مقالهای با عنوان کسرهای مصری در سایت www.webmath.ir ارجاع داده شده است. در مقالهٔ مذکور نیز به مسائل اساسی در کسرهای مصری پرداخته نشده است.
پرسش در کلاس ۱. هر کسر بین $0$ و $1$ را به چند روش میتوان بهصورت کسر مصری نوشت؟
راهنمایی. از روش حریصانه در مقالهٔ کسرهای مصری و مثلث لایبنیتس کمک بگیرید.
در کسرهای مصری دو مسئلهٔ اساسی وجود دارد:
۱) برای $\frac{m}{n}$ داده شده، تعداد کسرهای واحد بهکار رفته در کسر مصری، کمترین تعداد ممکن باشد.
برای مثال، تعداد کسرهای واحد در کسر مصریِ
\[\frac{21}{32}=\frac{1}{2}+\frac{1}{7}+\frac{1}{75}+\frac{1}{16800}\]
چهارتا است ولی تعداد کسرهای واحد در کسر مصریِ
\[\frac{21}{32}=\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{32}\]
سهتا است.
۲) اگر در کسر مصری، کسرهای واحد را از بزرگ به کوچک مرتب کنیم، مخرج کوچکترین کسر واحد تا حد ممکن کوچک باشد.
برای مثال، مخرج کوچکترین کسر واحد در کسر مصریِ
\[\frac{3}{10}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{20}\]
برابر $20$ است. ولی مخرج کوچکترین کسر واحد در کسر مصریِ
\[\frac{4}{5}=\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{10}\]
برابر $10$ است.
در ادامه میخواهیم ببینیم چه کسرهایی را میتوان بهصورت مجموع $2$تا کسر واحد نوشت.
برای ساختن کسرهای مصری میتوانید از ماشینحسابهای آنلاین کسرهای مصری استفاده کنید.
سپس سعی کنید برای هریک از خاصیتهای گفته شده در زیر روشی برای ساختن کسرهای مصری بیابید.
پرسش در کلاس ۲. نشان دهید که اگر عدد طبیعی $n$ شمارندهٔ اولی داشته باشد که باقیماندهٔ تقسیم این شمارنده بر $3$ برابر $2$ باشد، آنگاه $\frac{3}{n}$ را میتوان بهصورت مجموعی از دو کسر واحد نوشت.
برای مثال، اگر $n=77$، آنگاه چون $77=7\times 11$ و باقیمانده $11$ بر $3$ برابر $2$ است، پس میتوان $\dfrac{3}{77}$ را بهصورت مجموعی از دو کسر واحد نوشت:
\[\frac{3}{77}=\frac{1}{42}+\frac{1}{66}\]
پرسش در کلاس ۳. نشان دهید که اگر عدد طبیعی $n$ شمارندهٔ اولی داشته باشد که باقیماندهٔ تقسیم این شمارنده بر $4$ برابر $3$ باشد، آنگاه $\frac{4}{n}$ را میتوان بهصورت مجموعی از دو کسر واحد نوشت.
برای مثال، اگر $n=55$، آنگاه چون $55=5\times 11$ و باقیمانده $11$ بر $4$ برابر $3$ است، پس میتوان $\dfrac{4}{55}$ را بهصورت مجموعی از دو کسر واحد نوشت:
\[\frac{4}{55}=\frac{1}{20}+\frac{1}{44}\]
پرسش در کلاس ۴. نشان دهید که اگر عدد طبیعی $n$ شمارندهٔ اولی داشته باشد که باقیماندهٔ تقسیم این شمارنده بر $6$ برابر $5$ باشد، آنگاه $\frac{6}{n}$ را میتوان بهصورت مجموعی از دو کسر واحد نوشت.
برای مثال، اگر $n=55$، آنگاه چون $55=5\times 11$ و باقیمانده $11$ بر $6$ برابر $5$ است، پس میتوان $\dfrac{6}{55}$ را بهصورت مجموعی از دو کسر واحد نوشت:
\[\frac{6}{55}=\frac{1}{11}+\frac{1}{55}\]
پرسش در کلاس ۵. دربارهٔ اینکه چه کسرهایی را میتوان بهصورت مجموع سه کسر واحد متفاوت نوشت، تحقیق کنید.
سلام وقتتون بخیر
ببخشید من تیپ مسائل زیر مثل این دو سوال رو متوجه نمیشم چگونه باید حل کنم ممنون میشم راهنمایی کنید:
1-رضا کارس را در 4 ساعت و حسن همان کار را در 6 ساعت انجام میدهند.اگر دو نفر باهم کار کنند در چند ساعت کار انجام میشود؟
2-کوچکترین عدد طبیعی که اگر آن را بر 9/5 ، 9/35 ، 91/156 تقسیم کنیم خارج قسمت یک عدد صحیح باشد چند است؟
سؤال ۱ به تناسب معکوس معروف است که در کتابهای درسی جدید وجود ندارد. با یک جستجوی ساده اینترنتی میتوانید منابع مربوطه را پیدا کنید.
سؤال ۲ مشابه تمرین ۳ صفحهٔ ۸۳ کتاب ریاضی تکمیلی هفتم است.
سلام ببخشید کسی میدونه از کجا درباره تاریخ و فلسفه کسر های مصری میشه اطلاعات جمع آوری کرد؟
سلام
در یکی از شمارههای مجلهٔ فرهنگ و اندیشهٔ ریاضی بهطور مفصل به تاریخچهٔ کسرهای مصری پرداخته شده است. برای دانلود این مقاله، اینجا را کلیک کنید.
سلام ، ببخشید ما دبیرمون گفته کسر های مصری رو میشه از راه شمارنده ها حل کرد…و بعد به عنوان تکلیف گفت راه های دیگه ی حل کسر مصری اگه به روش شمارنده ها جواب نداد رو تحقیق کنید بیارید . میتونید کمکم کنید؟
سلام
برای من واضح نیست که منظور از «راه شمارندهها» چیست! یعنی همهٔ شمارندههای مخرج را بررسی کنیم؟
در درسنامهٔ کسر مصری سایت تکمیلی، راهحلهای متفاوت و جالبی برای کسرهای مصری وجود دارد. میتوانید از آنها استفاده کنید.
ببخشید این سوال آخر توی ویدیو ، جوابش با همه روش هایی که معرفی کردید تو درسنامه بدست میاد؟
با برخی از روشهای معرفی شده، جوابش بهدست میاد. ولی دقت کنید که روشهای گفته شده در درسنامه، همهٔ روشهای ممکن برای ساختن کسرهای مصری نیستند.
سلام خسته نباشید . ببخشید این درسنامه حتی برای اونایی که پایه هشتم رو خریداری کردن پولیه؟ چون من با حساب کاربری خودم هم باید خرید کنم اینطوری که نوشته…
سلام
بله. محصولات ریاضی هشتم بهصورت جداگانه عرضه میشوند.
سلام بنده پک هشتم رو خریده بودم ولی نمیخواستم تو گوشی باشه زدم تو کامپیوتر و به نوعی اخراجش کردم گوشی رو و حالا برام پک نیست من به این پک نیاز مندم لطفا رسیدگی کنید
سلام
در گوشیتان روی دکمهٔ ورود (دکمهٔ آبیرنگ نوار بالای سایت) کلیک کنید؛ در صفحهای که باز میشود، نام کاربری و گذرواژهتان را وارد کنید. آنوقت میتوانید به محصولی که خریدهاید، دسترسی داشته باشید.
سلام
ببخشید منبع این ویدئو کجاست؟
سلام
این ویدئو در یوتیوب هست؛ عبارت the mystery of egyptian fraction را گوگل کنید.
خیلی ممنونم ?
چرا پولی کردین همه چیو؟؟؟؟؟
پارسال خیلی چیزها رایگان بود.
در ضمن همه چی گرون تر شده
واقعا که اصلا انتظار نداشتم
همانطور که میدانید، در سه سال گذشته، تورم و گرانی بسیار زیاد بوده است. ما در این سه سال، همیشه سعی کردهایم که کمترین میزان افزایش قیمت را داشته باشیم. (که اگر نداشته باشیم، طبیعتاً این وبسایت نمیتواند به کارش ادامه دهد.)
امسال محصولات جدیدی داریم که برخی رایگان هستند و برخی نیستند؛ اما هنوز هیچکدام از بخشهای رایگانِ پارسال، پولی نشدهاند. مثلاً همین درسنامهٔ کسر مصری، پارسال هم رایگان نبود.
به هر حال، از همراهی شما سپاسگزاریم و ما برای شما اعضای قدیمی و فعال سایت، تخفیفها و امتیازاتی را در نظر میگیریم.
سلام.من یه سوالی واسم پیش اومده.برای کسر ۴/۱۳ ما اول توی روش حریصانه میایم بزرگترین کسر کوچیکتر از ۴/۱۳ رو حساب میکنیم میشه ۱/۴.بعد میایم ۴/۱۳رو منهای۱/۴میکنیم میشه ۳/۵۲بعدش گفته که حالا ۳/۵۲مبنا قرار میدیم بعد میایم کوچیکترین کسر بزرگتر از ۳/۵۲رو مینویسیم میشه ۱/۱۸بعد میگیم که ۳/۵۲رو منهای ۱/۱۸میکنیم میشه ۱/۴۶۸حالا ما مگه نباید این ۱/۴۶۸رو مبنا قرار بدیم بعدش بزرگترین کسر کوچیکتر از اون رو بنویسیم مثل ۳/۵۲که ننوشتیمش به جاش بزرگترین کسر مصری کوچیکتر از اون رو نوشتیم.پس چرا جواب میشه ۱/۴+۱/۱۸+۱/۴۶۸؟
در الگوریتم حریصانه وقتی پس از تفریق کردن به کسری با صورت \(1\) برسیم، الگوریتم متوقف میشود. در \(\frac{4}{13}\) وقتی به \(\frac{1}{468}\) رسیدید، الگوریتم متوقف میشود و برای \(\frac{4}{13}\) یک کسر مصری با سه جمله بهدست میآید:
\[\frac{1}{4}+\frac{1}{18}+\frac{1}{468}.\]
خیلی خوب بود ممنون
https://goodcalculators.com/egyptian-fraction-calculator/
این ماشین حساب کسر های مصری هم خیلی خوبه
خیلی امکانات خوبی داره
و همون جا میتونیم الگوریتمشم مشخص کنیم که ساده باشه یا حریصانه و …
مرسی
سلام ببخشید……..خاستم ب دومورد اشاره کنم
یکی اینکه اون خط اخر لینکش خرابه (مسعله 13(2)صحفه 14) منظورم اینه
و اینکه ماشین حساب مصری فقط یکی از سایتاش کار میکنه اون یکی خرابه ! یا لینکشو اشتباه دادین یا فیلتره ! ک البته با ویپی ان هم اومدم باز نرفت تو سایتش ………سایتتون محشرهههه درسنامه کسر مصری رو خوندم کلی حال کردم باش 🙂 واقن ممنونم
بررسی شد.
لینک هر دو ماشینحساب سالم بود.
بله دوباره امتحان کردم درست بود -_- ولی دیشب فقط حریصانه کار میکرد اون یکی نمیومد……..مرسی ک برسی کردید
سلام این سایت خیلی خوبه….ولی اگر لطف کنید و مثالهای کتاب تکمیلی هشتم یعنی همین کسر های مصری واضح و کامل حل کنید خیلی عالی میشه….چون توی امتحانات نوبت اول اومد و نتونستم حل کنم …اگر توی نوبت دوم هم بیاد دیگه وا ویلاااا
سلام
همهٔ مثالهای کسرهای مصری، کامل حل شدند. ضمن اینکه درسنامهٔ مفصلی برای کسر مصری نوشته شد.