مطالب تدریس شده در کلاس و تمرین‌های روزانه
هریک از چندجمله‌ای‌های زیر را تجزیه کنید.
$$1-x^2-2xy-y^2$$
\[\begin{aligned}&1-x^2-2xy-y^2\\&=1-(x^2+2xy+y^2)\\&=1-(x+y)^2\\&=\big(1-(x+y)\big)\big(1+(x+y)\big)\\&=(1-x-y)(1+x+y).\end{aligned}\]
در راه‌حل بالا از دسته‌بندی، فاکتورگیری، اتحاد مربع دوجمله‌ای، و اتحاد مزدوج استفاده شده است.
$$x^2-2ax-4b^2+a^2$$
\[\begin{aligned}&x^2-2ax-4b^2+a^2\\&=(x^2-2ax+a^2)-4b^2\\&=(x-a)^2-(2b)^2\\&=(x-a-2b)(x-a+2b).\end{aligned}\]
در راه‌حل بالا از دسته‌بندی، اتحاد مربع دوجمله‌ای، و اتحاد مزدوج استفاده شده است.
$$a^4+2a^2b^2-3b^4+2a^2-2b^2$$
ابتدا، \(a^4+2a^2b^2-3b^4\) را تجزیه می‌کنیم. برای تجزیهٔ \(a^4+2a^2b^2-3b^4\) می‌توان از ایدهٔ اتحاد جمله مشترک استفاده کرد(؟)، ولی ما در اینجا از ایدهٔ دیگری استفاده می‌کنیم:
\[\begin{aligned}&a^4+{\color{blue}2a^2b^2}-3b^4\\&=a^4+{\color{blue}3a^2b^2-a^2b^2}-3b^4\\&=\big(a^4+3a^2b^2\big)+\big(-a^2b^2-3b^4\big)\\&=a^2\big(a^2+3b^2\big)-b^2\big(a^2+3b^2\big)\\&=\big(a^2-b^2\big)\big(a^2+3b^2\big).\end{aligned}\] بنابراین:
\[\begin{aligned}&a^4+2a^2b^2-3b^4+2a^2-2b^2\\&=\big(a^4+2a^2b^2-3b^4\big)+\big(2a^2-2b^2\big)\\&=\big(a^2-b^2\big)\big(a^2+3b^2\big)+2\big(a^2-b^2\big)\\&=\big(a^2-b^2\big)\big(a^3+3b^2+2\big)\\&=(a-b)(a+b)(a^3+3b^2+2).\end{aligned}\]
در راه‌حل بالا از دسته‌بندی، فاکتورگیری، و اتحاد مزدوج استفاده شده است.
$$x^2-10y-y^2-25$$
\[\begin{aligned}&x^2-10y-y^2-25\\&=x^2-(10y+y^2+25)\\&=x^2-(y+5)^2\\&=\big(x-(y+5)\big)\big(x+(y+5)\big)\\&=(x-y+5)(x+y+5).\end{aligned}\]
$$m^4+1-4n^2-2m^2-a^2+4na$$
\[\begin{aligned}&m^4+1-4n^2-2m^2-a^2+4na\\&=(m^4+1-2m^2)-(4n^2+a^2-4na)\\&=(m^2-1)^2-(2n-a)^2\\&=\big((m^2-1)-(2n-a)\big)\big((m^2-1)+(2n-a)\big)\\&=(m^2-1-2n+a)(m^2-1+2n-a).\end{aligned}\]
در راه‌حل بالا از دسته‌بندی، فاکتورگیری، اتحاد مربع دوجمله‌ای، و اتحاد مزدوج استفاده شده است.
$$x^4-x^3-x^2+2x-1$$
\[\begin{aligned}&x^4-x^3-x^2+2x-1\\&=(x^4-x^3)-(x^2-2x+1)\\&=x^3(x-1)-(x-1)^2\\&=x^3{\color{red}(x-1)}-(x-1){\color{red}(x-1)}\\&=\big(x^3-(x-1)\big){\color{red}(x-1)}\\&=(x^3-x+1)(x-1).\end{aligned}\]
در راه‌حل بالا از دسته‌بندی، فاکتورگیری، و اتحاد مربع دوجمله‌ای استفاده شده است.
$$9a^2+b^2-x^2-6ab+2x-1$$
\[\begin{aligned}&9a^2+b^2-x^2-6ab+2x-1\\&=(9a^2+b^2-6ab)-(x^2-2x+1)\\&=(3a-b)^2-(x-1)^2\\&=\big((3a-b)-(x-1)\big)\big((3a-b)+(x-1)\big)\\&=(3a-b-x+1)(3a-b+x-1).\end{aligned}\]
در راه‌حل بالا از دسته‌بندی، فاکتورگیری، اتحاد مربع دوجمله‌ای، و اتحاد مزدوج استفاده شده است.
$$(a+b^2)^2-5a-5b^2+4$$
\[\begin{aligned}&\big(a+b^2\big)^2-5a-5b^2+4\\&=\big({\color{purple}a+b^2}\big)^2-5\big({\color{purple}a+b^2}\big)+4.\end{aligned}\] حال، برای سادگی، به‌جای \(a+b^2\)، \(y\) می‌گذاریم:
\[\begin{aligned}&\big({\color{purple}a+b^2}\big)^2-5\big({\color{purple}a+b^2}\big)+4\\&=y^2-5y+4.\end{aligned}\] عبارت \(y^2-5y+4\) را با استفاده از اتحاد جمله مشترک تجزیه می‌کنیم:
\[\begin{aligned}&y^2-5y+4\\&=(y-1)(y-4).\end{aligned}\] اکنون، به‌جای \(y\)، \(a+b^2\) را قرار می‌دهیم:
\[\begin{aligned}&(y-1)(y-4)\\&=\big(a+b^2-1\big)\big(a+b^2-4\big).\end{aligned}\]بنابراین:
\[\begin{aligned}&\big(a+b^2\big)^2-5a-5b^2+4\\&=\big({\color{purple}a+b^2}\big)^2-5\big({\color{purple}a+b^2}\big)+4\\&=\big({\color{purple}a+b^2}-1\big)\big({\color{purple}a+b^2}-4\big).\end{aligned}\]
در راه‌حل بالا، از دسته‌بندی، فاکتورگیری، تغییرمتغیر، و اتحاد جمله مشترک استفاده شده است.
$$a^2+b^2+3a-2ab-3b-10$$
\[\begin{aligned}&a^2+b^2+3a-2ab-3b-10\\&=(a^2+b^2-2ab)+(3a-3b)-10\\&=(a-b)^2+3(a-b)-10.\end{aligned}\]حال اگر برای سادگی، \(a-b\) را برابر \(y\) قرار دهیم، خواهیم داشت:
\[\begin{aligned}&(a-b)^2+3(a-b)-10\\&=y^2+3y-10\\&=(y+5)(y-2)\\&=(a-b+5)(a-b-2).\end{aligned}\]
در راه‌حل بالا از دسته‌بندی، فاکتورگیری، و اتحاد جمله مشترک استفاده شده است.
$$-3a^2-3+12x^2+6a$$
\[\begin{aligned}&-3a^2-3+12x^2+6a\\&=-3(a^2+1-4x^2-2a)\\&=-3\big((a^2-2a+1)-4x^2\big)\\&=-3\big((a-1)^2-(2x)^2\big)\\&=-3(a-1-2x)(a-1+2x).\end{aligned}\]
در راه‌حل بالا از فاکتورگیری، دسته‌بندی، اتحاد مربع دوجمله‌ای، و اتحاد مزدوج استفاده شده است.
$$x^6+4x^2+5$$
\[\begin{aligned}&x^6+4x^2+{\color{blue}5}\\&=x^6+4x^2+{\color{blue}1+4}\\&=(x^6+1)+(4x^2+4)\\&=(x^2+1)(x^4-x^2+1)+4(x^2+1)\\&=(x^2+1)(x^4-x^2+1+4)\\&=(x^2+1)(x^4-x^2+5)\\&=(x^2+1)\big(x^4-x^2+(\sqrt{5}\,)^2+{\color{red}2\sqrt{5}x^2-2\sqrt{5}x^2}\big)\\&=(x^2+1)\big((x^2+\sqrt{5}\,)^2-x^2-2\sqrt{5}x^2\big)\\&=(x^2+1)\big((x^2+\sqrt{5}\,)^2-(1+2\sqrt{5})x^2\big)\\&=(x^2+1)\Big(x^2+\sqrt{5}-\sqrt{1+2\sqrt{5}}x\Big)\Big(x^2+\sqrt{5}+\sqrt{1+2\sqrt{5}}x\Big).\end{aligned}\]
در راه‌حل بالا، از خرد کردن، دسته‌بندی، فاکتورگیری، و ایدهٔ جلسهٔ هجدهم درسنامهٔ اتحاد و تجزیه استفاده شده است.
$$x^5-2x^2+1$$
\[\begin{aligned}&x^5-2x^2+1\\&=x^5-x^3+x^3-x^2-x^2+1\\&=(x^5-x^3)+(x^3-x^2)-(x^2-1)\\&=x^3(x^2-1)+x^2(x-1)-(x^2-1)\\&=x^3(x+1)(x-1)+x^2(x-1)-(x+1)(x-1)\\&=\big(x^3(x+1)+x^2-(x+1)\big)(x-1)\\&=\big(x^4+x^3+x^2-x-1\big)(x-1).\end{aligned}\]
$$4x^4-5x^2y^2+y^4$$
\[\begin{aligned}&4x^4{\color{blue}\,-\,5x^2y^2}+y^4\\&=4x^4{\color{blue}\,-\,4x^2y^2-x^2y^2}+y^4\\&=(4x^4-4x^2y^2)+(-x^2y^2+y^4)\\&=4x^2(x^2-y^2)-y^2(x^2-y^2)\\&=(4x^2-y^2)(x^2-y^2)\\&=(2x-y)(2x+y)(x-y)(x+y).\end{aligned}\]
در راه‌حل بالا، از خرد کردن، دسته‌بندی، فاکتورگیری، و اتحاد مزدوج استفاده شده است.
$$x^8-5x^4+4$$
\[\begin{aligned}&x^8-5x^4+4\\&=(x^4-1)(x^4-4)\\&=(x^2-1)(x^2+1)(x^2-2)(x^2+2)\\&=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x-\sqrt{2}\,)(x+\sqrt{2}\,)(x^2+2).\end{aligned}\]
در راه‌حل بالا، از اتحاد جمله مشترک و اتحاد مزدوج استفاده شده است.
$$x^4-2x^2+49$$
\[\begin{aligned}&x^4-2x^2+49\\&=x^4-2x^2+49+{\color{blue}16x^2-16x^2}\\&=(x^4+14x^2+49)-16x^2\\&=(x^2+7)^2-(4x)^2\\&=(x^2+7-4x)(x^2+7+4x).\end{aligned}\]
در راه‌حل بالا، از ایدهٔ جلسهٔ هجدهم درسنامهٔ اتحاد و تجزیه استفاده شده است.
$$3x^3-5x+2$$
\[\begin{aligned}&3x^3{\color{blue}\,-\,5x}+2\\&=3x^3{\color{blue}\,-\,3x-2x}+2\\&=3x(x^2-1)-2(x-1)\\&=3x(x+1){\color{red}(x-1)}-2{\color{red}(x-1)}\\&={\color{red}(x-1)}\big(3x(x+1)-2\big)\\&=(x-1)(3x^2+3x-2).\end{aligned}\]
$$x^2-y^2-6x-4y+5$$
\[\begin{aligned}&x^2-y^2-6x-4y+{\color{bule}5}\\&=x^2-y^2-6x-4y+{\color{blue}9-4}\\&={\color{red}x^2}{\color{green}\,-\,y^2}{\color{red}\,-\,6x}{\color{green}\,-\,4y}+{\color{red}9}{\color{green}\,-\,4}\\&={\color{red}(x^2-6x+9)}+{\color{green}(-y^2-4y-4)}\\&=(x^2-6x+9)-(y^2+4y+4)\\&=(x-3)^2-(y+2)^2\\&=\big((x-3)-(y+2)\big)\big((x-3)+(y+2)\big)\\&=(x-y-5)(x+y-1).\end{aligned}\]
در راه‌حل بالا، از خرد کردن، دسته‌بندی، فاکتورگیری، اتحاد مربع دوجمله‌ای، و اتحاد مزدوج استفاده شده است.
$$(x+y+1)^2-x-y-3$$
\[\begin{aligned}&(x+y+1)^2-x-y{\color{blue}\,-\,3}\\&=(x+y+1)^2-x-y{\color{blue}\,-\,1-2}\\&=(x+y+1)^2-(x+y+1)-2.\end{aligned}\] حال اگر برای سادگی، \(x+y+1\) را برابر \(A\) قرار دهیم، خواهیم داشت:
\[\begin{aligned}&(x+y+1)^2-(x+y+1)-2\\&=A^2-A-2\\&=(A+1)(A-2)\\&=(x+y+1+1)(x+y+1-2)\\&=(x+y+2)(x+y-1).\end{aligned}\]
در راه‌حل بالا، از خرد کردن، فاکتورگیری، دسته‌بندی، تغییر متغیر، و اتحاد جمله مشترک استفاده شده است.
$$x^5+x^3-x^2-1$$
\[\begin{aligned}&x^5+x^3-x^2-1\\&=(x^5+x^3)-(x^2+1)\\&=x^3(x^2+1)-1(x^2+1)\\&=(x^3-1)(x^2+1)\\&=(x-1)(x^2+x+1)(x^2+1).\end{aligned}\]
$$ax^3+x^2+x+1-a$$
\[\begin{aligned}&ax^3+x^2+x+1-a\\&=(ax^3-a)+(x^2+x+1)\\&=a(x^3-1)+(x^2+x+1)\\&=a(x-1)(x^2+x+1)+(x^2+x+1)\\&=a(x-1){\color{red}(x^2+x+1)}+1{\color{red}(x^2+x+1)}\\&=(a(x-1)+1){\color{red}(x^2+x+1)}\\&=(ax-a+1)(x^2+x+1).\end{aligned}\]
در راه‌حل بالا، از دسته‌بندی، فاکتورگیری، و اتحاد چاق و لاغر استفاده شده است.
$$x^4-10x^2+169$$
\[\begin{aligned}&x^4-10x^2+169\\&=x^4-10x^2+169+{\color{red}26x^2}-{\color{red}26x^2}\\&={\color{blue}x^4}-10x^2+{\color{blue}169}+{\color{blue}26x^2}-26x^2\\&={\color{blue}(x^2+13)^2}-36x^2\\&=(x^2+13-6x)(x^2+13+6x).\end{aligned}\]
در راه‌حل بالا، از ایدهٔ جلسهٔ هجدهم درسنامهٔ اتحاد و تجزیه استفاده شده است.
$$(a+1)(a+3)(a+5)(a+7)+15$$
\[\begin{aligned}&(a+1)(a+3)(a+5)(a+7)+15\\&={\color{red}(a+1)(a+7)}{\color{blue}(a+3)(a+5)}+15\\&={\color{red}(a^2+8a+7)}{\color{blue}(a^2+8a+15)}+15.\end{aligned}\] برای سادگی، \(a^2+8a\) را برابر \(y\) قرار می‌دهیم:
\[\begin{aligned}&(a^2+8a+7)(a^2+8a+15)+15\\&=(y+7)(y+15)+15\\&=y^2+22y+105+15\\&=y^2+22y+120\\&=(y+10)(y+12)\\&=(a^2+8a+10)(a^2+8a+12)\\&=(a^2+8a+10)(a+2)(a+6).\end{aligned}\]
در راه‌حل بالا، از اتحاد جمله مشترک و تغییر متغیر استفاده شده است.
$$(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)-24$$
\[\begin{aligned}&(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)-24\\&={\color{red}(a+1)(a+4)}{\color{blue}(a+2)(a+3)}-24\\&={\color{red}(a^2+5a+4)}{\color{blue}(a^2+5a+6)}-24.\end{aligned}\] برای سادگی، \(a^2+5a\) را برابر \(y\) قرار می‌دهیم:
\[\begin{aligned}&(a^2+5a+4)(a^2+5a+6)-24\\&=(y+4)(y+6)-24\\&=y^2+10y+24-24\\&=y^2+10y\\&=y(y+10)\\&=(a^2+5a)(a^2+5a+10)\\&=a(a+5)(a^2+5a+10).\end{aligned}\]
در راه‌حل بالا، از اتحاد جمله مشترک، تغییر متغیر، و فاکتورگیری استفاده شده است.
$$x^6+2x^5+3x^4+24x^3+23x^2+22x+21$$
عبارت داده شده را در چند مرحله، تجزیه می‌کنیم.
مرحلهٔ اول
\[\begin{aligned}&x^6+2x^5+3x^4+24x^3+23x^2+22x+21\\&=x^6+x^5+x^5+x^4+2x^4+2x^3+22x^3+22x^2+x^2+x+21x+21\\&=(x^6+x^5)+(x^5+x^4)+(2x^4+2x^3)+(22x^3+22x^2)+(x^2+x)+(21x+21)\\&=x^5{\color{red}(x+1)}+x^4{\color{red}(x+1)}+2x^3{\color{red}(x+1)}+22x^2{\color{red}(x+1)}+x{\color{red}(x+1)}+21{\color{red}(x+1)}\\&=(x^5+x^4+2x^3+22x^2+x+21){\color{red}(x+1)}.\end{aligned}\]در این مرحله، می‌توانستیم از روش حدس زدن ریشه نیز استفاده کنیم. با یک محاسبهٔ ساده مشخص می‌شود که \(-1\) ریشهٔ \(x^6+2x^5+3x^4+24x^3+23x^2+22x+21\) است. پس این عبارت بر \(x+1\) بخش‌پذیر است. بنابراین، با تقسیم \(x^6+2x^5+3x^4+24x^3+23x^2+22x+21\) بر \(x+1\) (با الگوریتم تقسیم یا روش هورنر)، عبارت بالا به‌دست می‌آید.
مرحلهٔ دوم
در این مرحله می‌خواهیم \(x^5+x^4+2x^3+22x^2+x+21\) را تجزیه کنیم.
\[\begin{aligned}&x^5+x^4+2x^3+22x^2+x+21\\&=x^5+x^4+x^3+x^3+21x^2+x^2+x+21\\&=(x^5+x^4+x^3+21x^2)+(x^3+x^2+x+21)\\&=x^2{\color{red}(x^3+x^2+x+21)}+1{\color{red}(x^3+x^2+x+21)}\\&=(x^2+1){\color{red}(x^3+x^2+x+21)}.\end{aligned}\]
مرحلهٔ سوم
در این مرحله باید \(x^3+x^2+x+21\) را تجزیه کنیم.
\[\begin{aligned}&x^3+{\color{red}x^2}+{\color{blue}x}+21\\&=x^3+{\color{red}3x^2-2x^2}+{\color{blue}7x-6x}+21\\&=(x^3+3x^2)+(-2x^2-6x)+(7x+21)\\&=x^2{\color{green}(x+3)}-2x{\color{green}(x+3)}+7{\color{green}(x+3)}\\&=(x^2-2x+7){\color{green}(x+3)}.\end{aligned}\]در این مرحله می‌توانستیم از روش ضرایب نامعین نیز استفاده کنیم. چون \(x^3+x^2+x+21\) یک چندجمله‌ای درجه \(3\) است، پس می‌توان آن را به‌صورت حاصل‌ضرب یک چندجمله‌ای درجه \(1\) در یک چندجمله‌ای درجه \(2\) نوشت:
\[\begin{aligned}&x^3+x^2+x+21\\&=(x^2+ax+b)(x+c).\end{aligned}\] حال، کافی است که با استفاده از روش ضرایب نامعین، مقادیر \(a\)، \(b\)، و \(c\) را بیابید.
مرحلهٔ چهارم
در این مرحله، با استفاده از سه مرحلهٔ قبل، تجزیه شدهٔ \(x^6+2x^5+3x^4+24x^3+23x^2+22x+21\) را می‌نویسیم!
\[\begin{aligned}&x^6+2x^5+3x^4+24x^3+23x^2+22x+21\\&=(x+1)(x^2+1)(x^2-2x+7)(x+3).\end{aligned}\]
در راه‌حل بالا، از خرد کردن، دسته‌بندی، و فاکتورگیری استفاده شده است.
