تست هوش پیشرفته (۲۵ آزمون هوش آنلاین)

اعداد $180$ و $120$ باید جابه‌جا شوند.

با روند زیر، هر عدد الگوی اول از عدد قبلی‌اش ساخته می‌شود:

\[\times 2,\times 3,\times 2,\times 3,\times 2\]

با روند زیر، هر عدد الگوی دوم از عدد قبلی‌اش به‌دست می‌آید:

\[\times 3,\times 2,\times 3,\times 2,\times 3\]

پاسخ تشریحی

رومیزی به هیچ نوعی از انواع خوراکی اشاره نمی‌کند. گزینه‌های دیگر عبارتند از:
قیمه‌پلو
کشک بادنجان
کته کباب
ماست و خیار

کاشی C3 باید با کاشی گزینهٔ C جایگزین شود.

توجه کنید که در هر سطر و ستون دو کاشی اول و دوم را روی هم قرار می‌دهیم تا کاشی سوم حاصل شود با این شرط که خطوطی که روی می‌افتند حذف می‌شوند.

پاسخ تشریحی

سطر اول را عددی یک‌رقمی، سطر دوم را عددی دورقمی، سطر سوم را عددی سه‌رقمی و سطر چهارم را عددی چهاررقمی در نظر بگیرید. اگر عدد هر سطر را در \(8\) ضرب کنیم، عدد سطر بعدی به‌دست می‌آید:
\[\begin{aligned}&9\times{\color{red}8}=72\\&72\times{\color{red}8}=576\\&576\times{\color{red}8}=4608.\end{aligned}\]
بنابراین، به‌جای علامت سؤال باید عدد \(0\) قرار بگیرد.

پاسخ، عدد ۶ است.
در سمت چپ جدول،‌ هر سطر را یک عدد سه رقمی در نظر بگیرید. دراین‌صورت مجموع عدد سطر اول و عدد سطر سوم برابر است با عدد سطر دوم:
\[498+379=877\]

پاسخ تشریحی

همهٔ کلمات داده شده، به‌جز هولناک، بار معنایی مثبت دارند.

پاسخ تشریحی

اعداد دنبالهٔ داده شده را به‌ دو دسته تقسیم می‌کنیم:
\[{\color{red}6\frac{7}{8}},\,{\color{blue}2\frac{9}{16}},\,{\color{red}5\frac{5}{8}},\,{\color{blue}3\frac{13}{16}},\,{\color{red}4\frac{3}{8}},\,{\color{blue}?}\]
اعداد قرمز از \(6\frac{7}{8}\) شروع می‌شوند و برای به‌دست آوردن اعداد بعدی باید \(1\frac{1}{4}\) از عدد قبلی کم کرد:
\[\begin{aligned}&6\frac{7}{8}-1\frac{1}{4}=5\frac{5}{8}\\[7pt]&5\frac{5}{8}-1\frac{1}{4}=4\frac{3}{8}\end{aligned}\]
اعداد آبی از \(2\frac{9}{16}\) شروع می‌شوند و برای به‌دست آوردن اعداد بعدی باید \(1\frac{1}{4}\) به عدد قبلی اضافه کرد:
\[\begin{aligned}&2\frac{9}{16}+1\frac{1}{4}=3\frac{13}{16}\\[7pt]&3\frac{13}{16}+1\frac{1}{4}=5\frac{1}{16}.\end{aligned}\]

پاسخ، به صورت "4 3 5 1 2" یا "2 1 5 3 4" است.
توجه کنید که مجموع اعداد \(1\) تا \(5\) برابر با \(15\) است. بنابراین طبق شرط اول دو عدد \(2\) و \(4\) باید در دو دایرۀ بیرونی باشند.

چون پول علی چهار برابر پول جمال، و پول جمال سه برابر پول سوسن است، پس پول علی دوازده برابر پول سوسن است. بنابراین، اگر \(192\) هزار تومان را به \(16\) قسمت مساوی تقسیم کنیم، آن‌وقت \(1\) قسمت آن سهم سوسن، \(3\) قسمت آن سهم جمال و \(12\) قسمت آن سهم علی است. در نتیجه، سهم سوسن، جمال، و علی به‌ترتیب برابر \(12\) هزار تومان، \(36\) هزار تومان، و \(144\) هزار تومان است. زیرا:
\[\begin{aligned}&192\div16=12\\&12\times3=36\\&12\times12=144.\end{aligned}\]

عدد \(569\) در مربع سمت چپ و عدد \(986\) در مربع سمت راست است.
تمام اعداد در دو مربع به‌جز دو عدد \(569\) و \(986\) به صورت دوتایی دارای ارقام یکسان با ترتیب متفاوت هستند. به عنوان مثال در مربع سمت چپ عدد \(749\) و در مربع سمت راست عدد \(479\) را داریم. به همین صورت جفت‌های \(682\) و \(268\)، \(382\) و \(238\)، \(516\) و \(165\)، \(578\) و \(758\)، \(129\) و \(291\) را مشاهده می‌کنید.

پاسخ تشریحی

شکل زیر، پاسخ این مسئله است.

اگر شکل بالا را به شکل داده شده بچسبانیم، مربع زیر ساخته می‌شود.

پاسخ تشریحی

ترکیب هر دو کلمهٔ پشت هم، عبارت جدیدی می‌سازد.
گارگزار
پیگردِ قانونی
صلاحدید

پاسخ تشریحی

برای حل این مسئله کافی است مسیر برعکس را پیدا کنیم؛ یعنی ابتدا خانه‌ای را پیدا کنیم که خانهٔ بعدی آن، خانهٔ گنج است. همان‌طور که در شکل زیر می‌بینید، فقط از خانهٔ زردرنگ می‌توان به خانهٔ گنج رفت.

و در مرحلهٔ بعد، خانهٔ قبلی خانهٔ زردرنگ را پیدا کنیم و همین‌طور ادامه دهیم تا به‌خانهٔ اول برسیم. در شکل زیر، خانهٔ شروع (\(1\)) و خانه‌های بعدی به‌ترتیب شماره‌گذاری شده‌اند.

در هر خانه، رقم‌ها را باهم جمع می‌کنیم و حاصل را در خانهٔ زیر آن می‌نویسیم. بنابراین، گزینهٔ زیر، پاسخ مسئله است.

پاسخ تشریحی

پاسخ تشریحی

چون مرد شلخته، \(21\) لنگه جوراب آبی و \(17\) لنگه جوراب قرمز دارد، پس اگر او \(21+17=38\) لنگه جوراب بردارد، ممکن است که هیچ لنگه جوراب سیاهی بر نداشته باشد. بنابراین، برای اینکه صد در صد مطمئن شود که حتماً یک جفت جوراب سیاه برداشته است، باید \(38+2=40\) لنگه جوراب برداشته باشد.

این سؤال که در دو قسمت از برنامه هوشیار مطرح شده است، یک دنباله عددی نیست بلکه یک کد است. اگر حروف الفبا را به ترتیب شماره گذاری کنیم دنبالهٔ \(31,30,16,32,1,12\) متناظر با واژهٔ هوشیار است.

سؤالات مسابقهٔ هوشیار را حتماً حل کنید.

همه سؤالات مسابقه هوشیار

در شکل بالا، قسمت سمت چپ پایین متعادل است. زیرا:
\[6\times{\color{red}1}=2\times{\color{red}3}.\] توجه کنید که اعداد \(1\) و \(3\) در رابطهٔ بالا، فاصلهٔ وزنه‌ها از خط مشخص شده در شکل زیر هستند.

وزن سمت چپ برابر است با:
\[\begin{aligned}&(6+2)\times{\color{red}7}\\&=8\times7\\&=56.\end{aligned}\] توجه کنید که عدد \(7\) در رابطهٔ بالا، فاصلهٔ خط آبی از خط قرمز در شکل زیر است.

و وزن سمت راست برابر است با: \[\begin{aligned}&4\times{\color{red}11}+3\times{\color{red}4}\\&=44+12\\&=56.\end{aligned}\] توجه کنید که اعداد \(11\) و \(4\) فاصله‌ٔ وزنه‌های سمت راست از خط مشخص شده در شکل زیر است.

پاسخ تشریحی

پاسخ به صورت، \(30,\,18,\,48,\,66\) است.
با شروع از بالا در هر ستون، هر دو عدد متوالی را با هم جمع کنید تا به عدد بعدی برسید. برای ستون اول داریم:
\[\begin{aligned}3+8&=11\\8+11&=19\\11+19&=30\end{aligned}\]
و به همین ترتیب برای ردیف آخر ستون‌های بعدی داریم:
\[\begin{aligned}8+10&=18\\19+29&=48\\27+39&=66\end{aligned}\]

پاسخ تشریحی

بان در هر 4کلمه می‌تواند کلمه‌ و معنا را تغییر دهد.
محیط‌بان
سوزن‌بان
نگهبان
پارکبان

پاسخ تشریحی

از ساعت \(10\) صبح تا \(12\) ظهر، \(2\) ساعت یا \(2\times60=120\) دقیقه است. با توجه به صورت مسئله، این \(2\) ساعت به یک \(9\) دقیقه و سه قسمت برابر (دو قسمت از \(10\) صبح تا \(9\) دقیقه قبل از الان، و یک قسمت از الان تا \(12\)) تقسیم شده است. پس هریک از این قسمت‌ها برابر است با:
\[\begin{aligned}&(120-9)\div3\\&=111\div3\\&=37.\end{aligned}\] یعنی \(37\) دقیقهٔ دیگر ساعت \(12\) می‌شود.

پاسخ تشریحی

پاسخ، عدد \(16\) در بالا و عدد \(10920\) در پایین است.
عدد بالایی در هر لوزی از حاصل جمع ارقام اعداد لوزی قبل از خود به دست می‌آید و عدد پایینی در هر لوزی از حاصل ضرب دو عدد درون لوزی قبل از خود حاصل می‌شود.
بنابراین برای قسمت بالایی داریم:
\[1+3+8+4+0=16.\]
و برای قسمت پایینی داریم:
\[13\times840=10920.\]

مجموع سن مرجان، مهتاب، مریم، و بهار برابر است با: \[29+57=86.\] پس سن مونا برابر است با: \[107-86=21.\] از طرفی، چون مجموع سن مونا و بهار برابر \(46\) است، پس سن بهار برابر است با: \[46-21=25.\] مجموع سن مریم و بهار برابر \(57\) است، پس سن مریم برابر است با: \[57-25=32.\] مجموع سن مهتاب و مریم برابر \(44\) است، پس سن مهتاب برابر است با: \[44-32=12.\] مجموع سن مرجان و مهتاب برابر \(29\) است، پس سن مرجان برابر است با: \[29-12=17.\]

پاسخ تشریحی

حرف مقابل «ث»، حرف «آ» است. دو حرف بعد از «آ»، در جهت عقربه‌های ساعت، حرف «پ» است. و حرف مقابل «پ»، حرف «چ» است.

ابتدا باید همهٔ اعدادی مانند \(a\) را پیدا کنیم به‌طوری‌که \[a\in\{x\in\mathbb{N}\mid250\leq x\leq650\}\] و \(a\) مضرب \(11\) باشد. این اعداد عبارتند از:
\[253,264,275,\dots,649\] که تعداد آن‌ها برابر است با:\[\begin{aligned}\frac{649-253}{11}+1&=\frac{396}{11}+1\\&=36+1\\&=37.\end{aligned}\] حال، مقدار \(P\) را به‌دست می‌آوریم:
\[P=\frac{37}{650-250+1}={\color{red}\frac{37}{401}}.\]
اگر صورت دو کسر برابر باشد، کسری بزرگ‌تر است که مخرج کمتری دارد. بنابراین، \({\color{red}\frac{37}{401}} < \frac{37}{400}\). از طرفی، بنابه خاصیت آب‌نمکی در تمرین ۴ صفحهٔ ۳۵ (روش ملیحه) کتاب ریاضیات تکمیلی نهم دیدید، داریم:
\[\begin{aligned}&\frac{36}{400}<\frac{36+1}{400+1}<\frac{1}{1}\\[7pt]&\frac{36}{400}<{\color{red}\frac{37}{401}}<\frac{1}{1}.\end{aligned}\] پس داریم:
\[\begin{aligned}\frac{36}{400}<{\color{red}\frac{37}{401}}<\frac{37}{400}<\frac{38}{400}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

این مسئله را می‌توان با استفاده از تقارن موجود در شکل به‌سادگی (ولی بدون استدلال دقیق هندسی) حل کرد.
اما راه‌حلی که در زیر نوشته‌ایم، از نظر استدلالی، تقریباً کامل است. 

راهنمای حل

می‌خواهیم شعاع دایرهٔ بزرگ یا طول پاره‌خط سبزِ شکل زیر را به‌دست آوریم.

برای پیدا کردن طول پاره‌خط سبز، فقط به سه‌ دایره‌ نیاز داریم. (سه دایرهٔ پرُرنگِ شکل زیر)

مرکز‌های این سه دایره و محل برخورد آنها را به‌صورت زیر نام‌گذاری می‌کنیم.

در ادامهٔ راه‌حل، نیاز است که درستی جملهٔ زیر را پذیرفته باشیم.

«اگر دو دایره با یکدیگر مماس باشند و مرکز این دو دایره را با یک پاره‌خط به‌هم وصل کنیم، نقطهٔ تماس دو دایره،‌ روی پاره‌خط رسم شده قرار دارد.»

چرا جملهٔ بالا درست است؟

بنابه فرض مسئله، شعاع دایره‌های کوچک برابر \(1\) است. پس مثلث $ABC$ یک مثلث متساوی‌الاضلاع با طول ضلع \(2\) است و $AE$ میانهٔ این مثلث است. از طرفی، می‌دانیم در مثلث متساوی‌الاضلاع، میانه و ارتفاع رسم شده از یک رأس برهم منطبق‌اند(؟). پس شعاع دایرهٔ بزرگ برابر $\sqrt{3}$ است. (چرا؟)

بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

\(AC=5\). (چرا؟)

به‌سادگی می‌توانیم طول \(BH\) را بیابیم. (چگونه؟)

\[\begin{aligned}\frac{A^2-B^2}{C^2}&=\frac{(A+B)(A-B)}{C^2}\\[7pt]&=\frac{\big(a^2-b^2+a^2+b^2\big)\big(a^2-b^2-(a^2+b^2)\big)}{(ab)^2}\\[7pt]&=\frac{(2a^2)(a^2-b^2-a^2-b^2)}{a^2b^2}\\[7pt]&=\frac{(2a^2)(-2b^2)}{a^2b^2}\\[7pt]&=\frac{-4a^2b^2}{a^2b^2}\\[7pt]&=-4.\end{aligned}\]

\(X-A=X-B\). (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

\(1.2\overline{3}=\dfrac{37}{30}\). (چرا؟)

\(A=\{5,8,11,14,\dots,302\}\). (چرا؟)

بنابراین گزینهٔ ۲ درست است.

\[\begin{aligned}\big|7\sqrt{3}-12\big|&=\big|\sqrt{49\times 3}-\sqrt{12\times 12}\big|\\&=\big|\underbrace{\sqrt{147}-\sqrt{144}}_{>0}\big|\\&=\sqrt{147}-\sqrt{144}\\&=7\sqrt{3}-12.\end{aligned}\]
بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

\[\begin{aligned}2a^3 < 0&\Rightarrow a^3 < 0\\&\Rightarrow a < 0\\&\Rightarrow|a|=-a.\quad (*)\end{aligned}\]
بنابه رابطهٔ \((*)\) داریم:
\[\begin{aligned}&\sqrt{a^2}+\sqrt[3]{a^3}+\sqrt[4]{a^4}+\sqrt[5]{a^5}+\dots+\sqrt[98]{a}+\sqrt[99]{a}+\sqrt[100]{a^{100}}\\&=\big(\sqrt{a^2}+\sqrt[3]{a^3}\big)+\big(\sqrt[4]{a^4}+\sqrt[5]{a^5}\big)+\dots+\big(\sqrt[98]{a}+\sqrt[99]{a}\big)+\sqrt[100]{a^{100}}\\&=\big(|a|+a\big)+\big(|a|+a\big)+\dots+\big(|a|+a\big)+|a|\\&=\big((-a)+a\big)+\big((-a)+a\big)+\dots+\big((-a)+a\big)+(-a)\\&=-a.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

پاسخ تشریحی

\[\begin{aligned}&\sqrt{0.025\times10^{-7}}\\&=\sqrt{25\times10^{-3}\times10^{-7}}\\&=\sqrt{25\times10^{-10}}\\&=5\times10^{-5}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

فرض کنیم شعاع این کره برابر $r$ باشد. چون حجم و مساحت کره برابر هستند، پس:
\[\begin{aligned}&\frac{4}{3}\pi r^3=4\pi r^2\\&\Rightarrow \frac{1}{3}r=1\\&\Rightarrow r=3.\end{aligned}\]

توجه کنید که در عبارتِ
\[\frac{1}{1\times 2}-\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{5\times 6}-\frac{1}{7\times 8}+\cdots \frac{1}{99\times 100}\]
علامت کسر $\dfrac{1}{99\times 100}$ مشخص نشده است؛ ابتدا باید علامت این کسر را معلوم کنیم.
در عبارت داده شده علامت کسر $\dfrac{1}{99\times 100}$، منفی است. (چرا؟)

مسئلهٔ مشابه

تمرین ۹ صفحهٔ ۱۳ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم

گزینهٔ ۴ درست است. (چرا؟)