تست هوش پیشرفته (۲۵ آزمون هوش آنلاین)

در هر خانه، رقم‌ها را باهم جمع می‌کنیم و حاصل را در خانهٔ زیر آن می‌نویسیم. بنابراین، گزینهٔ زیر، پاسخ مسئله است.

پاسخ تشریحی

پاسخ تشریحی

رومیزی به هیچ نوعی از انواع خوراکی اشاره نمی‌کند. گزینه‌های دیگر عبارتند از:
قیمه‌پلو
کشک بادنجان
کته کباب
ماست و خیار

پاسخ تشریحی

چون مرد شلخته، \(21\) لنگه جوراب آبی و \(17\) لنگه جوراب قرمز دارد، پس اگر او \(21+17=38\) لنگه جوراب بردارد، ممکن است که هیچ لنگه جوراب سیاهی بر نداشته باشد. بنابراین، برای اینکه صد در صد مطمئن شود که حتماً یک جفت جوراب سیاه برداشته است، باید \(38+2=40\) لنگه جوراب برداشته باشد.

پاسخ تشریحی

همهٔ کلمات داده شده، به‌جز هولناک، بار معنایی مثبت دارند.

در شکل بالا، قسمت سمت چپ پایین متعادل است. زیرا:
\[6\times{\color{red}1}=2\times{\color{red}3}.\] توجه کنید که اعداد \(1\) و \(3\) در رابطهٔ بالا، فاصلهٔ وزنه‌ها از خط مشخص شده در شکل زیر هستند.

وزن سمت چپ برابر است با:
\[\begin{aligned}&(6+2)\times{\color{red}7}\\&=8\times7\\&=56.\end{aligned}\] توجه کنید که عدد \(7\) در رابطهٔ بالا، فاصلهٔ خط آبی از خط قرمز در شکل زیر است.

و وزن سمت راست برابر است با: \[\begin{aligned}&4\times{\color{red}11}+3\times{\color{red}4}\\&=44+12\\&=56.\end{aligned}\] توجه کنید که اعداد \(11\) و \(4\) فاصله‌ٔ وزنه‌های سمت راست از خط مشخص شده در شکل زیر است.

پاسخ تشریحی

از ساعت \(10\) صبح تا \(12\) ظهر، \(2\) ساعت یا \(2\times60=120\) دقیقه است. با توجه به صورت مسئله، این \(2\) ساعت به یک \(9\) دقیقه و سه قسمت برابر (دو قسمت از \(10\) صبح تا \(9\) دقیقه قبل از الان، و یک قسمت از الان تا \(12\)) تقسیم شده است. پس هریک از این قسمت‌ها برابر است با:
\[\begin{aligned}&(120-9)\div3\\&=111\div3\\&=37.\end{aligned}\] یعنی \(37\) دقیقهٔ دیگر ساعت \(12\) می‌شود.

پاسخ تشریحی

پاسخ به صورت، \(30,\,18,\,48,\,66\) است.
با شروع از بالا در هر ستون، هر دو عدد متوالی را با هم جمع کنید تا به عدد بعدی برسید. برای ستون اول داریم:
\[\begin{aligned}3+8&=11\\8+11&=19\\11+19&=30\end{aligned}\]
و به همین ترتیب برای ردیف آخر ستون‌های بعدی داریم:
\[\begin{aligned}8+10&=18\\19+29&=48\\27+39&=66\end{aligned}\]

پاسخ تشریحی

شکل زیر، پاسخ این مسئله است.

اگر شکل بالا را به شکل داده شده بچسبانیم، مربع زیر ساخته می‌شود.

مجموع سن مرجان، مهتاب، مریم، و بهار برابر است با: \[29+57=86.\] پس سن مونا برابر است با: \[107-86=21.\] از طرفی، چون مجموع سن مونا و بهار برابر \(46\) است، پس سن بهار برابر است با: \[46-21=25.\] مجموع سن مریم و بهار برابر \(57\) است، پس سن مریم برابر است با: \[57-25=32.\] مجموع سن مهتاب و مریم برابر \(44\) است، پس سن مهتاب برابر است با: \[44-32=12.\] مجموع سن مرجان و مهتاب برابر \(29\) است، پس سن مرجان برابر است با: \[29-12=17.\]

پاسخ تشریحی

حرف مقابل «ث»، حرف «آ» است. دو حرف بعد از «آ»، در جهت عقربه‌های ساعت، حرف «پ» است. و حرف مقابل «پ»، حرف «چ» است.

عدد \(569\) در مربع سمت چپ و عدد \(986\) در مربع سمت راست است.
تمام اعداد در دو مربع به‌جز دو عدد \(569\) و \(986\) به صورت دوتایی دارای ارقام یکسان با ترتیب متفاوت هستند. به عنوان مثال در مربع سمت چپ عدد \(749\) و در مربع سمت راست عدد \(479\) را داریم. به همین صورت جفت‌های \(682\) و \(268\)، \(382\) و \(238\)، \(516\) و \(165\)، \(578\) و \(758\)، \(129\) و \(291\) را مشاهده می‌کنید.

این سؤال که در دو قسمت از برنامه هوشیار مطرح شده است، یک دنباله عددی نیست بلکه یک کد است. اگر حروف الفبا را به ترتیب شماره گذاری کنیم دنبالهٔ \(31,30,16,32,1,12\) متناظر با واژهٔ هوشیار است.

سؤالات مسابقهٔ هوشیار را حتماً حل کنید.

همه سؤالات مسابقه هوشیار

پاسخ تشریحی

اعداد دنبالهٔ داده شده را به‌ دو دسته تقسیم می‌کنیم:
\[{\color{red}6\frac{7}{8}},\,{\color{blue}2\frac{9}{16}},\,{\color{red}5\frac{5}{8}},\,{\color{blue}3\frac{13}{16}},\,{\color{red}4\frac{3}{8}},\,{\color{blue}?}\]
اعداد قرمز از \(6\frac{7}{8}\) شروع می‌شوند و برای به‌دست آوردن اعداد بعدی باید \(1\frac{1}{4}\) از عدد قبلی کم کرد:
\[\begin{aligned}&6\frac{7}{8}-1\frac{1}{4}=5\frac{5}{8}\\[7pt]&5\frac{5}{8}-1\frac{1}{4}=4\frac{3}{8}\end{aligned}\]
اعداد آبی از \(2\frac{9}{16}\) شروع می‌شوند و برای به‌دست آوردن اعداد بعدی باید \(1\frac{1}{4}\) به عدد قبلی اضافه کرد:
\[\begin{aligned}&2\frac{9}{16}+1\frac{1}{4}=3\frac{13}{16}\\[7pt]&3\frac{13}{16}+1\frac{1}{4}=5\frac{1}{16}.\end{aligned}\]

کاشی C3 باید با کاشی گزینهٔ C جایگزین شود.

توجه کنید که در هر سطر و ستون دو کاشی اول و دوم را روی هم قرار می‌دهیم تا کاشی سوم حاصل شود با این شرط که خطوطی که روی می‌افتند حذف می‌شوند.

چون پول علی چهار برابر پول جمال، و پول جمال سه برابر پول سوسن است، پس پول علی دوازده برابر پول سوسن است. بنابراین، اگر \(192\) هزار تومان را به \(16\) قسمت مساوی تقسیم کنیم، آن‌وقت \(1\) قسمت آن سهم سوسن، \(3\) قسمت آن سهم جمال و \(12\) قسمت آن سهم علی است. در نتیجه، سهم سوسن، جمال، و علی به‌ترتیب برابر \(12\) هزار تومان، \(36\) هزار تومان، و \(144\) هزار تومان است. زیرا:
\[\begin{aligned}&192\div16=12\\&12\times3=36\\&12\times12=144.\end{aligned}\]

اعداد $180$ و $120$ باید جابه‌جا شوند.

با روند زیر، هر عدد الگوی اول از عدد قبلی‌اش ساخته می‌شود:

\[\times 2,\times 3,\times 2,\times 3,\times 2\]

با روند زیر، هر عدد الگوی دوم از عدد قبلی‌اش به‌دست می‌آید:

\[\times 3,\times 2,\times 3,\times 2,\times 3\]

پاسخ تشریحی

سطر اول را عددی یک‌رقمی، سطر دوم را عددی دورقمی، سطر سوم را عددی سه‌رقمی و سطر چهارم را عددی چهاررقمی در نظر بگیرید. اگر عدد هر سطر را در \(8\) ضرب کنیم، عدد سطر بعدی به‌دست می‌آید:
\[\begin{aligned}&9\times{\color{red}8}=72\\&72\times{\color{red}8}=576\\&576\times{\color{red}8}=4608.\end{aligned}\]
بنابراین، به‌جای علامت سؤال باید عدد \(0\) قرار بگیرد.

پاسخ تشریحی

بان در هر 4کلمه می‌تواند کلمه‌ و معنا را تغییر دهد.
محیط‌بان
سوزن‌بان
نگهبان
پارکبان

پاسخ، عدد ۶ است.
در سمت چپ جدول،‌ هر سطر را یک عدد سه رقمی در نظر بگیرید. دراین‌صورت مجموع عدد سطر اول و عدد سطر سوم برابر است با عدد سطر دوم:
\[498+379=877\]

پاسخ تشریحی

پاسخ، عدد \(16\) در بالا و عدد \(10920\) در پایین است.
عدد بالایی در هر لوزی از حاصل جمع ارقام اعداد لوزی قبل از خود به دست می‌آید و عدد پایینی در هر لوزی از حاصل ضرب دو عدد درون لوزی قبل از خود حاصل می‌شود.
بنابراین برای قسمت بالایی داریم:
\[1+3+8+4+0=16.\]
و برای قسمت پایینی داریم:
\[13\times840=10920.\]

پاسخ تشریحی

برای حل این مسئله کافی است مسیر برعکس را پیدا کنیم؛ یعنی ابتدا خانه‌ای را پیدا کنیم که خانهٔ بعدی آن، خانهٔ گنج است. همان‌طور که در شکل زیر می‌بینید، فقط از خانهٔ زردرنگ می‌توان به خانهٔ گنج رفت.

و در مرحلهٔ بعد، خانهٔ قبلی خانهٔ زردرنگ را پیدا کنیم و همین‌طور ادامه دهیم تا به‌خانهٔ اول برسیم. در شکل زیر، خانهٔ شروع (\(1\)) و خانه‌های بعدی به‌ترتیب شماره‌گذاری شده‌اند.

پاسخ تشریحی

ترکیب هر دو کلمهٔ پشت هم، عبارت جدیدی می‌سازد.
گارگزار
پیگردِ قانونی
صلاحدید

پاسخ، به صورت "4 3 5 1 2" یا "2 1 5 3 4" است.
توجه کنید که مجموع اعداد \(1\) تا \(5\) برابر با \(15\) است. بنابراین طبق شرط اول دو عدد \(2\) و \(4\) باید در دو دایرۀ بیرونی باشند.

در مجموع \(6\) مسابقه انجام می‌‌شود. (چرا؟)

پس مجموع امتیازات هر \(4\) تیم، می‌تواند هریک از اعداد \(12\)، \(13\)، \(14\)، \(15\)، \(16\)، \(17\)، یا \(18\) باشد.
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

پرسش. اگر \(n\) تیم داشته باشیم و هریک از آنها با \(n-1\) تیم دیگر مسابقه دهد، در مجموع چند مسابقه انجام می‌شود؟
(تمرین ۲ صفحهٔ صفحهٔ ۲۰ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم، و تمرین ۱۱ صفحهٔ ۱۶ کتاب ریاضیات تکمیلی هفتم را ببینید.)

راهنمای حل

هر سه عبارت نادرست است. تمرین ۴ صفحهٔ ۶۵ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم را ببینید.

بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

تمرین ۴ صفحهٔ ۶۵

۹. ۳. ۷. ۴. الف) آیا در دو چندضلعی زیر، می‌توان اضلاع را طوری دوبه‌دو نظیر یکدیگر قرار داد که نسبت همهٔ اضلاع متناظر برابر باشند؟ یا به‌عبارتِ‌دیگر اضلاع متناظر متناسب باشند؟

ب) فرض کنید $n>3$. روشی برای رسم دو $n$-ضلعی که اضلاع متناظرشان متناسب باشند ولی دو چندضلعی متشابه نباشند، ارائه دهید.

راهنمای حل

الف) ابتدا اندازهٔ هریک از ضلع‌های دو چندضلعی داده شده را به‌دست می‌آوریم.
اندازهٔ اضلاع شش‌ضلعی صورتی را از کوچک به بزرگ مرتب می‌کنیم:
\[1,\sqrt{2},\sqrt{2},\sqrt{2},2,\sqrt{5}.\]
اندازهٔ اضلاع شش‌ضلعی سبز را نیز از کوچک به‌بزرگ مرتب می‌کنیم:
\[2, 2\sqrt{2},2\sqrt{2},2\sqrt{2},4,2\sqrt{5}.\]
می‌توان اضلاع این دو شش‌ضلعی را طوری دوبه‌دو نظیر کرد که نسبت اضلاع نظیر شده، برابر باشند:
\[\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{2}{4}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}.\]

ب) یک $n$ضلعیِ محدب در نظر بگیرید و یکی از رأس آن را $A$ بنامید. رأس $A$ به دو رأس دیگر متصل است؛ این دو رأس را $B$ و $C$ بنامید. فرض کنید این $n$ضلعی محدب طوری رسم شده باشد که اگر $A$ را نسبت به قطر $BC$ قرینه کنیم نقطهٔ حاصل درون $n$ضلعی باشد. قرینهٔ $A$ نسبت به $BC$ را $A'$ می‌نامیم. اگر از $n$ضلعی محدب رأس $A$ را حذف کنیم و به‌جای آن رأس $A'$ را اضافه کنیم، یک $n$ضلعی مقعر به‌دست می‌آید. این $n$ضلعی مقعر و $n$ضلعیِ محدبی که در ابتدا رسم کردیم، شرایط مسئله را دارند ولی متشابه نیستند. برای مثال، شکل‌ زیر را ببینید.

دو مثلث \(AMN\) و \(ABC\) متشابه‌اند. (چرا؟)

حال، از قضیهٔ فیثاغورس نتیجه می‌شود که \(BN=\sqrt{97}\). (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

باید مقادیری را پیدا کنیم که به‌ازای آنها مخرج کسر داده شده، برابر صفر می‌شود.
\[\begin{aligned} &(x^2+16-10x)(x^4-5x^2+4)=0\\&\Rightarrow(x-8)(x-2)(x^2-4)(x^2-1)=0\\&=(x-8)(x-2)(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)=0\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned} &x-8=0\Rightarrow x=8\\&x-2=0\Rightarrow x=2\\&x+2=0\Rightarrow x=-2\\&x-1=0\Rightarrow x=1\\&x+1=0\Rightarrow x=-1.\end{aligned}\right.\end{aligned}\] بنابراین، کسر داده شده، به‌ازای مقادیر \(8\)، \(2\)، \(-2\)، \(1\)، و \(-1\) تعریف نشده است.

چون تعداد افرادی که تنها به یک ورزش علاقه دارند، \(21\) نفر است، پس \(m=4\). (چرا؟)

پس \(25\) نفر تنها به \(2\) ورزش علاقه‌مند هستند.

گزینهٔ ۱ درست است.
چرا؟

گزینهٔ ۲ ناردست است.
چرا؟

گزینهٔ ۳ نادرست است.
چرا؟

گزینهٔ ۴ نادرست است.
چرا؟

\[\Big\{\frac{9}{2},\frac{10}{3},\frac{11}{4},\dots,\frac{1399}{1392}\Big\}\neq \Big\{x\in\mathbb{Q}\mid \frac{1399}{1392}\leq x\leq \frac{9}{2}\Big\}.\]
(چرا؟)

بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

برای هر چهار مورد می‌توان مثال آورد. (چگونه؟)

\[\begin{aligned}&0.3\times10^{-4} < 2.7\times10^m < 5\times10^{-1}\\&3\times10^{-5} < 2.7\times10^m < 5\times10^{-1}.\end{aligned}\] در نتیجه: \[m\in\{-4,-3,-2,-1\}.\] بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

فرض کنیم شعاع این کره برابر $r$ باشد. چون حجم و مساحت کره برابر هستند، پس:
\[\begin{aligned}&\frac{4}{3}\pi r^3=4\pi r^2\\&\Rightarrow \frac{1}{3}r=1\\&\Rightarrow r=3.\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}&\big(\frac{a}{b}\big)^2-3\big(\frac{a}{b}\big)=-\frac{9}{4}\\[7pt]&\Rightarrow\big(\frac{a}{b}\big)^2-3\big(\frac{a}{b}\big)+\frac{9}{4}=0\\[7pt]&\Rightarrow\Big(\frac{a}{b}-\frac{3}{2}\Big)^2=0\\[7pt]&\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{3}{2}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

تساوی اول، تجزیهٔ یک عبارت جبری را نشان نمی‌دهد. زیرا \(x(x+1)+1\) به‌صورت حاصل‌ضرب دو عبارت جبری نیست.
تساوی دوم،‌ تجزیهٔ یک عبارت جبری را نشان می‌دهد. زیرا \(2y^2+5y\) به‌صورت حاصل‌ضرب \(2y\) در \(y+\frac{5}{2}\) نوشته شده است.
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

گزینهٔ ۳ صحیح است.
\[\begin{aligned}&\sqrt{a^2(a^2-b^2)+b^2(b^2-a^2)}\\&=\sqrt{(b^2-a^2)(-a^2+b^2)}\\&=\sqrt{(b^2-a^2)(b^2-a^2)}\\&=\sqrt{(b^2-a^2)^2}\\&=|b^2-a^2|.\end{aligned}\]
چون$b< a<0$ پس $b^2> a^2>0$ و در نتیجه $b^2-a^2> 0$ و \[\begin{aligned}&|b^2-a^2|=b^2-a^2.\end{aligned}\]