فهرست مطالب

پاسخ تشریحی

ابتدا حاصل هریک از گزینه‌ها را به‌دست می‌آوریم.
گزینهٔ ۱)
\[\begin{aligned}\dfrac{~~\frac{1}{2}~~}{\frac{3}{4}}&=\frac{1}{2}\times\frac{4}{3}\\[8pt]&=\frac{2}{3}.\end{aligned}\]
گزینهٔ ۲)
\[\begin{aligned}\dfrac{~~~~1~~~~}{\dfrac{~~2~~}{\frac{3}{4}}}&=\dfrac{~~~~1~~~~}{2\times\frac{4}{3}}\\[8pt]&=\dfrac{~~~~1~~~~}{\frac{8}{3}}\\[8pt]&=1\times\frac{3}{8}\\[8pt]&=\frac{3}{8}.\end{aligned}\]
گزینهٔ ۳)
\[\begin{aligned}\dfrac{~~~~\dfrac{~~1~~}{\frac{2}{3}}~~~~}{4}&=\dfrac{1\times\frac{3}{2}}{4}\\[8pt]&=\dfrac{\frac{3}{2}}{4}\\[8pt]&=\frac{3}{8}.\end{aligned}\]
گزینهٔ ۴)
\[\begin{aligned}\dfrac{~~~~\dfrac{~~\frac{1}{2}~~}{3}~~~~}{4}&=\dfrac{\frac{1}{6}}{4}\\[8pt]&=\frac{1}{24}.\end{aligned}\]

اکنون واضح است که گزینهٔ ۱ بزرگتر از \(\frac{1}{2}\)، و بقیهٔ گزینه‌ها کوچکتر از \(\frac{1}{2}\) هستند. پس گزینهٔ ۱ از بقیه بزرگ‌تر است.
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

پاسخ تشریحی

تفاضل مربع هر دو عدد صحیح متوالی، عددی فرد است. (تمرین ۶ صفحهٔ ۵ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم را ببینید.)
\[\begin{aligned}&(1^2-2^2)+(3^2-4^2)+(5^2-6^2)+\dots+ (11^2-12^2)\\&=(1-4)+(9-16)+(25-36)+\dots+(121-144)\\&=(-3)+(-7)+(-11)+\dots+(-23)\\&=\frac{-26\times6}{2}\\&=-13\times6\\&=-78.\end{aligned}\] بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

مسئله‌های مشابه

تمرین ۶ صفحهٔ ۵ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم
تمرین ۶ صفحهٔ ۶ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم
تمرین ۷ صفحهٔ ۶ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم

پاسخ تشریحی

ابتدا، و با استفاده از فاکتورگیری، کسر \(\frac{2a+2}{2a-2}\) را ساده می‌کنیم:
\[\begin{aligned}\frac{2a+2}{2a-2}&=\frac{2(a+1)}{2(a-1)}\\[7pt]&=\frac{a+1}{a-1}.\end{aligned}\]
اولین خروجی این ماشین \(\frac{11}{7}\) است.
چرا؟

دومین خروجی این ماشین \(\frac{9}{2}\) است.
چرا؟

در نتیجه، خروجی‌های فرد و زوج این ماشین به‌ترتیب \(\frac{11}{7}\) و \(\frac{9}{2}\) هستند. پس \(1398\)اُمین خروجی این ماشین \(\frac{9}{2}\) است.
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

پاسخ تشریحی

مورد «الف» درست است.

چرا؟

مورد «ب» نادرست است.

چرا؟

مورد «ج» نادرست است.

چرا؟

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

پاسخ تشریحی

در روش غربال، اعدادی که برای اولین‌بار در مرحلهٔ حذف مضارب \(7\) خط می‌خورند، به‌ترتیب عبارتند از:
\[\begin{aligned}&7\times7\\&7\times11\\&7\times13\\&7\times17\\&7\times19\\&\quad\vdots\end{aligned}\]
پس، اولین عددی که در مرحلهٔ حذف مضارب \(7\)، برای اولین‌بار خط می‌خورد، برابر است با:
\[7\times7=49.\] و آخرین عددی که در مرحلهٔ حذف مضارب \(7\)، در غربال اعداد \(1\) تا \(250\) خط می‌خورد، برابر است با:
\[7\times31=217.\]
چرا؟

پس پاسخ مسئله برابر است با:
\[49+217=266.\]
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

پاسخ تشریحی

گزینهٔ ۱ نادرست است.

چرا؟

گزینهٔ ۲ درست است.

چرا؟

اگر \(n\) فرد باشد، محورهای تقارن یک \(n\)ضلعی منتظم از هر رأس و وسط ضلع روبه‌رو به آن رأس می‌گذرد. پس در این حالت، \(n\)تا محور تقارن داریم. برای مثال، پنج‌ضلعی محدب، پنج‌تا محور تقارن دارد:

اگر \(n\) زوج باشد، محورهای تقارن یک \(n\)ضلعی منتظم از هر رأس و رأس مقابل آن، و از وسط هر ضلع و ضلع مقابل آن می‌گذرد. پس در این حالت نیز، \(n\)تا محور تقارن داریم. برای مثال، شش‌ضلعی محدب، شش‌تا محور تقارن دارد:

گزینهٔ ۳ نادرست است.

چرا؟

هر قطر متوازی‌الاضلاع آن را به دو مثلث همنهشت تقسیم می‌کند؛ اما قطر متوازی‌الاضلاع لزوماً محور تقارن نیست. (شکل زیر را ببینید.)

پرسش. آیا می‌توانید متوازی‌الاضلاعی مثال بزنید که هر قطر آن محور تقارنش باشد؟

گزینهٔ ۴ نادرست است.

چرا؟

متوازی‌الاضلاع زیر، محور تقارن ندارد.

پرسش. آیا می‌توانید متوازی‌الاضلاعی مثال بزنید که دقیقاً یک محور تقارن داشته باشد؟

در راهنمای حل تمرین ۱۰ صفحهٔ ۴۱ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم، به پرسش بالا پاسخ داده شده است.

پاسخ تشریحی

گزینهٔ ۱. چهارضلعی‌ای که زاویه‌های روبه‌رویش دوبه‌دو مساوی باشند، متوازی‌الاضلاع است.

اثبات

گزینهٔ ۲. چهارضلعی‌ای که قطرهایش یکدیگر را نصف کنند، متوازی‌الاضلاع است.

اثبات

گزینهٔ ۳. چهارضلعی‌ای که دو ضلع مساوی و موازی داشته باشد، متوازی‌الاضلاع است.

اثبات

گزینهٔ ۴. چهارضلعی‌ای که دو ضلع موازی و دو ضلع مساوی داشته باشد، ممکن است ذوزنقهٔ متساوی‌الساقین باشد.

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

پاسخ تشریحی

می‌دانیم مجموع زاویه‌های داخلی یک \(n\)ضلعی محدب برابر \((n-2)\times180^\circ\)، و مجموع زاویه‌های خارجی هر چندضلعی محدب برابر \(360^\circ\) است. (دربارهٔ زاویه‌های یک nضلعی محدب را بخوانید.)
بنابراین، داریم:
\[\begin{aligned}&(n-2)\times180^\circ=360^\circ+360^\circ\\&\Rightarrow(n-2)\times180^\circ=2\times180^\circ+2\times180^\circ\\&\Rightarrow(n-2)\times180^\circ=4\times180^\circ\\&\Rightarrow n-2=4\\&\Rightarrow n=6.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

پاسخ تشریحی

در عبارت داده شده، از ضرب جملهٔ \(ax^2\) در \(-2x\)، و \(2x\) در \(bx^2\)، جمله‌های با درجهٔ \(3\) (یعنی جمله‌هایی که \(x^3\) دارند) به‌دست می‌آیند. بنابراین:
\[\begin{aligned}&(ax^2)(-2x)+(bx^2)(2x)\\&=-2ax^3+2bx^3\\&=(-2a+2b)x^3.\end{aligned}\]
چون می‌دانیم که ضریب عددیِ جملهٔ \(x^3\) برابر \(8\) است، پس:
\[\begin{aligned}&-2a+2b=8\\&\Rightarrow-2(a-b)=8\\&\Rightarrow a-b=\frac{8}{-2}\\&\Rightarrow a-b=-4.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

توجه کنید که در این مسئله نیازی نبود که ساده شده عبارت \((ax^2+2x+3)(5-2x+bx^2)\) را به‌دست آوریم. ولی واضح است که با به‌دست آوردن ساده شدهٔ عبارت داده شده و برابر قرار دادن ضرب \(x^3\) با \(8\) نیز می‌توان به جواب رسید. در زیر، ساده شدهٔ عبارت \((ax^2+2x+3)(5-2x+bx^2)\) محاسبه شده است.
\[\begin{aligned}&(ax^2+2x+3)(5-2x+bx^2)\\&=ax^2(5-2x+bx^2)+2x(5-2x+bx^2)+3(5-2x+bx^2)\\&=5ax^2-2ax^3+abx^4+10x-4x^2+2bx^3+15-6x+3bx^2\\&=abx^4+(-2a+2b)x^3+(5a-4+3b)x^2-6x+15.\end{aligned}\]

پاسخ تشریحی

می‌توان مقادیر \(a\) و \(b\) را در عبارت داده شده، جایگذاری کرد و حاصل را به‌دست آورد. اما اگر به تجزیه کردن عبارت‌های جبری مسلط باشید، و ابتدا عبارت را تجزیه کنید و سپس، مقادیر \(a\) و \(b\) را جایگذاری کنید، احتمال اتفاق افتادن اشتباهات محاسباتی کمتر می‌شود.

\[ab-3a+2b-6=(a+2)(b-3).\]
چرا؟

\[a^2-2ab+b^2=(a-b)^2.\]
چرا؟

در نتیجه، داریم:
\[\begin{aligned}&\frac{ab-3a+2b-6}{a^2-2ab+b^2}\\[8pt]&=\frac{(a+2)(b-3)}{(a-b)^2}\\[8pt]&=\frac{(3+2)(-2-3)}{\big((3-(-2)\big)^2}\\[8pt]&=\frac{(5)(-5)}{5^2}\\[8pt]&=\frac{-25}{25}\\[8pt]&=-1.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

پاسخ تشریحی

واضح است که
\[1-xy=-(xy-1).\]
چرا؟

پس:
\[\begin{aligned}&\frac{(x^2y^2-xy)(1-xy)}{x(1-xy)^2}\\[8pt]&=\frac{\big(xy(xy-1)\big)(1-xy)}{x(1-xy)(1-xy)}\\[8pt]&=\frac{y(xy-1)}{(1-xy)}\\[8pt]&=\frac{y(xy-1)}{-(xy-1)}\\[8pt]&=\frac{y}{-1}\\[8pt]&=-y.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

اگر در فاکتورگیری مشکل دارید، حتماً درسنامهٔ آن را بخوانید:

پاسخ تشریحی

«چند سال دیگر» را \(x\) سال در نظر می‌گیریم. بنابراین، \(x\) سال دیگر، سن محمد، خواهرزاده‌هایش،‌ و برادرزاده‌اش، به‌ترتیب \(30+x\)، \(10+x\)، \(7+x\)، و \(3+x\) خواهد بود.
از طرفی می‌دانیم که \(x\) سال دیگر، مجموع سن برادرزادهٔ محمد با اختلاف سن خواهرزاده‌هایش، مساوی \(\frac{1}{3}\) سن محمد است. پس:
\[\begin{aligned}&(3+x)+(10+x)-(7+x)=\frac{1}{3}(30+x)\\&\Rightarrow3+x+10+x-7-x=\frac{1}{3}(30+x)\\&\Rightarrow6+x=\frac{1}{3}(30+x)\\&\Rightarrow3(6+x)=30+x\\&\Rightarrow18+3x=30+x\\&\Rightarrow3x-x=30-18\\&\Rightarrow2x=12\\&\Rightarrow x=6.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

پاسخ تشریحی

با توجه به شکل، واضح است که
\[\begin{aligned}&\overset{\rightarrow}{a}+\overset{\rightarrow}{d}=\overset{\rightarrow}{b}+\overset{\rightarrow}{c}\\&\Rightarrow\overset{\rightarrow}{a}-\overset{\rightarrow}{b}=\overset{\rightarrow}{c}-\overset{\rightarrow}{d}.\end{aligned}\]بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

پاسخ تشریحی

گزینهٔ ۴ درست است. تمرین ۷ صفحهٔ ۷۷ کتاب ریاضی هشتم را ببینید.

مسئلهٔ مشابه

فعالیت ۱ صفحهٔ ۷۳ کتاب ریاضی هشتم

پاسخ تشریحی

\(C=\big[{-2\atop0}\big]\).
چرا؟

چون \(OA\) قطر یک مربع است، پس زاویهٔ بین بردارهای \(OA\) و \(OC\) برابر است با:
\[45^\circ+90^\circ=135^\circ.\]

بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

پاسخ تشریحی

\(A=\frac{1}{4\times2}-\frac{1}{4\times42}\).
چرا؟

در نتیجه:
\[\begin{aligned}42A&=42\Big(\frac{1}{4\times2}-\frac{1}{4\times42}\Big)\\[8pt]&=\frac{42}{4\times2}-\frac{42}{4\times42}\\[8pt]&=\frac{21}{4}-\frac{1}{4}\\[8pt]&=\frac{20}{4}\\[8pt]&=5.\end{aligned}\] بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

مسئلهٔ مشابه

تمرین ۹ صفحهٔ ۱۳ ریاضی تکمیلی هشتم

پاسخ تشریحی

\(A=50\times101\).
چرا؟

\(B=25\times17\times101\).
چرا؟

\(C=0\).
چرا؟

در نتیجه، \(C<A<B\). بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

پاسخ تشریحی

واضح است که از بین اعداد کوچک‌تر از \(pq\)، فقط مضارب \(p\) و مضارب \(q\) نسبت به \(pq\) اول نیستند. یعنی اعدادِ
\[\begin{aligned}&{\color{red}1}\times q,{\color{red}2}\times q,\dots,{\color{red}(p-1)}\times q,\\&{\color{blue}1}\times p,{\color{blue}2}\times p,\dots,{\color{blue}(q-1)}\times p\end{aligned}\] که تعداد آنها برابر است با:
\[{\color{red}(p-1)}+{\color{blue}(q-1)}=p+q-2.\] بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.
برای اینکه راه‌حل بالا برایتان واضح‌تر شود، تعداد عددهای کوچک‌تر از \(5\times7\) را که نسبت به آن اول نیستند، بشمارید.
بررسی مثال

مسئلهٔ مشابه

تمرین ۷ صفحهٔ ۲۵ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم

چون \(289=17\times17\)، پس عددی که قبل از \(289\) خط می‌خورد، یکی از مضارب عدد اول قبل از \(17\)، یعنی \(13\) است.
چون \(13\times23=299\)، بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

پاسخ تشریحی

با توجه به عکس قضیهٔ خطوط موازی و مورب و شکل زیر، اگر \(b=180^\circ-a\)، آنگاه دو خط \(d\) و \(d^{\prime}\) موازی‌اند.

\[\begin{aligned}&b=180-a\\&\Rightarrow4(x-3)=180-\big(3x+17\big)\\&\Rightarrow4x-12=180-3x-17\\&\Rightarrow4x+3x=180-17+12\\&\Rightarrow7x=175\\&\Rightarrow x=25.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

پاسخ تشریحی

در شکل زیر، به چهارضلعی زرد رنگ و زاویهٔ \(x\) دقت کنید!

در چهارضلعی زردرنگ، بنا به قضیهٔ دندان کوسه، داریم:
\[x=a+b+c.\] از طرفی، بنا به قضیهٔ زاویه‌های متقابل‌به‌رأس، زاویه‌های \(x\) و \(k\) برابرند. پس:
\[k=a+b+c.\] بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

پاسخ تشریحی

ابتدا با استفاده از فاکتورگیری، سمت چپ معادله را تجزیه می‌کنیم:
\[\begin{aligned}&xy-x-y+1\\&=x(y-1)-(y-1)\\&=(x-1)(y-1).\end{aligned}\]
(اگر در فاکتورگیری مشکل دارید، حتماً درسنامهٔ فاکتورگیری سایت تکمیلی را بخوانید.)
پس، داریم:
\[\begin{aligned}&xy-x-y+1=4\\&\Rightarrow(x-1)(y-1)=4\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&x-1=\mathbf{2},y-1=\mathbf{2}\\&x-1=\mathbf{-2},y-1=\mathbf{-2}\\&x-1=\mathbf{1},y-1=\mathbf{4}\\&x-1=\mathbf{4},y-1=\mathbf{1}\\&x-1=\mathbf{-1},y-1=\mathbf{-4}\\&x-1=\mathbf{-4},y-1=\mathbf{-1}\end{aligned}\right.\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&x=3,y=3\\&x=-1,y=-1\\&x=2,y=5\\&x=5,y=2\\&x=0,y=-3\\&x=-3,y=0.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

پاسخ تشریحی

از \(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}\) نتیجه می‌شود:
\[{\color{blue}x=\frac{2}{3}y}.\quad(1)\]
حال، از فرض \((x+y)(x-y)=-5\) و رابطهٔ \((1)\) نتیجه می‌شود:
\[y=\pm3.\quad(2)\]
چگونه؟

از طرفی،
\[2x-y=\frac{1}{3}y.\quad(3)\]
چرا؟

اکنون، با استفاده از رابطه‌های \((2)\) و \((3)\)، دو مقدار برای \(2x-y\) به‌دست می‌آید:
\[\begin{aligned}&2x-y=\frac{1}{3}y=\frac{1}{3}(3)=1\\[7pt]&2x-y=\frac{1}{3}y=\frac{1}{3}(-3)=-1.\end{aligned}\] بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

پاسخ تشریحی

وقتی دستورِ
\[(1,4)(-4,2)(-4,-6)(2,-3)\] اجرا شود، جابه‌جایی کل روپاد، \(5\) واحد به سمت غرب و \(3\) واحد به‌سمت جنوب خواهد بود.
چرا؟

پس برای اینکه روپاد به نقطهٔ اولیه برگردد، باید \(5\) واحد به سمت شرق و \(3\) واحد به سمت شمال برود. یعنی، روپاد با دستور \((5,3)\) به نقطهٔ اولیه برمی‌گردد.
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

پاسخ تشریحی

با توجه به فرضیات مسئله، می‌توان اندازهٔ اضلاع مستطیل‌ها را به‌صورت زیر، نمایش داد.

در شکل بالا، \(A=x-y\) و \(B=2-y\).
چرا؟

پس محیط مستطیل ایجاد شده برابر است با:
\[\begin{aligned}&2(A+B)\\&=2\big((x-y)+(y-2)\big)\\&=2(x-2).\end{aligned}\] بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.