ریاضیات تکمیلی هشتم – نمونه سؤال امتحانی (سری اول)

در اینجا، تعدادی نمونه سوال امتحانی از کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم قرار داده شده است. بعضی از این مسائل با ایدهٔ مسائل کتاب ریاضیات تکمیلی، طرح شده‌اند؛ پس از هر مسئله لینک مسئلهٔ مشابه آن آمده است.

با حل این مسائل می‌توانید از خودتان آزمون بگیرید؛ تا بدانید که مسائل ریاضی تکمیلی هشتم را عمیقاً درک کرده‌اید یا نه.

معلمان عزیز، می‌توانند از این مسائل، در کلاس درس و آزمون‌ها استفاده کنند.

عددهای صحیح و گویا

نمونه سوال امتحانی فصل اول

۱. حاصل هریک از عبارت‌های زیر را به‌دست آورید. (مشابه تمرین ۸. ۱. ۱. ۲)
\[\begin{aligned}&(-5\times 4)^2\div2^4\times (-3)^2\\&\big((1\times 2\div(3\times 4)-5)\times 6-7\big)\div (8\times 9)\end{aligned}\]

۲. می‌خواهیم داخل جاهای خالی عبارت
\[5\;\square\;4\;\square\;3\;\square\;2\;\square\;1\]
دو علامت ضرب و دو علامت جمع قرار دهیم. حاصل این عبارت چه عددهایی می‌تواند باشد؟ (مشابه تمرین ۸. ۱. ۱. ۳)

۳. آیا تساوی زیر درست است؟ چرا؟ (مشابه تمرین ۸. ۱. ۱. ۶)
\[11+13+\dots+99=50^2-5^2\]

۴. الگوی عددی زیر را ببینید:

1
2  2
3  4  3
4  6  6  4
5  8  9  8  5
6 10 12 12 10 6

اگر الگوی بالا را ادامه دهیم،
قطر اول این الگو، دنبالهٔ
\[1,2,3,4,5,6,\dots\]
است. این دنباله از $1$ شروع می‌شود و هر عدد یک واحد از عدد قبلی بزرگ‌تر است.
قطر دوم این الگو، دنبالهٔ
\[2,4,6,8,10,\dots\]
است. این دنباله با $2$ شروع می‌شود و هر عدد دو واحد از عدد قبلی بزرگ‌تر است.
به‌همین‌ترتیب، قطر $n$اُم این الگو با عدد $n$ شروع می‌شود و هر عدد $n$ واحد از عدد قبلی بزرگ‌تر است.
عدد $598$ برای اولین‌بار در چندمین سطر افقی این الگو ظاهر می‌شود؟

۵. می‌خواهیم جدول زیر را طوری پر کنیم که جمع اعداد هر سطر، هر ستون، و هر قطر، عددی ثابت باشد. در مورد $x$ چه می‌توان گفت؟ (مشابه تمرین‌های ۸. ۱. ۱. ۱۴، ۸. ۲. ۱. ۳، و ۸. ۴. ۱. ۹)
۶. مهسا جمع اعداد زیر را تا $n$ که خودش مقدار آن را می‌داند، ادامه می‌دهد.
\[(-100)+(-90)+(-80)+(-70)+\dots+n=?\]
کدام‌یک از اعداد زیر می‌تواند حاصل عبارت بالا باشد؟
\[110,\;120,\;130,\;140\]
(مشابه تمرین ۸. ۱. ۱. ۸)

۷. در مورد حاصل جمع $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{1024}$ کدام گزینه صحیح است؟
الف) عددی کمتر از ۵ است.
ب) عددی بین ۵ تا ۱۰ است.
ج) عددی بین ۱۰ تا ۱۵ است.
د) عددی بیشتر از ۱۵ است.

۸. عبارت داده شده با کدام گزینه (گزینه‌ها) برابر است؟ (مشابه تمرین ۸. ۱. ۲. ۹)
\[\frac{1}{1\times 2}-\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{5\times 6}-\frac{1}{7\times 8}+\cdots \frac{1}{99\times 100}\]

الف) $\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}\cdots-\dfrac{1}{99}+\dfrac{1}{100}$

ب) $\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}\cdots+\dfrac{1}{99}+\dfrac{1}{100}$

ج) $\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}\cdots-\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}$

د) $\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}\cdots+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}$

۹. حاصل‌جمع اعداد زیر را که در ۱۱ سطر نوشته شده‌اند، محاسبه کنید. (مشابه تمرین ۸. ۱. ۱. ۱۰)
\[\begin{matrix}111&&&&\\111&111&&&\\111&111&111&&\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\\111&111&111&\cdots&111\end{matrix}\]

۱۰. تنها با گذاشتن تعدادی پرانتز، کمترین مقداری که از عبارت زیر می‌‌توانید به‌دست آورید، چه عدد خواهد بود؟
(دقت کنید که در این سؤال منظور از پرانتزگذاری فقط تعیین اولویت عمل است و نمی‌توانید از پرانتزها برای عمل ضرب استفاده کنید.)
\[12-8+5\times 6-2+3\]
الف) عددی بین صفر و $-10$
ب) عددی بین $-35$ و $-45$
ج) عددی بین $-75$ و $-85$
د) عددی کمتر از $-100$
(مشابه تمرین ۸. ۱. ۱. ۴)

عددهای اول

نمونه سوال امتحانی فصل دوم

۱. آیا می‌توان اعداد $1$ تا $25$ را طوری در یک جدول $5\times5$ قرار داد که هر دو عدد همسایه نسبت به‌هم اول باشند؟ (مشابه تمرین ۸. ۲. ۱. ۵)

۲. می‌خواهیم با روش غربال، اعداد اول کوچک‌تر از $5000$ را تعیین کنیم. اعداد زیر را به‌ترتیب حذف شدنشان مرتب کنید.
\[3801,\;3553,\;4141,\;3256\]
(مشابه تمرین ۸. ۲. ۲. ۶)

۳. فرض کنید $p$ عدد اول باشد. چند عدد کوچک‌تر از $p^3$ وجود دارد که نسبت به $p^3$ اول باشد؟ (مشابه تمرین ۸. ۲. ۱. ۷)

۴. چند عدد طبیعی کوچک‌تر از $200$ وجود دارد که نمودار درختی آنها به‌صورت زیر باشد؟ همهٔ این اعداد را بیابید. (مشابه تمرین ۸. ۲. ۱. ۹)

۵. هریک از اعداد $91$، $119$، $143$، $133$، $299$، $247$، $667$ را تجزیه کنید. (مشابه تمرین ۸. ۲. ۲. ۴)

چندضلعی‌ها و تقارن

نمونه سوال امتحانی فصل سوم

۱. یک ده‌ضلعی منتظم در نظر بگیرید. چند تا چندضلعی منتظم درون این ده‌ضلعی منتظم می‌توان رسم کرد به‌طوری‌که همهٔ رأس‌های هریک از آنها روی رأس‌های ده‌ضلعی منتظم باشد؟ (مشابه تمرین ۸. ۳. ۲. ۲)

۲. مجموع شش زاویهٔ مشخص شده در شکل زیر، چند درجه است؟ (مشابه تمرین ۸. ۳. ۵. ۱۰)

۳. حاصل‌ضرب اندازهٔ زاویه‌های یک مثلث کمتر از $1$ است. با ذکر دلیل، درستی یا نادرستی هریک از عبارت‌های زیر را بررسی کنید.
عبارت‌ اول. حداقل اندازهٔ یک زاویه از این مثلث بیشتر از ۸۹ درجه است.
عبارت دوم. اندازهٔ همهٔ زاویه‌های این مثلث کمتر از ۹۱ درجه است.

۴. با تعدادی کاشی از یک نوع می‌خواهیم زمینی به شکل  را کاشی‌کاری کنیم. با چند نوع از کاشی‌های زیر این کار امکان‌پذیر است؟ (ابعاد زمین از ابعاد کاشی بسیار بزرگتر است.)

۵. با تعدادی کاشی به شکل  کدام‌‌یک از زمین‌های زیر ممکن است بتواند کاشی‌کاری شود؟ (ابعاد زمین از ابعاد کاشی بسیار بزرگتر است.)

۶. در شکل زیر می‌دانیم که دو خط $d$ و $d’$ موازی هستند. مجموع زاویه‌های $a$، $b$، و $c$ چقدر است؟

۷. در شکل زیر، مجموع زاویه‌های مشخص شده چقدر است؟ (AB=AC)

۸. برای روشن کردن تمام فضاهای موزه‌ای که نقشهٔ آن به‌صورت زیر است، حداقل به چند لامپ نیاز است؟ (خطوط ضخیم دیوار هستند و دیوارها ضخامت دارند و لامپ‌ها نقطه‌ای هستند.) (مشابه تمرین ۸. ۳. ۵. ۱۳)

۹. در مثلث $ABC$ نیمسازهای زاویه‌های $A$ و $B$ یکدیگر را در نقطهٔ $O$ قطع کرده‌اند. از نقطهٔ $O$ خطی موازی با $AB$ رسم شده است که ضلع‌های $AC$ و $BC$ را به‌ترتیب در نقطه‌های $D$ و $E$ قطع کرده است. اگر $DE=7$، آنگاه مجموع طول پاره‌خط‌های $AD$ و $BE$ چقدر است؟

۱۰. آیا با تعدادی هشت‌ضلعی‌ منتظم (به‌طول واحد) و تعدادی مربع (به‌طول واحد) می‌توان کاشی‌کاری ضلع‌به‌ضلع کرد؟ چرا؟ (مشابه تمرین ۸. ۳. ۷. ۶)

جبر و معادله

نمونه سوال امتحانی فصل چهارم

۱. کدام گزینه نشان‌دهندهٔ معادلهٔ عبارت زیر است؟ (مشابه تمرین ۸. ۴. ۴. ۴)
«اگر سه برابر عددی را از نصف آن عدد کم کنیم، حاصل از ۱۰۰ به اندازهٔ $x$ واحد کمتر است.»

الف) $3x-\dfrac{1}{2}x=100-x$

ب) $\dfrac{1}{2}x-3x=100-x$

ج) $3y-\dfrac{1}{2}y=100-x$

د) $\dfrac{1}{2}y-3y=100-y$

۲. در تساوی داده شده مقدار $x$ برابر چه عددی است؟
\[\Big(\frac{5}{2}x-\frac{2}{5}\Big)=\Big(\frac{3}{7}x+\frac{7}{3}\Big)\]

۳. در چند تا از عبار‌ت‌های زیر سمت راست تساوی تجزیه شده و سمت چپ تساوی تجزیه نشده است؟ (مشابه تمرین ۸. ۴. ۳. ۱)
عبارت اول: $8x=2^3x$
عبارت دوم: $8x^2=8xx$
عبارت سوم: $x^2+2x=(x+2)x$
عبارت چهارم: $x-y=x\big(1-\dfrac{y}{x}\big)$

۴. با ذکر دلیل، درستی یا نادرستی هریک از عبارت‌های زیر را تعیین کنید. (مشابه تمرین ۸. ۴. ۳. ۱۱)
الف) تفاضل دو عدد مربع کامل همواره مضرب ۸ است.
ب) هر مضرب ۸ را می‌توان به‌صورت تفاضل مربع دو عدد صحیح نوشت.

۵. روی یک پل به طول $700$ متر، دو پیکان در خلاف جهت یکدیگر حرکت می‌کنند. آنها در $300$ متری ابتدای پل از کنار یکدیگر می‌گذرند و به راهشان ادامه می‌دهند.

همان‌طور که در شکل بالا می‌بینید، یک پراید به سمت پل حرکت می‌کند. این پراید در انتهای پل از کنار پیکان اول عبور می‌کند و در ابتدای پل از پیکان دوم سبقت می‌گیرد. اگر سرعت این دو پیکان برابر باشد، لحظه‌ای که دو پیکان از کنار یکدیگر عبور کرده‌اند، فاصلهٔ پراید تا ابتدای پل چند متر بوده است؟ (مشابه تمرین ۸. ۴. ۴. ۲۸)

۶. اگر مساحت کل یک مکعب‌مستطیل $a\times a\times b$ برابر $164$ باشد و $a+b=10$، آنگاه مقدار $b$ چقدر است؟ (مشابه تمرین ۸. ۴. ۴. ۱۶)

۷. اگر $3\times\overline{1abcde}=\overline{abcde1}$، آنگاه حاصل عبارت $a+b+c+d+e$ را به‌دست آورید.

۸. رضا می‌خواست دو عدد دو رقمی را در هم ضرب کند. متأسفانه عدد اولی را در مقلوب عدد دومی ضرب کرد. جواب رضا $5976$ واحد بیشتر از جواب درست بود. جواب درست را بیابید. (مشابه تمرین ۸. ۴. ۴. ۲۷)

۹. هجده عدد طبیعی متمایز که میانگین آنها $18$ باشد را در نظر بگیرید. در بین این اعداد بزرگ‌ترین عدد ممکن، چه عددی است؟ (مشابه تمرین ۸. ۴. ۴. ۱۹)

۱۰. عبارت $(x-5)y-y(3-x)$ را تجزیه کنید. (مشابه تمرین ۸. ۴. ۳. ۴)

بردار و مختصات

نمونه سوال امتحانی فصل پنجم

۱. اگر $\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}$ و $\overrightarrow{b}=\big[{-2\atop1}\big]$، آنگاه بردار $x$ را از معادلهٔ زیر بیابید.

\[2\overrightarrow{x}-\overrightarrow{j}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\]

۲. بردارهای $\overrightarrow{a}$، $\overrightarrow{b}$، و $\overrightarrow{c}$ به‌صورت زیر هستند.
اگر از مبدأ مختصات با بردار انتقال $13\overrightarrow{a}-20\overrightarrow{b}+14\overrightarrow{c}$ حرکت کنیم، مجموع طول و عرض نقطه انتهایی را به‌دست آورید.

۳. اگر $|\overrightarrow{a}|=2$، $|\overrightarrow{b}|=3$، $|\overrightarrow{c}|=4$، و $|\overrightarrow{d}|=|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{c}|$، آنگاه کمترین و بیشترین مقدار $|\overrightarrow{d}|$ را به‌دست آورید.

۴. فرض کنید $|\overrightarrow{a}|=3$، $|\overrightarrow{b}|=2$، و $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$. اگر ابتدای بردار $c$ را در مبدأ مختصات قرار دهیم، انتهای بردار $c$ در چه نقاطی از صفحهٔ مختصات می‌تواند باشد؟

۵. با توجه به شکل زیر، درستی یا نادرستی هریک از تساوی‌ها را بررسی کنید.

الف) $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}+\overrightarrow{e}+\overrightarrow{f}+\overrightarrow{g}+\overrightarrow{h}=\overrightarrow{0}$
ب) $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-\overrightarrow{d}=\overrightarrow{e}-\overrightarrow{f}+\overrightarrow{g}-\overrightarrow{h}$
ج) $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{h}+\overrightarrow{g}+\overrightarrow{f}$
د) $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{e}+\overrightarrow{g}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}+\overrightarrow{f}+\overrightarrow{h}$

مثلث

نمونه سوال امتحانی فصل ششم

۱. در شکل زیر، مقدار $xy$ را به‌دست آورید.

۲. در چهارضلعی $ABCD$، قطرهای $AC$ و $BD$ برهم عمودند. اگر $AB=17$، $BC=38$، $CD=34$، آنگاه مقدار $DA$ را بیابید.

۳. با ذکر دلیل، درستی یا نادرستی هریک از عبارت‌های زیر را تعیین کنید. (مشابه تمرین ۸. ۶. ۳. ۱۱ و تمرین ۸. ۶. ۳. ۱۲)
الف) اگر دو زاویه و ضلعی غیر بین این دو زاویه از یک مثلث با اجزاء نظیر در مثلث دیگر برابر باشند، آن‌وقت این دو مثلث هم‌نهشت هستند.
ب) اگر دو ضلع و زاویهٔ غیر بین این دو ضلع از یک مثلث با اجزاء نظیر در مثلث دیگر برابر باشند، آن‌وقت این دو مثلث هم‌نهشت هستند.

۴. در مستطیل $ABCD$، $AB>AD$ و نقطه‌های $E$ و $F$ به‌ترتیب روی اضلاع $AB$ و $CD$ چنان قرار گرفته‌اند که $E\widehat{D}B=D\widehat{B}E$ و $F\widehat{D}B=F\widehat{B}D$. ثابت کنید نقطهٔ $B$ روی عمودمنصف $EF$ است.

۵. در مستطیل $ABCD$ ، نقطهٔ $M$ وسط ضلع $CD$ قرار دارد. نقطهٔ $K$ روی ضلع $BC$ چنان قرار دارد که $KM$ نیمساز زاویهٔ $AKC$ است. اگر $A\widehat{K}M=60^\circ$، آنگاه اندازهٔ زاویهٔ $AMK$ چقدر است؟ (مشابه تمرین ۸. ۶. ۴. ۲۲)

۶. در مثلث قائم‌الزاویهٔ $ABC$، زاویهٔ $A$ قائمه است. نقطهٔ $D$ روی ضلع $AB$ چنان قرار دارد که نیمساز زاویهٔ $BDC$ بر $BC$ عمود است. اگر $AC=4$ و $AB=7$، آنگاه محیط مثلث $ACD$ را به‌دست آورید.

۷. در مثلث $ABC$، $\widehat{B}=80^\circ$، و $\widehat{C}=40^\circ$. نقطهٔ $M$ روی ضلع $BC$ چنان قرار دارد که $CM=AB$. اگر $BD$ نیمساز زاویهٔ $ABC$ باشد، آنگاه چند مثلث‌ متساوی‌الساقین وجود دارد که رأس‌های آنها از $A$، $B$، $C$، $D$، یا $M$ انتخاب شده باشد؟ همهٔ این مثلث‌های متساوی‌الساقین را مشخص کنید. (مشابه ایدهٔ راه‌حل تمرین ۸. ۶. ۳. ۲۲)

۸. در چهارضلعی محدب $ABCD$، دو مثلث $ABD$ و $ADC$ همنهشت هستند. اگر نقطهٔ $O$ محل برخورد قطرهای چهارضلعی $ABCD$ باشد، ثابت کنید دو مثلث $ABO$ و $DCO$ همنهشت هستند. (مشابه تمرین ۸. ۶. ۲. ۶)

۹. در مثلث قائم‌الزاویهٔ $MOQ$، ($\widehat{O}=90^\circ$) نقطهٔ $P$ روی ضلع $OQ$ چنان قرار دارد که $MO=OP$ و $MP=PQ$. اگر $MO=2$، آنگاه طول ضلع $MQ$ چقدر است؟ (مشابه تمرین ۸. ۶. ۱. ۱۱)

۱۰. ثابت کنید که اگر در مثلثی میانه و نیم‌ساز بر هم منطبق باشند، آن‌وقت این مثلث متساوی‌الساقین است. (مشابه تمرین ۸. ۶. ۳. ۱۷)

توان و جذر

نمونه سوال امتحانی فصل هفتم

۱. اگر $a$ عددی صحیح و $b$ عددی طبیعی باشد، آنگاه همهٔ جواب‌های معادلهٔ زیر را بیابید. (مشابه تمرین ۸. ۷. ۱. ۷)
$$6^8=3^2\times a^b$$

۲. اگر $m$ و $n$ دو عدد طبیعی باشند و $m^n=2^{10}$، آنگاه $m$ و $n$ چه اعدادی می‌توانند باشند؟ (مشابه تمرین ۸. ۷. ۱. ۸)

۳. حاصل عبارت زیر را به‌صورت یک عدد توان‌دار بنویسید. (مشابه تمرین ۸. ۷. ۱. ۲)
\[(3^3)^2\times(5^2)^4\times15^4\]

۴. عدد $\sqrt{5}-\sqrt{11}$ را روی محور اعداد نمایش دهید. (مشابه تمرین ۸. ۷. ۲. ۲)

۵. از نقطهٔ $-3$ روی محور اعداد $2$ واحد به‌طور عمودی بالا رفته‌ایم تا به نقطهٔ $A$ رسیده‌ایم. سپس سوزن پرگار را روی نقطهٔ $-1$ قرار داده‌ایم و دایره‌ای رسم کرده‌ایم که از نقطهٔ $A$ می‌گذرد. اگر محل برخورد این دایره با محور اعداد را $B$ بنامیم و طول پاره‌خط $BC$ برابر $2\sqrt{2}$ باشد، آن‌وقت نقطهٔ $C$ منتاظر با چند عدد متفاوت می‌تواند باشد؟ این اعداد را بیابید. (مشابه تمرین ۸. ۷. ۲. ۶)

آمار و احتمال

نمونه سوال امتحانی فصل هشتم

۱. میانگین $25$ عدد طبیعی پشت‌ِسرِهم برابر $n$ است. اگر این اعداد را از کوچک به بزرگ مرتب کنیم، میانگین عدد سوم و عدد بیستم را برحسب $n$ به‌دست آوردید.

۲. یک کلاس عجیب $30$تا دانش‌آموز دارد. قد $15$تا از این دانش‌آموزان $1.6$ متر است و قد $15$ نفر دیگر $1.22$ متر. $n$تا از دانش‌آموزان این کلاس در یک صف ایستاده‌اند. می‌دانیم، در این صف، قد هر چهار نفر پشتِ‌سرِهم بیشتر از $1.5$ متر است و قدر هر هفت نفر پشت‌ِ‌سرِهم کمتر از $1.5$ متر است. بیشترین مقدار ممکن برای $n$ را به‌دست آورید.

۳. طاقه‌هایی از هفت رنگ پارچه داریم. می‌خواهیم با سه تکه پارچهٔ هم‌عرض، پرچمی با سه رنگ متفاوت بدوزیم که در آن سه تکه افقی دوخته شوند. اگر یکی از طاقه‌ها سبز باشد و به‌طور تصادفی سه رنگ برای دوخت پرچم انتخاب کنیم، چقدر احتمال دارد که رنگ سبز در پرچم به‌کار رفته باشد؟ (مشابه تمرین ۸. ۸. ۴. ۹)

۴. سکه‌ای را سه‌بار پرتاب می‌کنیم. چقدر احتمال دارد که دقیقاً دو بار رو ظاهر شود؟ (مشابه تمرین ۸. ۸. ۴. ۶)

۵. یک تاس را سه‌ بار پرتاب می‌کنیم. چقدر احتمال دارد که حداکثر چهار بار شش ظاهر شود؟ (مشابه تمرین ۸. ۸. ۴. ۱۲)

دایره

نمونه سوال امتحانی فصل نهم

۱. رضا روی محور اعداد صحیح، نقطه‌های $A$ و $B$ را به‌ترتیب متناظر با اعداد $1$ و $4$ در نظر گرفت. او به مرکز $M$ دایره‌ای به شعاع $2$ رسم کرد. این دایره محور اعداد را در نقطه‌های $A$ و $B$ قطع کرد. رضا پاره‌خط $BM$ را امتداد داد تا دایره را در نقطهٔ $C$ قطع کند. سپس به مرکز $A$ و شعاع $AC$ دایرهٔ دیگری رسم کرد. این دایره محور اعداد را در نقطه‌های $X$ و $Y$ قطع کرد. ثابت کنید که نقطهٔ $C$ روی عمودمنصف $XY$ قرار دارد.

۲. در مسئلهٔ بالا، با ذکر دلیل مشخص کنید که نقطه‌های $X$ و $Y$ متناظر با چه اعدادی هستند.

۳. نقطه‌های $Q$ و $R$ روی دایرهٔ $c$ به مرکز $P$ قرار دارند. نقطهٔ $S$ بیرون دایرهٔ $c$ چنان قرار دارد که $SR$ و $SQ$ بر دایره مماس هستند. اگر $PR=2$ و $SR=5$، آن‌وقت محیط چهارضلعی $PRSQ$ چقدر است؟

۴. در یک دایره وتری به طول $10$ مفروض است. اگر طول بزرگ‌ترین وتر این دایره $15$ باشد، آنگاه فاصلهٔ مرکز دایره تا وتر مفروض چقدر است؟ (مشابه تمرین ۸. ۹. ۱. ۵)

۵. روی نیم‌دایره‌ای به قطر $AB$ دو کمان مساوی $BC$ و $CD$ جدا شده‌اند. خط عمود بر $CD$ که از نقطهٔ $D$ خارج شده است، $AC$ را در نقطهٔ $F$ قطع می‌کند. محل برخورد $AC$ و $BD$ نقطهٔ $E$ است. اگر $CD=3$، $DF=4$، و $AB=9$، آن‌وقت طول $CE$ چقدر است؟ (مشابه تمرین ۸. ۹. ۲. ۱۱)