هفته دوم دوره پیشرفته و تکمیلی ریاضی هفتم سمپاد

مطالب تدریس شده در کلاس

شش دایره روی یک مثلث به‌صورت زیر قرار داده‌ایم. اعداد $1$، $2$، $3$، $4$، $5$، و $6$ را طوری درون دایره‌ها می‌نویسیم که مجموع اعداد هر سه دایره که روی یک ضلع مثلث هستند، برابر $10$ شود. مجموع اعدادی که درون سه دایرهٔ وسط ضلع‌ها نوشته می‌شوند، چه عددهایی می‌تواند باشد؟

پاسخ را نشان بده!

اعداد داخل دایره‌ها را به‌صورت زیر نام‌گذاری می‌کنیم.

می‌دانیم که مجموع این شش عدد با مجموع اعداد $1$ تا $6$ برابر است. یعنی:
\[\begin{aligned}&x+y+z+a+b+c\\&=1+2+3+4+5+6\\&=21.\end{aligned}\]

همچنین، می‌دانیم که مجموع اعداد روی هر ضلع، برابر $10$ است. پس: \[\begin{aligned}&(x+a+y)+(y+b+z)+(z+c+x)=10+10+10\\&\Rightarrow (x+y+z)+(\underbrace{x+y+z+a+b+c}_{=21})=30\\&\Rightarrow x+y+z=30-21\\&\Rightarrow x+y+z=9.\end{aligned}\]
در نتیجه، چون:
\[\begin{aligned}&(x+y+z)+(x+y+z+a+b+c)=30\\&\Rightarrow9+9+a+b+c=30\\&\Rightarrow a+b+c=30-18\\&\Rightarrow a+b+c=12.\end{aligned}\]

در شکل زیر، مجموع همهٔ زاویه‌های حاده چند درجه است؟ (بزرگ‌ترین مثلث متساوی‌الاضلاع است.)

نقاط روی شکل را به‌صورت زیر نام‌گذاری می‌کنیم.

محل برخورد پاره‌خط‌های $AE$ و $BF$ را نیز نقطهٔ $G$ می‌نامیم.

در شکل بالا، با استفاده از قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث، می‌توان ثابت کرد که هریک از زاویه‌های صورتی برابر $30$ درجه، و هریک از زاویه‌های آبی برابر $60$ درجه هستند.

مثلث $ABC$ متساوی‌الاضلاع است. در نتیجه:
\[A\widehat{B}C=B\widehat{C}A=C\widehat{A}B=60^\circ.\]
در مثلث $ACE$ داریم:
\[\begin{aligned}&A\widehat{E}C+E\widehat{C}A+\widehat{A}_2=180^\circ\\&\Rightarrow90^\circ+60^\circ+\widehat{A}_2=180^\circ\\&\Rightarrow\widehat{A}_2=30^\circ.\end{aligned}\]
با استدلالی مشابه می‌توان ثابت کرد که
\[\widehat{B}_2=\widehat{B}_1=\widehat{A}_1=30^\circ.\]
اگر مثلث $ACG$ را نسبت به خط $AG$ بازتاب دهیم، بر مثلث $ABG$ منطبق می‌شود؛ یعنی دو مثلث $ACG$ و $ABG$ همنهشت هستند. در نتیجه:
\[\widehat{C}_2=\widehat{B}_1=30^\circ\]
و چون $\widehat{C}_1+\widehat{C}_2=60^\circ$، پس:
\[\widehat{C}_1=30^\circ.\]

حال، در مثلث $CEG$ داریم:
\[\begin{aligned}&\widehat{G}_1+\widehat{C}_1+G\widehat{E}C=180^\circ\\&\Rightarrow\widehat{G}_1+30^\circ+90^\circ=180^\circ\\&\Rightarrow\widehat{G}_1=60^\circ.\end{aligned}\]
با استدلالی مشابه می‌توان ثابت کرد:
\[\widehat{G}_2=\widehat{G}_3=60^\circ.\]
چون زاویه‌های $G_4$، $G_5$ و $G_6$، به‌ترتیب با زاویه‌های $G_1$، $G_2$، و $G_3$ متقابل‌به‌رأس هستند، پس:
\[\widehat{G}_4=\widehat{G}_5=\widehat{G}_6=60^\circ.\]

بنابراین، زاویه‌های $G_1$، $G_2$، $G_3$، $G_4$، $G_5$، $G_6$، $A_1$، $A_2$، $B_1$، $B_2$، $C_1$، $C_2$، $ABC$، $BCA$، و $CAB$ حاده هستند. واضح است که
\[\widehat{G}_1+\widehat{G}_2+\widehat{G}_3+\widehat{G}_4+\widehat{G}_5+\widehat{G}_6=360^\circ.\quad(1)\]
چون مجموع زاویه‌های مثلث $ABC$ برابر $180$ درجه است، پس:
\[\widehat{A}_1+\widehat{A}_2+\widehat{B}_1+\widehat{B}_2+\widehat{C}_1+\widehat{C}_2=180^\circ.\quad(2)\]
همچنین:
\[A\widehat{B}C+B\widehat{C}A+C\widehat{A}B=180^\circ.\quad(3)\]
در نتیجه، بنابه رابطه‌های $(1)$، $(2)$، و $(3)$، مجموع زاویه‌های حادهٔ شکل داده شده برابر است با:
\[360^\circ+180^\circ+180^\circ=720^\circ.\]

فرض کنیم زمین به شکل کرهٔ کامل، و طول خط استوا $40000$ کیلومتر باشد.

یک شرکت تلفن، خطی به فاصلهٔ $3$ متری زمین در سراسر دایرهٔ استوا کشیده است. برای پیشگیری از خرابی‌های پی‌در‌پی، یکی از مهندسان شرکت پیشنهاد کرد که ارتفاع خط تلفن از سطح زمین را دو متر افزایش دهند. مدیر شرکت قبول نکرد. او گفت: «هزینهٔ سیمی که باید اضافه شود زیاد می‌شود، زیرا قیمت هر متر سیم $20$ هزار تومان است». مهندس قبول کرد که هزینهٔ اضافی را خودش بپردازد!

این پیشنهاد حدوداً چقدر برای مهندس هزینه دارد؟ عدد پی را $3.14$ در نظر بگیرید. ($\pi\approx3.14$)

راهنمایی: می‌دانیم محیط دایره‌ای به شعاع $r$ برابر $2\pi r$ و یا تقریباً $6.28r$ است.

پاسخ را نشان بده!

یک مدار عجیب شامل تعدادی سیم و تعدادی گره است که هر سه شرط زیر را داشته باشند.
$\bullet$ هر سیم دو گره را به‌هم متصل کند.
$\bullet$ بین هر دو گره، حداکثر یک سیم وجود داشته باشد.
$\bullet$ هر گره دقیقاً به سه‌تا سیم متصل باشد.
شکل زیر، یک مدار عجیب با $8$ گره و $12$ سیم است.

اگر یک مدار عجیب $13788$تا سیم داشته باشد، آن‌وقت تعداد گره‌های این مدار چندتاست؟

پاسخ را نشان بده!

دو شناگر در دو طرف استخری به‌طول $50$ متر، همزمان درون آب شیرجه می‌زنند و به طرف یکدیگر شنا می‌کنند. اولی در هر $10$ ثانیه $14$ متر شنا می‌کند و دومی در هر $10$ ثانیه، $16$ متر را شنا می‌کند. اگر این دو شناگر، استخر را به‌طور رفت‌ و برگشت شنا کنند، پس از مدتی هر دو در یک جهت شنا خواهند کرد. پس از چند ثانیه از شیرجه زدن، و وقتی این دو شناگر در یک جهت شنا می‌کنند، شناگر سریع‌تر برای اولین‌بار از دیگری جلو می‌زند؟

پاسخ را نشان بده!

امشب قرار است که نگین‌بانو $7$ یا $11$ مهمان داشته باشد ولی تا لحظهٔ صرف شام تعداد دقیق مهمان‌ها مشخص نخواهد بود. برای شام یک پیتزای بزرگ به شکل دایره سفارش داده شده است و برش پیتزا باید در رستوران انجام شود. هر برش پیتزا فقط به شکل شعاع (از مرکز به یک نقطه روی محیط) خواهد بود. به تمام مهمان‌ها باید به مقدار مساوی پیتزا داد و در پایان نباید هیچ پیتزایی باقی بماند. کمترین تعداد برش پیتزا چندتاست؟

پاسخ را نشان بده!

در سال $66$ قبل از میلاد مسیح، رومیان شهر جوتاپاتا را تسخیر کردند. یهودیان پس $47$ روز مقاومت مجبور به فرار شدند. در میان گروهی از یهودیان، مورخ مشهوری به‌نام ژوزفوس فلاویوس بود، که همراه $40$ نفر دیگر در غاری پناه گرفتند. اینان ترجیح می‌دادند کشته شوند تا اینکه اسیر رومیان شوند. ژوزفوس با این تصمیم مخالف بود ولی این موضوع را علنی نمی‌کرد.

قرار بر این شد که این $41$ نفر، با شماره‌های $1$ تا $41$، دایره‌وار (و در جهت عقربه‌های ساعت) مرتب شوند. ابتدا شمارهٔ $1$، شمارهٔ $2$ را بكُشد، سپس شمارهٔ $3$، شمارهٔ $4$ را بكُشد، بعد شمارهٔ $5$، شمارهٔ $6$ را بکُشد و به‌همین‌ترتیب هركس در نوبتش نفر زندهٔ سمت چپش را بكشد. در پایان نیز آخرین نفری که زنده می‌ماند، خودش را بکشد.

كُشتار به همین‌ترتیب ادامه پیدا کرد، اما در پایان ژوزفوس زنده ماند و خودش را نکشت!

شمارهٔ ژوزفوس چند بود؟

در این مسئله، اگر به‌جای $41$ نفر، $4111$ نفر دایره‌وار نشسته باشند، در پایان عملیاتی که در بالا گفته شد، نفر چندم باید خودش را بکشد؟