آزمون پایان‌ترم هندسه دهم

می‌دانیم هریک از زاویه‌های یک \(n\)ضلعی منتظم از رابطهٔ \(\frac{(n-2)\times180^\circ}{n}\) به‌دست می‌آید. (نوشتهٔ «دربارهٔ زاویه‌های یک \(n\)ضلعی محدب» را بخوانید.) بنابراین اندازهٔ هریک از زاویه‌های شش‌ضلعی منتظم برابر است با:
\[\frac{(6-2)\times180^\circ}{6}=4\times30^\circ=120^\circ.\]
در نتیجه، \(2y=120^\circ\). از طرفی، \(x=30^\circ\). (چرا؟)

چون \(x^2+y^2=-2xy\)، پس \(x=-y\).
چرا؟

حال، از \(x^2+y^2=-2xy\) و \(x=-y\)، نتیجه می‌شود:
\[\frac{x^2+y^2}{3x^2+y^2}=\frac{1}{2}.\quad (y\ne0)\]
چگونه؟

روی نمودار ون، مجموعهٔ \((A\cap B)-C\) را مشخص می‌کنیم.

پس عدد \(5\) در ناحیهٔ سبزرنگ بالا قرار دارد.

عدد \(5\) عضو مجموعهٔ \(A-(B\cup C)\) نیست. (چرا؟)

عدد \(5\) عضو مجموعهٔ \((A-B)\cup C\) نیست. (چرا؟)

عدد \(5\) عضو مجموعهٔ \(A-(B\cap C)\) هست. (چرا؟)

عدد \(5\) عضو مجموعهٔ \((A-B)\cap C\) نیست. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

گزینهٔ ۱ نادرست است.
چرا؟

گزینهٔ ۲ درست است.
چرا؟

گزینهٔ ۳ درست است.
چرا؟

گزینهٔ ۴ درست است.
چرا؟

\(\Big\{2^{x-1}\mid x\in\mathbb{N},x < 8\Big\}=\{1,2,4,8,16,32,64\}\). (چرا؟)

برای دو عدد $a$ و $b$، $|a-b|$ یعنی فاصلهٔ این دو عدد روی محور اعداد. فاصلهٔ این دو عدد را با یک پاره‌خط صورتی نشان می‌دهیم.

در شکل بالا فرض کرده‌ایم $b>a$.
بنابه فرض مسئله،
\[\begin{aligned}&6|a-b|=6|b-c|\\&\Rightarrow |a-b|=|b-c|\end{aligned}\]
یعنی فاصلهٔ دو عدد $b$ و $c$ با فاصلهٔ دو عدد $a$ و $b$ برابر است. بنابراین $c>b$. (چرا؟)

پرسش. چرا در حالت $b < a$ نیز همین نتایج به‌دست می‌آید؟

\[\begin{aligned}27^{12}&=\big(9\times3\big)^{12}\\&=9^{12}\times3^{12}\\&=9^{12}\times\big(3^2\big)^6\\&=9^{12}\times9^6\\&=9^{18}\\&=\big(9^9\big)^2.\end{aligned}\]

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

ارتفاع استوانه را با \(h\) نمایش می‌دهیم.
\[\begin{aligned}&\frac{4}{3}\pi a^3=\pi\big(\frac{3}{2}\big)^2\times h\\[8pt]&\frac{12}{3}=\frac{h}{4}\Rightarrow h=16.\end{aligned}\]

می‌دانیم که مجموع عدد سه‌رقمی \(\overline{abc}\) و \(9\) برابر مقلوب آن، زوج است؛ یعنی حاصل عبارت
\[\begin{aligned}&\overline{abc}+9\overline{cba}\\&=(100a+10b+c)+9(100c+10b+a)\\&=100a+10b+c+900c+90b+9a\end{aligned}\]
زوج است. پس \(c+9a\) باید زوج باشد. واضح است که \(c+9a\) وقتی زوج است که \(a\) و \(c\) یا هر دو زوج باشند، یا هر دو فرد.
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

گزینهٔ ۲ صحیح است.
الف) اتحاد است.
ب) تساوی وجود ندارد که اتحاد باشد!
ج) چون عبارت سمت راست تساوی به‌ازای $x=0$ تعریف نشده است، اتحاد نیست.
د) اتحاد است.
ه) اتحاد نیست. زیرا به ازای $x=6$ سمت راست تساوی صفر است ولی سمت چپ تساوی برابر $-72$ است.
بنابراین فقط دو تا از عبارت‌های داده شده اتحاد است.