آزمون پایان‌ترم هندسه دهم

در نیمهٔ اول ۲ نتیجه ممکن است رخ داده باشد. (چرا؟)

واضح است که مساحت مربعی که روی ضلع \(AB\) بنا می‌شود برابر \(a^2\) است.

مساحت مثلث \(ABD\) برابر \(\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\). (چرا؟)

باتوجه به فرض مسئله، و برای سادگی قرار می‌دهیم:
\[\begin{aligned}AD&=x\\CD&=2x\\AB&=4x.\end{aligned}\]

از نقطهٔ \(C\) خطی موازی با \(AD\) رسم می‌کنیم و محل برخورد آن با \(AB\) را \(E\) می‌نامیم. چهارضلعی \(AECD\) متوازی‌الاضلاع است(؟).
چون در متوازی‌الاضلاع، ضلع‌های روبه‌رو برابرند، پس داریم: \(AE=CD=2x\). از طرفی، چون \(AB=4x\)، پس
\[\begin{aligned}BE&=AB-AE\\&=4x-2x\\&=2x.\end{aligned}\]

حال اگر وسط پاره‌خط \(BE\) را \(F\) بنامیم، مثلث \(CEF\) متساوی‌الاضلاع است. (چرا؟)

چون \(AD\) و \(EC\) موازی‌اند و \(AB\) این دو خط موازی را قطع کرده است، پس بنابه قضیهٔ خطوط موازی و مورب و فرض مسئله (\(\widehat{A}=60^\circ\)) داریم:
\[C\widehat{E}B=\widehat{A}=60^\circ.\]
چون \(F\) وسط پاره‌خط \(BE\) است و \(BE=2x\)، پس \(EF=BF=x\). از طرفی، می‌دانیم \(CE=x\). در نتیجه، مثلث \(CEF\) یک مثلث متساوی‌الساقین است که یکی از زاویه‌هایش \(60^\circ\) است.

بنابراین، از قضیهٔ مثلث متساوی‌الساقین و قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث نتیجه می‌شود که دو زاویهٔ دیگر این مثلث نیز \(60^\circ\) است و در نتیجه مثلث \(CEF\) متساوی‌الاضلاع است.

در نتیجه:
\[CE=EF=CF=BF=x.\]

پس، \(\widehat{B}=30^\circ\). (چرا؟)

بنابه قضیهٔ مثلث متساوی‌الساقین (در مثلث \(BCF\)) داریم: \[\widehat{B}=B\widehat{C}F.\quad(1)\] از طرفی، بنابه قضیهٔ زاویهٔ خارجی مثلث (در مثلث \(BCF\)) داریم:
\[\widehat{B}+B\widehat{C}F=C\widehat{F}E=60^\circ.\quad(2)\]
حال از رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) نتیجه می‌شود:
\[\widehat{B}=B\widehat{C}F=30^\circ.\]

واضح است که
\[(B-C)\subseteq A.\]
(چرا؟)

این مسئله با توجه به تعریف زنجیر که در صفحهٔ ۵ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم ارائه شده، طرح شده است.

در بین اعدادِ
\[0.\overline{1}, 0.\overline{2}, 0.\overline{3}, \dots , 0.\overline{1396}\]اعداد برابر را پیدا می‌کنیم:
\[\begin{aligned}&0.\overline{1}=0.\overline{11}=0.\overline{111}=0.\overline{1111}\\&0.\overline{2}=0.\overline{22}=0.\overline{222}\\&0.\overline{3}=0.\overline{33}=0.\overline{333}\\&0.\overline{4}=0.\overline{44}=0.\overline{444}\\&0.\overline{5}=0.\overline{55}=0.\overline{555}\\&0.\overline{6}=0.\overline{66}=0.\overline{666}\\&0.\overline{7}=0.\overline{77}=0.\overline{777}\\&0.\overline{8}=0.\overline{88}=0.\overline{888}\\&0.\overline{9}=0.\overline{99}=0.\overline{999}\\&0.\overline{10}=0.\overline{1010}\\&0.\overline{12}=0.\overline{1212}\\&0.\overline{13}=0.\overline{1313}\\\end{aligned}\]
در نتیجه، تعداد اعضای این مجموعه برابر است با:
\[1396-22=1374.\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

\(\bullet\) یک زیرمجموعهٔ \(3\) عضوی از \(A\) می‌توان نوشت که شامل اعضای \(1\)، \(2\)، و \(3\) باشد: \(\{1,2,3\}\).
\(\bullet\) \(15\) زیرمجموعهٔ \(4\) عضوی از \(A\) می‌توان نوشت که شامل اعضای \(1\)، \(2\)، و \(3\) باشد. (چرا؟)

پس پاسخ مسئله برابر است با:\[1+15+105=121.\] بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

\[\begin{aligned}&|2x-3|=|7-3x|\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&2x-3=7-3x\Rightarrow5x=10\Rightarrow x=2\\&2x-3=-(7-3x)\Rightarrow2x-3=-7+3x\Rightarrow4=x.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

مثال برای حالت اول:
\[a=\frac{1}{10},\;b=\frac{2}{10},\;c=\frac{9}{10}\]
در این حالت $b$ به $a$ نزدیکتر از $c$ است و چون
\[a^2=\frac{1}{100},\;b^2=\frac{4}{100},\;c^2=\frac{81}{100}\]
پس فرض‌های مسئله برقرار است؛ یعنی $0

مثال برای حالت دوم:
\[a=\frac{1}{10},\;b=\frac{6}{10},\;c=\frac{9}{10}\]
در این حالت $b$ به $c$ نزدیکتر از $a$ است و چون
\[a^2=\frac{1}{100},\;b^2=\frac{36}{100},\;c^2=\frac{81}{100}\]
پس فرض‌های مسئله برقرار است؛ یعنی $0

مثال برای حالت سوم:
\[a=\frac{1}{10},\;b=\frac{5}{10},\;c=\frac{9}{10}\]
در این حالت فاصلهٔ $b$ از $a$ و $c$ برابر است و چون
\[a^2=\frac{1}{100},\;b^2=\frac{25}{100},\;c^2=\frac{81}{100}\]
پس فرض‌های مسئله برقرار است؛ یعنی $0 < a < b < c < 1$ و $b^2$ به $a^2$ نزدیکتر از $c^2$ است.

پس برای هر سه حالت مثال وجود دارد. بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

\[\begin{aligned}&0.3\times10^{-4} < 2.7\times10^m < 5\times10^{-1}\\&3\times10^{-5} < 2.7\times10^m < 5\times10^{-1}.\end{aligned}\] در نتیجه: \[m\in\{-4,-3,-2,-1\}.\] بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

فرض کنیم شعاع این کره برابر $r$ باشد. چون حجم و مساحت کره برابر هستند، پس:
\[\begin{aligned}&\frac{4}{3}\pi r^3=4\pi r^2\\&\Rightarrow \frac{1}{3}r=1\\&\Rightarrow r=3.\end{aligned}\]

اگر جریمهٔ خطای اول \(x\) تومان باشد، آن‌وقت جریمهٔ خطاهای دوم، سوم، و چهارم به‌ترتیب \(3x\)، \(9x\)، و \(27x\) خواهد بود. بنابراین، جریمهٔ کسی که چهار خطا انجام داده برابر است با:
\[x+3x+9x+27x=40x.\]
در نتیجه، داریم:
\[40x=40\,000\Rightarrow x=1000.\]
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.