آزمون هندسه دهم

پاسخ تشریحی

در پرتاب دوتاس، تعداد همهٔ حالت‌های ممکن که مجموع اعداد رو شده برابر \(7\) باشد، برابر است با \(6\).
چرا؟

و پیشامد اینکه یکی از دو تاس \(3\) آمده باشد، \(2\) عضو دارد.
چرا؟

پس، احتمال خواسته شده برابر است با:
\[\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.\] بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

بنابه قضیهٔ خطوط موازی و مورب، در شکل زیر، زاویه‌های صورتی باهم برابرند. از طرفی، چون یکی از زاویه‌های صورتی مکمل زاویهٔ \(100\) درجه است،‌ پس زاویه‌های صورتی \(80\) درجه‌اند.

$B\widehat{A}C=20^\circ$. (چرا؟)

بنابه قضیهٔ خطوط موازی و مورب، در شکل زیر، زاویه‌های سبز باهم برابرند و اندازهٔ هریک از آنها \(20\) درجه است(؟).

بنابراین، چون در هریک از مثلث‌های تیرهٔ شکل زیر، زاویه‌ٔ صورتی برابر \(80\) درجه و زاویهٔ سبز برابر \(20\) درجه است، پس زاویه‌های سیاهِ این مثلث‌ها \(80\) درجه هستند.

بنابراین مجموع زاویه‌های سیاهِ مشخص شده در شکلِ صورت مسئله، برابر است با:
\[\begin{aligned}&5\times 80^\circ+100^\circ\\&=400^\circ+100^\circ\\&=500^\circ.\end{aligned}\]

بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

ابتدا گستردهٔ مقسوم‌علیه را محاسبه می‌کنیم:
\[\begin{aligned}&(x-1)^2(x+1)\\&=(x^2-2x+1)(x+1)\\&=x^3+x^2-2x^2-2x+x+1\\&=x^3-x^2-x+1.\end{aligned}\] حال، \(mx^4+nx+2\) را بر \(x^3-x^2-x+1\) تقسیم می‌کنیم:

برای اینکه باقی‌ماندهٔ تقسیم برابر صفر شود، باید داشته باشیم:
\[\begin{aligned}\left\{\begin{aligned}&2m=0\\&n=0\\&2-m=0\end{aligned}\right.\end{aligned}\] چون دستگاه معادلات بالا جواب ندارد، پس هیچ مقداری برای \(m\) و \(n\) وجود ندارد به‌طوری که چندجمله‌ای \(mx^4+nx+2\) بر \((x-1)^2(x+1)\) بخش‌پذیر باشد.

چون اعداد دورقمی را با \(M\) و اعداد زوج را با \(A\) نشان داده‌ایم، پس مجموعهٔ اعداد فرد دورقمی برابر است با: \(M-A\).
چون مضارب طبیعی \(3\) را با \(B\) و مضارب طبیعی \(5\) را با \(C\) نشان‌ داده‌ایم، پس مجموعهٔ مضارب طبیعی \(15\) برابر است با: \(B\cap C\).
در نتیجه، مجموعهٔ اعداد فرد دورقمی که مضرب \(15\) نیستند برابر است با: \((M-A)-(B\cap C)\) و نمودار گزینهٔ ۲ نشان‌دهندهٔ این مجموعه است.

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

اگر به چنین مسائلی مسلط نیستید، حتماً درسنامهٔ مجموعه‌های سایت تکمیلی را بخوانید.

مسئله‌ٔ مشابه

سؤال ۴۱ آزمون پیشرفت تحصیلی نهم سمپاد (فروردین ۹۷)

پاسخ تشریحی

می‌دانیم \(a-b\) یک عدد صحیح و \(a+b\) عددی گویا و غیرصحیح است. از طرفی، واضح است که مجموع یک عدد صحیح و یک عدد گویای غیرصحیح، یک عدد گویای غیر صحیح است. پس:
\[(a-b)+(a+b)=2a\] یک عدد گویای غیرصحیح است. در نتیجه:
\[a\in(\mathbb{Q}-\mathbb{Z}).\] بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.
حال، باید نشان دهیم که گزینه‌های دیگر نادرست هستند تا مطمئن شویم که این سؤال درست است.
\(\bullet\) در راه‌حل بالا، نشان دادیم که \(2a\) یک عدد گویای غیرصحیح است. پس، گزینهٔ ۱ نادرست است.
\(\bullet\) اگر گزینهٔ ۲ درست باشد، آنگاه از \((a-b)\in\mathbb{Z}\) نتیجه می‌شود که \(a\) نیز یک عدد صحیح است. پس \(a+b\) نیز عددی صحیح می‌شود که با فرض مسئله در تناقض است. پس گزینهٔ ۲ نادرست است.
\(\bullet\) اگر گزینهٔ ۴ درست باشد، آنگاه \(a+b=0\) که این با فرض \((a+b)\in (\mathbb{Q}-\mathbb{Z})\) در تناقض است. پس گزینهٔ‌ ۴ نیز نادرست است.

$0.\overline{1}=\frac{1}{9}$. (چرا؟)

بنابراین:
\[\begin{aligned}0.\overline{1}\div0.11111&=\frac{1}{9}\div\frac{11111}{100000}\\[6pt]&=\frac{1}{9}\times\frac{100000}{11111}\\[6pt]&=\frac{100000}{99999}\\[6pt]&=\frac{99999+1}{99999}\\[6pt]&=\frac{99999}{99999}+\frac{1}{99999}\\[6pt]&=1+0.\overline{00001}\\&=1.\overline{00001}.\end{aligned}\]
در نتیجه، گزینهٔ ۴ درست است.

\(\dfrac{\big(-\frac{3}{5}\big)^{-2}\times\frac{18}{25}}{(0.1)^3\times\big(-2^{-3}\big)}\in\mathbb{Z}\). (چرا؟)

\(\frac{-4^{-2}\times\frac{7}{3}}{16^{-1}\div\big(\frac{-3}{8}\big)}\in\mathbb{Q}\). (چرا؟)

\(\frac{-\sqrt{4.5}\times\big(\frac{1}{5}\big)^{-2}}{-3^3\times\sqrt{2}}\not\in\mathbb{Q'}\). (چرا؟)

\[R=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{4+5}=\sqrt{9}=3.\]
نسبت کمان حاصل از گستردهٔ روی مخروط به کل دایرهٔ آن برابر است با:
\[x=\frac{2}{3}.\] پس مساحت رویهٔ مخروط برابر است با:
\[\pi\times9\times\frac{2}{3}=6\pi.\] در نتیجه، مساحت قاعدهٔ مخروط برابر است با:
\[\pi(2)^2=4\pi.\] بنابراین، مساحت کل مخروط برابر است با:
\[6\pi+4\pi=10\pi.\]

اگر سه عدد فرد متوالی را با \(x-2\)، \(x\)، و \(x+2\) نمایش دهیم، آن‌وقت:
\[\begin{aligned}&(x-2)+x+(x+2)=69\\&\Rightarrow3x=69\\&\Rightarrow x=23\\&\Rightarrow x^2=529.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.