قضیه دوجمله‌ای
اگر \(n\) یک عدد طبیعی باشد، آنگاه: \[\begin{aligned}(x+y)^n&=\binom{n}{0}x^n+\binom{n}{1}x^{n-1}y+\binom{n}{2}x^{n-2}y^2+\dots+\binom{n}{n}y^n\\&=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n-k}y^n.\end{aligned}\] چند مثال. \[\begin{aligned}(x+y)^1&=x+y,\\(x+y)^2&=x^2+2xy+y^2,\\(x+y)^3&=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3,\\(x+y)^5&=\binom{5}{0}x^5+\binom{5}{1}x^4y+\binom{5}{2}x^3y^2+\binom{5}{3}x^2y^3+\binom{5}{4}xy^4+\binom{5}{5}y^5\\&=x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5.\end{aligned}\] اثبات. \[(x+y)^n=\underbrace{(x+y)(x+y)\dots(x+y)}_{تاn}.\] هر جمله از این حاصل‌ضرب به فرم \(x^ay^b\) است. در ضمن چون تعداد پرانتزهای برابر \(n\) است، بنابراین، \(a+b=n\) یعنی هر جمله از حاصل‌ضرب \(n\) پرانتز به فرم \(x^{n-k}y^k\) است. برای اینکه ضریب \(x^{n-k}y^k\) را بیابیم باید ببینیم این جمله چندبار در […]
مشاوره المپیاد ریاضی و کامپیوتر
جمعه ۲۲ مهر ۱۴۰۱، ساعت ۱۸ یک جلسهٔ مشاورهٔ آنلاین المپیاد ریاضی و کامپیوتر برگزار شد. در این جلسه، آقای دکتر علیرضا علیپور، استاد برجستهٔ المپیاد ریاضی و کامپیوتر، نویسندهٔ کتب مرجع المپیاد، و عضو سابق کمیتهٔ ملی المپیاد ایران، ضمن توضیحات جامع و مفصل دربارهٔ المپیاد ریاضی و کامپیوتر، به سؤالات حاضران در جلسه […]
کلاس المپیاد
برای شرکت در کلاس المپیاد ریاضی، المپیاد فیزیک، المپیاد زیست شناسی، المپیاد شیمی، و المپیاد نجوم و اخترفیزیک حتماً متن زیر را با دقت بخوانید و پرسش‌های خود را در قسمت کامنت‌ها بنویسید. کلاس‌‌های آنلاین دکتر علپیور در مدرسه تخصصی ریاضیات سایت تکمیلی فهرست المپیاد را چه مؤسسه‌ای برگزار می‌کند؟ از چه زمانی باید خودم […]