اشتراک ۶ماهه ریاضی تکمیلی نهم (آنلاین)

۹. ۱. ۲. ۱۷. پروژه. مسئلهٔ دختران مدرسهٔ کرکمن. در سال $1850$ میلادی، آقای کرکمن می‌خواست پانزده دانش‌آموزش را هر روز هفته به گروه‌های سه نفره تقسیم کند. از طرفی او می‌خواست هر دانش‌آموز با هریک از دانش‌آموزان دیگر، دقیقاً یک‌بار هم‌گروه باشد. با چنین شرایطی، آقای کرکمن با چه روشی باید جدول زیر را پر می‌کرد؟

---

راهنمای حل

راه‌حل‌های زیادی برای این مسئله وجود دارد. ایدهٔ یکی از این راه‌حل‌ها در زیر آمده است.

پانزده دانش‌آموز را به دو دسته تقسیم کنید:
\[\begin{aligned}A&=\{1,2,3,4,5,6,7\}\\B&=\{8,9,10,11,12,13,14,15\}\end{aligned}\]
با زیرمجموعه‌های سه‌عضوی $A$ یک صفحهٔ فانو بسازید و هر عضو صفحهٔ فانو را به‌عنوان گروه ۱ هریک از روزهای هفته بنویسید. (روش ساختن صفحهٔ فانو در تمرین ۹. ۱. ۲. ۱۵ آمده است.)

همهٔ زیر مجموعه‌های دو عضوی مجموعهٔ $B$ را بنویسید و این $28$ مجموعه را به هفت دستهٔ چهارتایی تقسیم کنید به‌طوری که در هر دسته همهٔ اعداد مجموعهٔ $B$ دیده شوند. سپس هریک از دسته‌های چهارتایی را به‌عنوان دو عضو از گروه‌های ۲، ۳، ۴، و ۵ هریک از روزهای هفته بنویسید. برای مثال، گروه‌های روز شنبه می‌تواند به‌صورت زیر باشد:
\[\begin{aligned}&\{1,2,3\}\\&\{8,9\}\\&\{10,11\}\\&\{12,13\}\\&\{14,15\}\\\end{aligned}\]
حال، هر روز هفته یک گروه سه نفره و چهار گروه دو نفره دارد. واضح است که تا اینجا هر دو نفر حداکثر یک‌بار باهم هم‌گروه بوده‌اند. اکنون نفر سومِ گروه‌های ۲، ۳، ۴، و ۵ هر روز را باید از نفراتی که در مجموعهٔ‌ $A$ هستند ولی در گروه ۱ (آن روز) نیستند، انتخاب کنیم به‌طوری‌که هر دو نفر دقیقاً یک‌بار باهم هم‌گروه باشند.

---

پرسش. می‌خواهیم زیرمجموعه‌های دوتایی مجموعهٔ\[A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\]را به هفت دستهٔ چهارتایی تقسیم کنیم به‌طوری‌که در هر دسته، هر عضو مجموعهٔ $A$ زیرمجموعهٔ دقیقاً یکی از آن چهار زیرمجموعه باشد. برای این‌کار حداقل دو روش ارائه کنید.

---

 

راهنمای حل (با توضیحات دقیق‌تر)

اگر نتوانستید با راهنمای حل بالا جواب مسئله را بیابید، با استفاده توضیحات و فرمول‌های زیر،‌ می‌توانید به‌سادگی پاسخ مسئله را بیابید.

پانزده دانش‌آموز را به دو دسته تقسیم کنید و دسته‌ها را به‌صورت زیر نام‌گذاری کنید.
\[\begin{aligned}A&=\{x_0,x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6\}\\B&=\{y_0,y_1,y_2,y_3,y_4,y_5,y_6,z\}\end{aligned}\]

با اعضای مجموعهٔ $A$ یک فانو (موجودی که در  تمرین ۹. ۱. ۲. ۱۵ دیدید)، به‌صورت زیر می‌سازیم:
\[\begin{aligned}&\{x_1,x_2,x_4\}\\&\{x_2,x_3,x_5\}\\&\{x_3,x_4,x_6\}\\&\{x_4,x_5,x_0\}\\&\{x_5,x_6,x_1\}\\&\{x_6,x_0,x_2\}\\&\{x_0,x_1,x_3\}\end{aligned}\]
روش ساختن فانوی بالا را کشف کنید.

روزهای هفته را به‌ترتیب با شماره‌های \(0\) تا \(6\) نام‌گذاری می‌کنیم و هفت مجموعهٔ بالا را به‌ترتیب در این \(7\) روز قرار می‌دهیم. (چگونه؟)

در روز $i$اُم، سه عضو از مجموعهٔ $A$ در یک گروه ۱ آمده‌اند. هریک از چهار عضو دیگرِ مجموعهٔ $A$ را در چهار گروه دیگر قرار می‌دهیم. (چگونه؟)

یکی از چهار گروه دیگرِ روز $i$اُم را $\{x_i,y_i,z\}$ قرار می‌دهیم. بنابراین تا اینجا، در هر روز، دوتا گروه ساخته‌ایم. (چگونه؟)

اکنون در هر روز، سه عضو از مجموعهٔ $A$ استفاده نشده است. اگر هریک از این عضو‌ها را با $x_m$ نمایش دهیم، آنگاه می‌توانیم در هر روز سه‌تا مجموعهٔ سه‌تایی به‌صورت $\{x_m,y_j,y_k\}$ بسازیم به‌طوری‌که باقی‌مانده تقسیم $2m$ بر \(7\) برابر باقی‌ماندهٔ‌ تقسیم $j+k$ بر \(7\) باشد. برای مثال، در روز \(0\)، $x_3$، $x_5$، و $x_6$ استفاده نشده‌اند. بنابراین، برای روز \(0\)، سه زیرمجموعهٔ زیر را داریم:
\[\{x_3,y_1,y_5\},\{x_5,y_4,y_6\},\{x_6,y_2,y_3\}\]
(چرا؟)

پس تا اینجا، روز \(0\) کامل شده است؛ (چگونه؟)

و برای هریک از روزهای دیگر، باید سه مجموعه بسازیم. با قانونی که سه مجموعهٔ بالا را ساختیم، سه مجموعهٔ روزهای دیگر را نیز می‌سازیم. (چگونه؟)

---

پرسش ۱. آیا می‌توانید بگویید که ایدهٔ راه‌حل بالا چگونه به‌وجود آمده و چرا درست است؟

پرسش ۲. روش دیگری برای حل این مسئله بیابید.