اشتراک ۹ماهه ریاضی تکمیلی هشتم (آنلاین)

۸. ۱. ۱. ۱۴. اگر $n^2$ تا عددِ متمایز، طوری در یک جدولِ $n\times n$ چیده شود که حاصل‌جمع اعدادِ روی هر سطر، هر ستون و هر قطر، عدد یکسانی باشد، به این جدولِ $n\times n$ مربع جادویی می‌گویند. برای مثال، جدول زیر، یک مربع جادویی $3\times 3$ با اعداد $1$ تا $9$ است.

ب)  باتوجه‌به متن زیر، یک مربع جادویی $5\times 5$ با اعداد $1$ تا $25$ بسازید.
فرض کنید $n$ عددی فرد باشد. برای ساختن یک مربع جادویی $n\times n$ با اعداد $1$ تا $n^2$، ابتدا عدد $1$ را در خانهٔ وسطِ سطر بالایی جدول $n\times n$ قرار می‌دهیم. یک خانه به بالا می‌رویم و یک خانه به سمت چپ (اگر از جدول خارج شدیم از سمت مقابل وارد می‌شویم) و عدد بعدی را داخل آن می‌نویسیم و همین کار را تکرار می‌کنیم تا به $n^2$ برسیم. اگر در مرحله‌ای به خانه‌ای رسیدیم که پر بود (و می‌خواستیم عدد $m$ را داخل آن بنویسیم)، عدد بعدی را زیر خانهٔ عدد قبلی (خانه‌ای که عدد $m-1$ را در آن نوشته بودیم)، می‌نویسیم.

ج) یک مربع جادویی $4\times 4$ با اعداد $1$ تا $16$ بسازید.

د) پروژه. فرض کنید $n$ عددی زوج باشد. روشی برای ساخت مربع‌های جادویی $n\times n$ با اعداد $1$ تا $n^2$ ارائه کنید.

راهنمای حل

الف) مجموع ۹ عدد موجود در هر مربع جادویی $3\times 3$  که با اعداد ۱ تا ۹ ساخته می‌شود برابر است با:
\[1+2+3+\dots+9=\dfrac{9\times10}{2}=45\]
یعنی مجموع اعداد سه سطر برابر ۴۵ است. چون مجموع اعداد هر سطر باید با مجموع اعداد سطرهای دیگر برابر باشد، پس مجموع اعداد یک سطر برابر است با:
\[\dfrac{45}{3}=15\]
چون بنابه تعریف مربع جادویی، مجموع اعداد هر سطر،‌ هر ستون و هر قطر باید عدد یکسانی باشد، پس مجموع اعداد هر ستون و هر قطر نیز باید ۱۵ باشد.
ب) ویدئوی زیر را ببینید.

روش ارائه شده در این قسمت به روش سیامس (Siamese) معروف است.

پرسش در کلاس. آیا مربع جادویی سه در سه که در صورت مسئله می‌بینید نیز با روش سیامس ساخته شده است؟
پرسش در کلاس. با استفاده از روش سیامس، یک مربع جادویی هفت در هفت بسازید.

ج) ویدئوی زیر را ببینید.

پرسش در کلاس. فرض کنید $n$ یک عدد طبیعی باشد. آیا می‌توانید روشی را که در ویدئوی بالا آمده است طوری تعمیم دهید که با استفاده از آن بتوان مربع‌های جادویی \(4n\times4n\) ساخت؟

د) ابتدا یک مربع جادویی \(6\times6\) می‌سازیم. سپس سعی کنید روش ارائه شده برای ساخت این مربع جادویی را طوری تعمیم دهید که با استفاده از آن بتوان همهٔ مربع‌های جادویی \((4n+2)\times(4n+2)\)، یعنی مربع‌های جادوییِ\[6\times6,\;10\times10,\;14\times14,\;18\times18,\;\dots\]را ساخت.

مطابق شکل زیر، یک جدول \(6\times6\) را به چهار قسمت \(3\times3\) تقسیم می‌کنیم.

در یک مربع جادویی \(6\times6\) که با اعداد \(1\) تا \(36\) ساخته می‌شود، باید مجموع هر سطر، هر ستون، و هر قطر، برابر \(111\) باشد. (چرا؟)

با استفاده از روش سیامس (روش ارائه شده در قسمت «ب») ، در هریک از چهار قسمت مربع \(6\times6\)، یک مربع جادویی می‌سازیم:
\(\bullet\) در قسمت بالا، سمت چپ، با اعداد \(1\) تا \(9\)،
\(\bullet\) در قسمت پایین، سمت راست، با اعداد \(10\) تا \(18\)،
\(\bullet\) در قسمت بالا، سمت راست، با اعداد \(19\) تا \(27\)،
\(\bullet\) و در قسمت پایین، سمت چپ، با اعداد \(28\) تا \(36\).

البته، روشی که با آن هریک از جدول‌های \(3\times3\) بالا را پر کرده‌ایم، تفاوت اندکی با روش ارائه شده در قسمت «ب» دارد. این تفاوت چیست؟

مجموع همهٔ ستون‌های جدول بالا برابر \(111\) است، ولی مجموع سطرهای اول، دوم، و سوم برابر با \(84\)، و مجموع سطرهای چهارم، پنجم، و ششم برابر با \(138\) است.

چون \(84=111-27\) و \(138=111+27\)، پس با چند جابه‌جایی، که در شکل زیر مشخص شده است، می‌توان جدول بالا را به یک مربع جادویی \(6\times6\) تبدیل کرد.

مربع‌های جادویی در بخش‌های دیگری از کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم نیز وجود دارند! برای مثال، تمرین‌های تمرین ۱۱ صفحهٔ ۱۴، تمرین ۳ صفحهٔ ۲۴، و تمرین ۹ صفحهٔ ۵۹ را ببینید.