توضیحات
با خرید این محصول، بهمدت ۹ماه به ریاضی تکمیلی هشتم دسترسی خواهید داشت. پس از خرید، فقط کافی است وارد حساب کاربریتان شوید تا این محتوا برایتان نمایش داده شود.
توضیحاتی دربارهٔ پاسخنامهٔ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم
برای استفادهٔ مفید از پاسخنامهٔ تشریحی کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم ، نکات زیر را در نظر بگیرید.
فهم صورت مسئله
بنابه بررسیهای انجام شده، در بیش از \(80\) درصد موارد، فقط فهم یا عدم فهم صورت مسئله باعث میشود که برخی بتوانند یک مسئله را حل کنند و برخی نتوانند. بنابراین، برای فهم دقیق صورت مسئله وقت کافی بگذارید. اگر جایی از صورت مسئله برایتان واضح نبود، دربارهٔ آن در قسمت دیدگاهها بپرسید.
گونههای مختلف سؤالهای ریاضی
سؤالهای ریاضی دبیرستانی را میتوان به دو بخش تقسیم کرد.
۱. تمرین
برای حل یک تمرین ریاضی کافی است صرفاً رابطهها و فرمولهای مربوط به آن مبحث را بلد باشید و بدانید چگونه از آنها استفاده کنید. با اندکی آموزش درست و خواندن درسنامههای ریاضی، اکثر افراد به سادگی و در زمانی کوتاه میتوانند یک تمرین ریاضی را حل کنند.
۲. مسئله
برای حل مسئلههای ریاضی، تسلط به رابطهها و فرمولها کافی نیست؛ بلکه به مهارتهای دیگر، و گاهی خلاقیت و هوش نیز نیاز است.
نباید انتظار داشته باشید که صرفاً با آموزش سنتی و خواندن درسنامهها بتوانید مسئلههای ریاضی را حل کنید.
برای اینکه بتوانید مسئلههای ریاضی را حل کنید، باید روی مسائل سخت فکر کرده باشید، راهحلهای مختلفی از مسائل سخت را خوانده باشید و دربارهٔ آنها بحث کرده باشید.
توجه کنید که تعداد زیادی از سؤالات کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم از نوع «مسئله» هستند.
روش خواندن راهحل
بعد از اینکه مطمئن شدید صورت مسئله را فهمیدهاید، راهحل آن را بخوانید. در بسیاری از راهحلها، بهویژه برای راهحل مسائل سخت، عبارت (چرا؟) وجود دارد! پاسخِ «چرا؟»ها پنهان شدهاند. قبل از اینکه پاسخ را ببینید، خودتان سعی کنید به آن «چرا؟» پاسخ دهید و سپس، پاسخ را ببینید.
هر جای راهحل را که برایتان واضح نبود مشخص کنید و در قسمت دیدگاهها بپرسید.
حتماً مسائلی را که برایتان سخت بوده است، علامت بزنید و چند روز بعد سعی کنید خودتان یکبار دیگر آنها را حل کنید.
پرسش در کلاس
بعد از راهحل بسیاری از مسئلهها، پرسشهایی مطرح شدهاند. این پرسشها، ادامهای بر همان مسئله هستند و هدف از طرح آنها این است که:
۱. دانشآموز الگویی برای سؤال پرسیدن در کلاس درس داشته باشد. پرسش و پاسخ در کلاس درس، یکی از مؤثرترین روشهای یادگیری ریاضیات و هر علم دیگری است.
۲. دانشآموز کمکم بیاموزد که بعد از حل یک مسئله آن را رها نکند و پرسشهای دیگری دربارهٔ آن مسئله در ذهنش شکل بگیرد.
یک مسئله و راهحل آن (نمونه)
برای نمونه، مسئلهٔ ۱۴ صفحهٔ ۱۰ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم و راهنمای حل آن در زیر آمده است. برای مشاهدهٔ کامنتهای این مسئله، اینجا را کلیک کنید.
![](https://takmili.com/wp-content/uploads/2018/01/Screen-Shot-1396-11-08-at-8.07.26-AM-min-150x150.png)
ب) باتوجهبه متن زیر، یک مربع جادویی $5\times 5$ با اعداد $1$ تا $25$ بسازید.
فرض کنید $n$ عددی فرد باشد. برای ساختن یک مربع جادویی $n\times n$ با اعداد $1$ تا $n^2$، ابتدا عدد $1$ را در خانهٔ وسطِ سطر بالایی جدول $n\times n$ قرار میدهیم. یک خانه به بالا میرویم و یک خانه به سمت چپ (اگر از جدول خارج شدیم از سمت مقابل وارد میشویم) و عدد بعدی را داخل آن مینویسیم و همین کار را تکرار میکنیم تا به $n^2$ برسیم. اگر در مرحلهای به خانهای رسیدیم که پر بود (و میخواستیم عدد $m$ را داخل آن بنویسیم)، عدد بعدی را زیر خانهٔ عدد قبلی (خانهای که عدد $m-1$ را در آن نوشته بودیم)، مینویسیم.
ج) یک مربع جادویی $4\times 4$ با اعداد $1$ تا $16$ بسازید.
د) پروژه. فرض کنید $n$ عددی زوج باشد. روشی برای ساخت مربعهای جادویی $n\times n$ با اعداد $1$ تا $n^2$ ارائه کنید.
راهنمای حل
الف) مجموع ۹ عدد موجود در هر مربع جادویی $3\times 3$ که با اعداد ۱ تا ۹ ساخته میشود برابر است با:
\[1+2+3+\dots+9=\dfrac{9\times10}{2}=45\]
یعنی مجموع اعداد سه سطر برابر ۴۵ است. چون مجموع اعداد هر سطر باید با مجموع اعداد سطرهای دیگر برابر باشد، پس مجموع اعداد یک سطر برابر است با:
\[\dfrac{45}{3}=15\]
چون بنابه تعریف مربع جادویی، مجموع اعداد هر سطر، هر ستون و هر قطر باید عدد یکسانی باشد، پس مجموع اعداد هر ستون و هر قطر نیز باید ۱۵ باشد.
ب) ویدئوی زیر را ببینید.
روش ارائه شده در این قسمت به روش سیامس (Siamese) معروف است.
پرسش در کلاس. آیا مربع جادویی سه در سه که در صورت مسئله میبینید نیز با روش سیامس ساخته شده است؟
پرسش در کلاس. با استفاده از روش سیامس، یک مربع جادویی هفت در هفت بسازید.
ج) ویدئوی زیر را ببینید.
پرسش در کلاس. فرض کنید $n$ یک عدد طبیعی باشد. آیا میتوانید روشی را که در ویدئوی بالا آمده است طوری تعمیم دهید که با استفاده از آن بتوان مربعهای جادویی \(4n\times4n\) ساخت؟
د) ابتدا یک مربع جادویی \(6\times6\) میسازیم. سپس سعی کنید روش ارائه شده برای ساخت این مربع جادویی را طوری تعمیم دهید که با استفاده از آن بتوان همهٔ مربعهای جادویی \((4n+2)\times(4n+2)\)، یعنی مربعهای جادوییِ\[6\times6,\;10\times10,\;14\times14,\;18\times18,\;\dots\]را ساخت.
مطابق شکل زیر، یک جدول \(6\times6\) را به چهار قسمت \(3\times3\) تقسیم میکنیم.
در یک مربع جادویی \(6\times6\) که با اعداد \(1\) تا \(36\) ساخته میشود، باید مجموع هر سطر، هر ستون، و هر قطر، برابر \(111\) باشد. (چرا؟)
با استفاده از روش سیامس (روش ارائه شده در قسمت «ب») ، در هریک از چهار قسمت مربع \(6\times6\)، یک مربع جادویی میسازیم:
\(\bullet\) در قسمت بالا، سمت چپ، با اعداد \(1\) تا \(9\)،
\(\bullet\) در قسمت پایین، سمت راست، با اعداد \(10\) تا \(18\)،
\(\bullet\) در قسمت بالا، سمت راست، با اعداد \(19\) تا \(27\)،
\(\bullet\) و در قسمت پایین، سمت چپ، با اعداد \(28\) تا \(36\).
البته، روشی که با آن هریک از جدولهای \(3\times3\) بالا را پر کردهایم، تفاوت اندکی با روش ارائه شده در قسمت «ب» دارد. این تفاوت چیست؟
مجموع همهٔ ستونهای جدول بالا برابر \(111\) است، ولی مجموع سطرهای اول، دوم، و سوم برابر با \(84\)، و مجموع سطرهای چهارم، پنجم، و ششم برابر با \(138\) است.
چون \(84=111-27\) و \(138=111+27\)، پس با چند جابهجایی، که در شکل زیر مشخص شده است، میتوان جدول بالا را به یک مربع جادویی \(6\times6\) تبدیل کرد.
مربعهای جادویی در بخشهای دیگری از کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم نیز وجود دارند! برای مثال، تمرینهای تمرین ۱۱ صفحهٔ ۱۴، تمرین ۳ صفحهٔ ۲۴، و تمرین ۹ صفحهٔ ۵۹ را ببینید.
عارفه –
عالی