قضیهٔ زاویهٔ خارجی (نابرابری)

قضیه زاویه خارجی (نابرابری). هر زاویهٔ خارجی مثلث از هریک از زاویه‌های داخلی غیرمجاورش بزرگ‌تر است.

توجه. اگر بخواهیم از قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث استفاده کنیم، اثبات قضیهٔ بالا واضح است. (قضیهٔ زاویهٔ خارجی مثلث را ببینید.) اما در اثبات زیر، از قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث استفاده نشده است. در بعضی موارد، از جمله اثبات قضیهٔ خطوط موازی و مورب، به اثبات زیر نیاز داریم.

اثبات. مطابق شکل زیر، مثلث \(ABC\) و زاویهٔ خارجی \(ACD\) را در نظر بگیرید. می‌خواهیم ثابت کنیم که زاویهٔ \(ACD\) از هریک از زاویه‌های \(A\) و \(B\) بزرگ‌تر است.

میانهٔ \(BE\) را رسم می‌کنیم و آن را به‌اندازهٔ خودش امتداد می‌دهیم تا نقطهٔ \(F\) به‌دست آید. توجه کنید که نقطهٔ \(F\) درون زاویهٔ \(ACD\) می‌افتد.

حال، دو مثلث \(ABE\) و \(CFE\) در حالت ض‌زض همنهشت‌اند. (چرا؟)

از همنهشتی دو مثلث \(ABE\) و \(CFE\) نتیجه می‌شود که \(B\widehat{A}E=F\widehat{C}E\).

اکنون توجه کنید که زاویهٔ \(FCE\) قسمتی از زاویهٔ \(ECD\) است، بنابراین از آن کوچک‌تر است؛ به عبارت دیگر، زاویهٔ \(ACD\) از زاویهٔ \(BAC\) بزرگ‌تر است.

به همین ترتیب، می‌توان ثابت کرد که زاویهٔ خارجی \(ACD\) از زاویهٔ \(ABC\) بزرگ‌تر است.

توضیح. در اثبات بالا برای یک قسمت، استدلال کاملاً دقیق و ریاضیاتی نیاورده‌ایم. البته، چنین دقتی جزء مباحث هندسهٔ دبیرستانی نیست. به‌هرحال، به کسانی که می‌خواهند استدلال‌های هندسه را خیلی دقیق بیاموزند، خواندن کتاب هندسه‌های اقلیدسی و نااقلیدسی را توصیه می‌کنیم. اثبات کامل قضیه زاویه خارجی (نابرابری) در صفحه‌های ۱۲۹ و ۱۳۰ این کتاب آمده است.