هفتم. فصل ۱. مسئله‌ها. تمرین ۱۰

۷. ۱. ۱. ۱۰. در هندوستان، رانندگان عاشق بوق زدن هستند! فرض کنید پشت چراغ قرمز، رسم بر این باشد که نفر اول ۱ بار بوق بزند. بعد نفر دوم هر چند بار که خواست بوق بزند. نفر سوم به تعداد مجموع بوق‌های نفر اول و دوم بوق بزند. نفر چهارم به تعداد مجموع بوق‌های نفر اول و دوم و سوم بوق بزند و نفر پنجم به تعداد مجموع بوق‌های چهار نفر قبلی بوق ‌بزند و $\cdots$.
الف) اگر پشت یک چراغ، نفر دوم ۲ بار بوق بزند و ۵ نفر بعدی با قانون بالا بوق بزنند، نفر آخر چند بار بوق زده است؟
ب) اگر پشت یک چراغ، نفر دوم ۶ بار بوق زده باشد و در مجموع ۵۶ بار صدای بوق شنیده شده باشد، چند راننده بوق زده‌اند؟
ج) ۶ نفر مجموعاً ۱۶ بار بوق زده‌اند. نفر دوم چند بار بوق زده است؟

راهنمای حل

الف) نفر اول یک‌بار بوق زده و نفر دوم ۲ بار بوق زده است. با قانون گفته شده تعداد بوق‌های نفرات بعدی را به‌دست می‌آوریم.
تعداد بوق‌های نفر سوم:
\[1+2=3\]
تعداد بوق‌های نفر چهارم:
\[1+2+3=6\]
تعداد بوق‌های نفر پنجم:
\[1+2+3+6=12\]
تعداد بوق‌های نفر ششم:
\[1+2+3+6+12=24\]
تعداد بوق‌های نفر هفتم:
\[1+2+3+6+12+24=48\]
بنابراین تعداد بوق‌های نفر آخر (نفر هفتم) برابر ۴۸ است.
همان‌طور که می‌بینید، تعداد بوق‌های هریک از نفرات چهارم به بعد، دو برابر تعداد بوق‌های نفر قبلی است(؟).

ب) نفر اول یک‌بار بوق زده و نفر دوم ۶ بار بوق زده است. بنابراین تعداد بوق‌های نفر سوم برابر است با:
\[1+6=7\]
پس تعداد بوق‌های نفرات بعدی به‌‌صورت زیر محاسبه می‌شود.
تعداد بوق‌های نفر چهارم:
\[7\times 2=14\]
تعداد بوق‌های نفر پنجم:
\[14\times 2=28\]
تا اینجا ۵۶ بار صدای بوق شنیده شده است. زیرا:
\[1+6+7+14+28=56\]
بنابراین ۵ راننده بوق زده‌اند.

تعداد بوق‌های نفرات سوم به بعد، مضربی از تعداد بوق‌های نفر سوم است(؟).

ج)  چون ۱۶ فقط مضرب عدد ۲ است، پس تعداد بوق‌های نفر چهارم باید فقط مضربی از ۲ باشد. فرض کنیم نفر دوم بوق نزده باشد. دراین‌صورت تعداد بوق‌های نفرات بعدی به‌صورت زیر محاسبه می‌شود.
تعداد بوق‌های نفر سوم:
\[1+0=1\]
تعداد بوق‌های نفر چهارم:
\[1+0+1=2\]
تعداد بوق‌های نفر پنجم:
\[2\times 2=4\]
تعداد بوق‌های نفر ششم:
\[4\times 2=8\]
پس تا اینجا ۱۶ بار صدای بوق شنیده شده است. زیرا:
\[1+0+1+2+4+8=16\]
بنابراین پاسخ این قسمت این است که نفر دوم بوق نزده است.
واضح است که این مسئله پاسخ دیگری ندارد.(؟)

پرسش در کلاس ۱. در بین اعداد ۱ تا ۵۰ چه اعدادی نمی‌توانند تعداد بوق‌های یکی از رانندگان پنجم به بعد باشند؟

پرسش در کلاس ۲. در بین اعداد ۱ تا ۵۰ چه اعدادی می‌توانند تعداد بوق‌های یکی از رانندگان پنجم به بعد باشند؟ برای هریک از این اعداد مسئله‌ای بسازید.

پرسش در کلاس ۳. اگر در مجموع ۱۴۴ بار صدای بوق شنیده شده باشد، چند راننده بوق زده‌اند؟ همهٔ جواب‌های این مسئله را بیابید.

پرسش در کلاس چیست؟