بهجای $x$ چند مقدار صحیح مختلف میتوان قرار داد تا مقدار عددی عبارت $(x^2-1)(x^2-2)(x^2-4)$ برابر صفر شود؟
۱) یک
۲) دو
۳) چهار
۴) شش
راهنمای حل
گزینهٔ ۳ درست است. زیرا:
\[\begin{aligned}&(x^2-1)(x^2-2)(x^2-4)=0\\&\Rightarrow(x-1)(x+1)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x-2)(x+2)=0\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&x-1=0\Rightarrow x=1\\&x+1=0\Rightarrow x=-1\\&x-\sqrt{2}=0\Rightarrow x=\sqrt{2}\\&x+\sqrt{2}=0\Rightarrow x=-\sqrt{2}\\&x-2=0\Rightarrow x=2\\&x+2=0\Rightarrow x=-2.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
چون $\sqrt{2}$ و $-\sqrt{2}$ اعداد صحیح نیستند، پس عبارت $(x^2-1)(x^2-2)(x^2-4)$ بهازای چهار مقدار صحیحِ $1$، $-1$، $2$، و $-2$، برابر صفر میشود.
منبع. در صفحهٔ ۸۶ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم، تعریف ریشهٔ یک چندجملهای آمده است. در مسئلهٔ بالا، در واقع، باید ریشههای عبارت داده شده را بهدست آوریم. تمرینهای زیادی در کتاب ریاضی تکمیلی نهم هست که دربارهٔ ریشههای یک چندجملهای بحث میکنند.
مسئلههای مشابه
۱. حداقل سهتا چندجملهای درجهٔ \(4\) مثال بزنید که ریشههای آنها \(1\)، \(2\)، \(-3\)، و \(-1\) باشد. (تمرین ۱۸ صفحهٔ ۸۶ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم)
۲. \(P(x)\)ای مثال بزنید که درجهٔ آن \(3\) باشد و \[P(2)=P(\frac{1}{2})=P(-\sqrt{3})=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\]
(تمرین ۱۹ صفحهٔ ۸۷ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم)
