آزمون ریاضی شبیه‌ساز تیزهوشان و نمونه دولتی، تعیین مرکز، و جانمایی نهم به دهم

در مجموع \(6\) مسابقه انجام می‌‌شود. (چرا؟)

پس مجموع امتیازات هر \(4\) تیم، می‌تواند هریک از اعداد \(12\)، \(13\)، \(14\)، \(15\)، \(16\)، \(17\)، یا \(18\) باشد.
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

پرسش. اگر \(n\) تیم داشته باشیم و هریک از آنها با \(n-1\) تیم دیگر مسابقه دهد، در مجموع چند مسابقه انجام می‌شود؟
(تمرین ۲ صفحهٔ صفحهٔ ۲۰ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم، و تمرین ۱۱ صفحهٔ ۱۶ کتاب ریاضیات تکمیلی هفتم را ببینید.)

چون $AC$ و $AD$ قطر هستند، پس بنابه قضیهٔ زاویهٔ محاطی زاویه‌های $ABC$ و $ABD$ قائمه‌اند. بنابراین نقطه‌های $B$، $C$ و $D$ روی یک خط راست قرار دارند.
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

مسئلهٔ‌ مشابه

تمرین ۱۴ صفحهٔ ۵۹ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم

اگر فرض کنیم که نوار کاغذی مستطیل است، آن‌وقت بنابه قضیهٔ خطوط موازی و مورب، زاویه‌های آبی‌رنگ شکل زیر، برابرند.

حالا اگر از روی خط مورب، نوار کاغذی را تا بزنیم، مثلث شکل زیر، دو زاویهٔ برابر دارد.

پس بنابه عکس قضیهٔ مثلث متساوی‌الساقین، مثلث ایجاد شده، متساوی‌الساقین است.
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است. (دقت کنید که فقط در صورتی مثلث ایجاد شده متساوی‌الاضلاع است که خط مورب با نوار کاغذی زاویهٔ \(60\) درجه بسازد.)

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

\[\begin{aligned}&\dfrac{a^2-b^2}{ab}-\dfrac{a^2-b^2}{ab-a^2}\\[7pt]&=\dfrac{a^2-b^2}{ab}-\dfrac{(a-b)(a+b)}{a(b-a)}\\[7pt]&=\dfrac{a^2-b^2}{ab}-\dfrac{(a-b)(a+b)}{a(a-b)(-1)}\\[7pt]&=\dfrac{a^2-b^2}{ab}+\dfrac{(a+b)}{a},\quad(a\ne b)\\[7pt]&=\dfrac{a^2-b^2}{ab}+\dfrac{(a+b)b}{ab},\quad(a\ne b)\\[7pt]&=\dfrac{a^2-b^2}{ab}+\dfrac{ab+b^2}{ab},\quad(a\ne b)\\[7pt]&=\frac{a^2+ab}{ab},\quad(a\ne b)\\[7pt]&=\frac{a(a+b)}{ab},\quad(a\ne b)\\[7pt]&=\frac{a+b}{b}.\quad(a\ne b,\,a\ne0)\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

پاسخ تشریحی

ابتدا برای \((A-B)\cap C\) یک نمودار ون رسم می‌کنیم:

حال، در بین گزینه‌های داده شده، و با استفاده از نمودار ون، مجموعه‌ای را پیدا می‌کنیم که با \((A-B)\cap C\) برابر باشد.

گزینهٔ ۱.

گزینهٔ ۲.

گزینهٔ ۳.

گزینهٔ ۴.

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

گزینهٔ ۲ نادرست است. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

\[\begin{aligned}&\Big\{(-1)^{\frac{n(n+1)}{2}}\times n\,\big|\,n\in\mathbb{W},n\leq5\Big\}\\&=\Big\{(-1)^{\frac{0(0+1)}{2}}\times0,(-1)^{\frac{1(1+1)}{2}}\times1,(-1)^{\frac{2(2+1)}{2}}\times2,(-1)^{\frac{3(3+1)}{2}}\times3,(-1)^{\frac{4(4+1)}{2}}\times4,(-1)^{\frac{5(5+1)}{2}}\times5\Big\}\\&=\Big\{(-1)^0\times0,(-1)^1\times1,(-1)^3\times2,(-1)^6\times3,(-1)^{10}\times4,(-1)^{15}\times5\Big\}\\&=\Big\{0,-1,-2,3,4,-5\Big\}.\end{aligned}\]
بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

\[\begin{aligned}\big|7\sqrt{3}-12\big|&=\big|\sqrt{49\times 3}-\sqrt{12\times 12}\big|\\&=\big|\underbrace{\sqrt{147}-\sqrt{144}}_{>0}\big|\\&=\sqrt{147}-\sqrt{144}\\&=7\sqrt{3}-12.\end{aligned}\]
بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

\(A=-3+\sqrt{5}\). (چرا؟)

\((-3)^{-4}\) مثبت است. (چرا؟)

\((-4)^{-3}\) منفی است. (چرا؟)

\(-3^{-4}\) منفی است. (چرا؟)

\(4^{-3}\) مثبت است. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

\[R=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{4+5}=\sqrt{9}=3.\]
نسبت کمان حاصل از گستردهٔ روی مخروط به کل دایرهٔ آن برابر است با:
\[x=\frac{2}{3}.\] پس مساحت رویهٔ مخروط برابر است با:
\[\pi\times9\times\frac{2}{3}=6\pi.\] در نتیجه، مساحت قاعدهٔ مخروط برابر است با:
\[\pi(2)^2=4\pi.\] بنابراین، مساحت کل مخروط برابر است با:
\[6\pi+4\pi=10\pi.\]

معادلهٔ اول جواب ندارد؛ زیرا:

$\bullet$ اگر هر دو عدد طبیعی $a$ و $b$ بزرگتر یا مساوی \(3\) باشند، آنگاه معادلهٔ اول جواب ندارد. (چرا؟)

$\bullet$ اگر یکی از مقادیر $a$ یا $b$ برابر \(2\) باشد، آنگاه معادلهٔ اول جواب طبیعی ندارد. (چرا؟)

$\bullet$ اگر یکی از مقادیر $a$ یا $b$ برابر \(1\) باشد، آنگاه معادلهٔ اول جواب طبیعی ندارد. (چرا؟)

در معادلهٔ دوم باتوجه‌به روش کسر مصری و تمرین ۱۳ صفحهٔ ۱۴ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم، داریم:
\[\frac{41}{42}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}\]

بنابراین گزینهٔ ۲ درست است.

گزینهٔ ۳ صحیح است.
\[\begin{aligned}&\sqrt{a^2(a^2-b^2)+b^2(b^2-a^2)}\\&=\sqrt{(b^2-a^2)(-a^2+b^2)}\\&=\sqrt{(b^2-a^2)(b^2-a^2)}\\&=\sqrt{(b^2-a^2)^2}\\&=|b^2-a^2|.\end{aligned}\]
چون$b< a<0$ پس $b^2> a^2>0$ و در نتیجه $b^2-a^2> 0$ و \[\begin{aligned}&|b^2-a^2|=b^2-a^2.\end{aligned}\]