آزمون ریاضی شبیه‌ساز تیزهوشان و نمونه دولتی، تعیین مرکز، و جانمایی نهم به دهم

تعداد اعداد دورقمی که رقم \(6\) را ندارند، برابر است با: \[8\times9=72.\]
اعداد دورقمی مربع کامل که رقم \(6\) را ندارند، عبارتند از: \[25,49,81.\]
پس احتمال خواسته شده برابر است با: \[\frac{3}{72}=\frac{1}{24}.\] بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

این مسئله را می‌توان با استفاده از تقارن موجود در شکل به‌سادگی (ولی بدون استدلال دقیق هندسی) حل کرد.
اما راه‌حلی که در زیر نوشته‌ایم، از نظر استدلالی، تقریباً کامل است. 

راهنمای حل

می‌خواهیم شعاع دایرهٔ بزرگ یا طول پاره‌خط سبزِ شکل زیر را به‌دست آوریم.

برای پیدا کردن طول پاره‌خط سبز، فقط به سه‌ دایره‌ نیاز داریم. (سه دایرهٔ پرُرنگِ شکل زیر)

مرکز‌های این سه دایره و محل برخورد آنها را به‌صورت زیر نام‌گذاری می‌کنیم.

در ادامهٔ راه‌حل، نیاز است که درستی جملهٔ زیر را پذیرفته باشیم.

«اگر دو دایره با یکدیگر مماس باشند و مرکز این دو دایره را با یک پاره‌خط به‌هم وصل کنیم، نقطهٔ تماس دو دایره،‌ روی پاره‌خط رسم شده قرار دارد.»

چرا جملهٔ بالا درست است؟

بنابه فرض مسئله، شعاع دایره‌های کوچک برابر \(1\) است. پس مثلث $ABC$ یک مثلث متساوی‌الاضلاع با طول ضلع \(2\) است و $AE$ میانهٔ این مثلث است. از طرفی، می‌دانیم در مثلث متساوی‌الاضلاع، میانه و ارتفاع رسم شده از یک رأس برهم منطبق‌اند(؟). پس شعاع دایرهٔ بزرگ برابر $\sqrt{3}$ است. (چرا؟)

بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

دقت کنید که لاک‌پشت در هر گوشهٔ چندضلعی، به‌اندازهٔ زاویهٔ خارجی آن رأس می‌چرخد.

از طرفی، می‌دانیم مجموع زاویه‌های خارجی هر چندضلعی محدب برابر \(360\) درجه است. (چرا؟)

چون \(x^2+y^2=-2xy\)، پس \(x=-y\).
چرا؟

حال، از \(x^2+y^2=-2xy\) و \(x=-y\)، نتیجه می‌شود:
\[\frac{x^2+y^2}{3x^2+y^2}=\frac{1}{2}.\quad (y\ne0)\]
چگونه؟

\(X-A=X-B\). (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

در بین اعدادِ
\[0.\overline{1}, 0.\overline{2}, 0.\overline{3}, \dots , 0.\overline{1396}\]اعداد برابر را پیدا می‌کنیم:
\[\begin{aligned}&0.\overline{1}=0.\overline{11}=0.\overline{111}=0.\overline{1111}\\&0.\overline{2}=0.\overline{22}=0.\overline{222}\\&0.\overline{3}=0.\overline{33}=0.\overline{333}\\&0.\overline{4}=0.\overline{44}=0.\overline{444}\\&0.\overline{5}=0.\overline{55}=0.\overline{555}\\&0.\overline{6}=0.\overline{66}=0.\overline{666}\\&0.\overline{7}=0.\overline{77}=0.\overline{777}\\&0.\overline{8}=0.\overline{88}=0.\overline{888}\\&0.\overline{9}=0.\overline{99}=0.\overline{999}\\&0.\overline{10}=0.\overline{1010}\\&0.\overline{12}=0.\overline{1212}\\&0.\overline{13}=0.\overline{1313}\\\end{aligned}\]
در نتیجه، تعداد اعضای این مجموعه برابر است با:
\[1396-22=1374.\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

\(\bullet\) یک زیرمجموعهٔ \(3\) عضوی از \(A\) می‌توان نوشت که شامل اعضای \(1\)، \(2\)، و \(3\) باشد: \(\{1,2,3\}\).
\(\bullet\) \(15\) زیرمجموعهٔ \(4\) عضوی از \(A\) می‌توان نوشت که شامل اعضای \(1\)، \(2\)، و \(3\) باشد. (چرا؟)

پس پاسخ مسئله برابر است با:\[1+15+105=121.\] بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

با توجه به تمرین ۹ صفحهٔ ۱۰۹ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم، اگر \(a\) و \(b\) را محورهای مختصات در نظر بگیریم، آن‌وقت همهٔ نقطه‌های روی پاره‌خط‌های صورتی شکل زیر می‌توانند نشان‌دهندهٔ \((a,b)\) باشند. پس گزینهٔ ۴ درست است.

برای مثال، چند جفت عدد که می‌توان به‌جای \(a\) و \(b\) قرار داد، به‌صورت زیر هستند.
\[\begin{aligned}a=\sqrt{3},\;&b=\sqrt{5}\\a=0,\;&b=\sqrt{3}+\sqrt{5}\\a=0,\;&b=-\sqrt{3}-\sqrt{5}\\a=1,\;&b=\sqrt{3}+\sqrt{5}-1\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}&\sqrt{x^2}+\sqrt{(x+1)^2}-2\sqrt{3}\\&=\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}+\sqrt{(\sqrt{3}-1+1)^2}-2\sqrt{3}\\&=\sqrt{3}-1+\sqrt{\sqrt{3}^2}-2\sqrt{3}\\&=\sqrt{3}-1+\sqrt{3}-2\sqrt{3}\\&=-1.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

\(0.25=2^{-2}\) (چرا؟)

گزینهٔ ۳ صحیح است.
در بقیهٔ گزینه‌ها طول و عرض نقطه‌های داده شده عضو مجموعه اعداد گویا یا مجموعه اعداد گنگ هستند که نمی‌توانیم آن‌ها را در صفحه مختصات نمایش دهیم.

\[R=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{4+5}=\sqrt{9}=3.\]
نسبت کمان حاصل از گستردهٔ روی مخروط به کل دایرهٔ آن برابر است با:
\[x=\frac{2}{3}.\] پس مساحت رویهٔ مخروط برابر است با:
\[\pi\times9\times\frac{2}{3}=6\pi.\] در نتیجه، مساحت قاعدهٔ مخروط برابر است با:
\[\pi(2)^2=4\pi.\] بنابراین، مساحت کل مخروط برابر است با:
\[6\pi+4\pi=10\pi.\]

اگر مربع عددی \((x^2)\) به آن \((x)\) اضافه شود، حاصل \(57\) خواهد بود. یعنی: \[\begin{aligned}&x^2+x=57\\&\Rightarrow x(x+1)=57.\end{aligned}\]
واضح است که \(x\) هیچ‌کدام از اعداد داده شده نیست:
\[\begin{aligned}&x=57:\;x(x+1)=57(58)\ne57\\&x=42:\;x(x+1)=42(43)\ne57\\&x=-8:\;x(x+1)=-8(-7)\ne57\\&x=8:\;x(x+1)=8(9)\ne57\\&x=-87:\;x(x+1)=-87(-86)\ne57.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

\[\begin{aligned}&bc-ab+b^2-ac\\&=b^2-ab+bc-ac\\&=b(b-a)+c(b-a)\\&=(b-a)(b+c).\end{aligned}\]
گزینهٔ ۱ صحیح است.
از رابطهٔ $a-b=7$ نتیجه می‌گیریم $b-a=-7$ و
\[\begin{aligned}&(b-a)+(c+a)\\&=-7+(-2)\\b+c&=-9.\end{aligned}\]
پس عبارت داده شده برابر است با
\[\begin{aligned}&bc-ab+b^2-ac\\&=(b-a)(b+c)\\&=(-7)\times (-9)\\&=63.\end{aligned}\]