آزمون ریاضی شبیه‌ساز تیزهوشان و نمونه دولتی، تعیین مرکز، و جانمایی نهم به دهم

تعداد اعداد دورقمی که رقم \(6\) را ندارند، برابر است با: \[8\times9=72.\]
اعداد دورقمی مربع کامل که رقم \(6\) را ندارند، عبارتند از: \[25,49,81.\]
پس احتمال خواسته شده برابر است با: \[\frac{3}{72}=\frac{1}{24}.\] بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

اگر زاویه‌ها را به‌صورت زیر نشان دهیم، آنگاه باید مقدار $x+y+z+a+b+c$ را بیابیم.

در چهارضلعی سایه‌خوردهٔ زیر، بنابه قضیهٔ دندان کوسه و قضیهٔ زاویه‌های متقابل به‌رأس، اندازهٔ زاویه‌های آبی‌رنگ برابر است با \(a+b+c\).

چون مجموع زاویه‌های چهارضلعی سایه‌خوردهٔ زیر، برابر \(360\) درجه است، پس:\[a+b+c+y+x+z=360^\circ.\]

بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

مسئلهٔ مشابه

مجموع زاویه‌های مشخص شده در شکل زیر چند درجه است؟

۱) \(180\) درجه
۲) \(270\) درجه
۳) \(360\) درجه
۴) نمی‌توان دقیقاً تعیین کرد.

پاسخ تشریحی

هریک از زاویه‌های هشت‌ضلعی منتظم برابر \(135\) درجه، و هر یک از زاویه‌های پنج‌ضلعی منتظم برابر \(108\) درجه است. (چرا؟)

همچنین، در شکل بالا داریم: \[B\widehat{A}C=135^\circ-90^\circ=45^\circ.\]
پس:
\[\beta+\gamma=135^\circ.\quad(2)\]

\[\begin{aligned}&\Big((A-B)\cup(B-C)\Big)-(A\cup C)\\&=\Big(\big(\{1,2\}-\{2,3,4\}\big)\cup\big(\{2,3,4\}-\{4,5\}\big)\Big)-\big(\{1,2\}\cup\{4,5\}\big)\\&=\Big(\{1\}\cup\{2,3\}\Big)-\{1,2,4,5\}\\&=\{1,2,3\}-\{1,2,4,5\}\\&=\{3\}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

\(1.2\overline{3}=\dfrac{37}{30}\). (چرا؟)

پاسخ تشریحی

می‌دانیم \(a-b\) یک عدد صحیح و \(a+b\) عددی گویا و غیرصحیح است. از طرفی، واضح است که مجموع یک عدد صحیح و یک عدد گویای غیرصحیح، یک عدد گویای غیر صحیح است. پس:
\[(a-b)+(a+b)=2a\] یک عدد گویای غیرصحیح است. در نتیجه:
\[a\in(\mathbb{Q}-\mathbb{Z}).\] بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.
حال، باید نشان دهیم که گزینه‌های دیگر نادرست هستند تا مطمئن شویم که این سؤال درست است.
\(\bullet\) در راه‌حل بالا، نشان دادیم که \(2a\) یک عدد گویای غیرصحیح است. پس، گزینهٔ ۱ نادرست است.
\(\bullet\) اگر گزینهٔ ۲ درست باشد، آنگاه از \((a-b)\in\mathbb{Z}\) نتیجه می‌شود که \(a\) نیز یک عدد صحیح است. پس \(a+b\) نیز عددی صحیح می‌شود که با فرض مسئله در تناقض است. پس گزینهٔ ۲ نادرست است.
\(\bullet\) اگر گزینهٔ ۴ درست باشد، آنگاه \(a+b=0\) که این با فرض \((a+b)\in (\mathbb{Q}-\mathbb{Z})\) در تناقض است. پس گزینهٔ‌ ۴ نیز نادرست است.

با توجه به تمرین ۹ صفحهٔ ۱۰۹ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم، اگر \(a\) و \(b\) را محورهای مختصات در نظر بگیریم، آن‌وقت همهٔ نقطه‌های روی پاره‌خط‌های صورتی شکل زیر می‌توانند نشان‌دهندهٔ \((a,b)\) باشند. پس گزینهٔ ۴ درست است.

برای مثال، چند جفت عدد که می‌توان به‌جای \(a\) و \(b\) قرار داد، به‌صورت زیر هستند.
\[\begin{aligned}a=\sqrt{3},\;&b=\sqrt{5}\\a=0,\;&b=\sqrt{3}+\sqrt{5}\\a=0,\;&b=-\sqrt{3}-\sqrt{5}\\a=1,\;&b=\sqrt{3}+\sqrt{5}-1\end{aligned}\]

ابتدا \(B\) و \(C\) را نیز به‌صورت نماد علمی می‌نویسیم:
\[\begin{aligned}B&=0.9\times10^{-9}=9\times10^{-10}\\C&=0.8\times10^5=8\times10^4.\end{aligned}\]
حال، به‌سادگی می‌توان چهار عدد داده شده را مقایسه کرد.
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

شکل حاصل از دوران، یک مخروط با شعاع قاعدهٔ $2$ و ارتفاع $4$ است. پس حجم حاصل از دوران مثلث $ABC$ حول خط $x=3$، برابر است با:
\[\begin{aligned}&\frac{1}{3}\pi\times2^2\times4\\[7pt]&=\frac{1}{3}\pi\times4\times4\\[7pt]&=\frac{16}{3}\pi.\end{aligned}\]

طول ضلع مربع وسط را \(a\)، و طول و عرض چهار مستطیل گوشهٔ شکل را به‌ترتیب \(2x\) و \(x\) در نظر می‌گیریم.

با توجه به شکل بالا، داریم:
\[\begin{aligned}&2x+a+2x=20\\&\Rightarrow4x=20-a.\quad(1)\end{aligned}\]
همچنین:
\[\begin{aligned}&x+a+x=14\\&\Rightarrow2x=14-a\\&\Rightarrow4x=28-2a.\quad(2)\end{aligned}\]
از رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) نتیجه می‌شود:
\[\begin{aligned}&20-a=28-2a\\&\Rightarrow2a-a=28-20\\&\Rightarrow a=8.\end{aligned}\]
پس مساحت مربع وسط برابر است با:
\[8\times8=64.\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

\[\begin{aligned}&bc-ab+b^2-ac\\&=b^2-ab+bc-ac\\&=b(b-a)+c(b-a)\\&=(b-a)(b+c).\end{aligned}\]
گزینهٔ ۱ صحیح است.
از رابطهٔ $a-b=7$ نتیجه می‌گیریم $b-a=-7$ و
\[\begin{aligned}&(b-a)+(c+a)\\&=-7+(-2)\\b+c&=-9.\end{aligned}\]
پس عبارت داده شده برابر است با
\[\begin{aligned}&bc-ab+b^2-ac\\&=(b-a)(b+c)\\&=(-7)\times (-9)\\&=63.\end{aligned}\]