آزمون ریاضی شبیه‌ساز تیزهوشان و نمونه دولتی، تعیین مرکز، و جانمایی نهم به دهم

\(B\widehat{M}S=59^\circ\). (چرا؟)

\(C\widehat{N}S=59^\circ\). (چرا؟)

بنابه فرض مسئله، \(\widehat{C}=\widehat{S}\). برای سادگی قرار می‌دهیم:
\[\widehat{C}=\widehat{S}=x.\]
چون مجموع زاویه‌های داخلی هر پنج‌ضلعی برابر \(540\) درجه است. پس \(\alpha=62^\circ\). (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

پرسش. آیا چهارضلعی \(AMSN\) لوزی است؟ چرا؟

مجموع زاویه‌های داخلی هر $n$ضلعی محدب برابر است با:
\[(n-2)\times 180^\circ.\]
(چرا؟)

در نتیجه، مجموع زاویه‌های خارجی هر $n$ضلعی محدب برابر $360$ درجه است. (چرا؟)

در نتیجه، یک $n$ ضلعی محدب حداکثر سه زاویهٔ تند دارد. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

مسئلهٔ مشابه

یک چندضلعی محدب، حداقل چند زاویهٔ تند دارد؟

\(X-A=X-B\). (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

گزینهٔ ۲ نادرست است. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

\(\bullet\) یک زیرمجموعهٔ \(3\) عضوی از \(A\) می‌توان نوشت که شامل اعضای \(1\)، \(2\)، و \(3\) باشد: \(\{1,2,3\}\).
\(\bullet\) \(15\) زیرمجموعهٔ \(4\) عضوی از \(A\) می‌توان نوشت که شامل اعضای \(1\)، \(2\)، و \(3\) باشد. (چرا؟)

پس پاسخ مسئله برابر است با:\[1+15+105=121.\] بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

\[\begin{aligned}&\big||x|-\sqrt{3}\big|=\sqrt{2}\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&|x|-\sqrt{3}=\sqrt{2}\\&|x|-\sqrt{3}=-\sqrt{2}\end{aligned}\right.\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&|x|=\sqrt{2}+\sqrt{3}\\&|x|=-\sqrt{2}+\sqrt{3}.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
پس:
\[\begin{aligned}&|x|=\sqrt{2}+\sqrt{3}\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&x=\sqrt{2}+\sqrt{3}\\&x=-\big(\sqrt{2}+\sqrt{3}\big)=-\sqrt{2}-\sqrt{3}\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
و
\[\begin{aligned}&|x|=-\sqrt{2}+\sqrt{3}\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&x=-\sqrt{2}+\sqrt{3}\\&x=-\big(-\sqrt{2}+\sqrt{3}\big)=\sqrt{2}-\sqrt{3}.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

اگر \(x\) منفی باشد، آن‌وقت:
\(\bullet\) \(\sqrt[3]{x}\) منفی است؛ زیرا ریشهٔ سوم هر عدد منفی، عددی منفی است.
\(\bullet\) \(-x^{-1}\) مثبت است؛ زیرا: \[-x^{-1}=-\,\frac{1}{\underbrace{x}_{<0}}>0.\]
\(\bullet\) \(-x^2\) منفی است؛ زیرا: \[-\,\underbrace{x^2}_{>0}<0.\] \(\bullet\) \(\frac{x}{|x|}\) منفی است؛ زیرا:\[\frac{\overbrace{x}^{<0}}{\underbrace{|x|}_{>0}}<0.\] بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

\(A=5^{51}\). (چرا؟)

\(B<0\). (چرا؟)

\(C=8068\). (چرا؟)

شکل حاصل از دوران، یک مخروط با شعاع قاعدهٔ $2$ و ارتفاع $4$ است. پس حجم حاصل از دوران مثلث $ABC$ حول خط $x=3$، برابر است با:
\[\begin{aligned}&\frac{1}{3}\pi\times2^2\times4\\[7pt]&=\frac{1}{3}\pi\times4\times4\\[7pt]&=\frac{16}{3}\pi.\end{aligned}\]

معادلهٔ اول جواب ندارد؛ زیرا:

$\bullet$ اگر هر دو عدد طبیعی $a$ و $b$ بزرگتر یا مساوی \(3\) باشند، آنگاه معادلهٔ اول جواب ندارد. (چرا؟)

$\bullet$ اگر یکی از مقادیر $a$ یا $b$ برابر \(2\) باشد، آنگاه معادلهٔ اول جواب طبیعی ندارد. (چرا؟)

$\bullet$ اگر یکی از مقادیر $a$ یا $b$ برابر \(1\) باشد، آنگاه معادلهٔ اول جواب طبیعی ندارد. (چرا؟)

در معادلهٔ دوم باتوجه‌به روش کسر مصری و تمرین ۱۳ صفحهٔ ۱۴ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم، داریم:
\[\frac{41}{42}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}\]

بنابراین گزینهٔ ۲ درست است.

گزینهٔ ۳ صحیح است.
\[\begin{aligned}&\sqrt{a^2(a^2-b^2)+b^2(b^2-a^2)}\\&=\sqrt{(b^2-a^2)(-a^2+b^2)}\\&=\sqrt{(b^2-a^2)(b^2-a^2)}\\&=\sqrt{(b^2-a^2)^2}\\&=|b^2-a^2|.\end{aligned}\]
چون$b< a<0$ پس $b^2> a^2>0$ و در نتیجه $b^2-a^2> 0$ و \[\begin{aligned}&|b^2-a^2|=b^2-a^2.\end{aligned}\]