آزمون ریاضی شبیه‌ساز تیزهوشان و نمونه دولتی، تعیین مرکز، و جانمایی نهم به دهم

در مجموع \(6\) مسابقه انجام می‌‌شود. (چرا؟)

پس مجموع امتیازات هر \(4\) تیم، می‌تواند هریک از اعداد \(12\)، \(13\)، \(14\)، \(15\)، \(16\)، \(17\)، یا \(18\) باشد.
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

پرسش. اگر \(n\) تیم داشته باشیم و هریک از آنها با \(n-1\) تیم دیگر مسابقه دهد، در مجموع چند مسابقه انجام می‌شود؟
(تمرین ۲ صفحهٔ صفحهٔ ۲۰ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم، و تمرین ۱۱ صفحهٔ ۱۶ کتاب ریاضیات تکمیلی هفتم را ببینید.)

فرض کنید در ذوزنقهٔ \(ABCD\) داشته باشیم \(BC=CD=DA=1\) و \(AB=2\).

در این‌صورت \(B\widehat{C}D=120^\circ\).

چرا؟

بنابراین، در مثلث \(BCD\) بنابه قضیهٔ مثلث متساوی الساقین و قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث، داریم:
\[\begin{aligned}&C\widehat{D}B+D\widehat{B}C+B\widehat{C}D=180^\circ\\&\Rightarrow 2C\widehat{D}B+120^\circ=180^\circ\\&\Rightarrow2C\widehat{D}B=60^\circ\\&\Rightarrow C\widehat{D}B=30^\circ.\end{aligned}\]

به طریقی مشابه، می‌توان ثابت کرد که \(D\widehat{C}A=30^\circ\). حال، اگر محل برخورد دو قطر ذوزنقه \(ABCD\) را \(O\) بنامیم، از قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث (در مثلث \(CDO\)) داریم:
\[\begin{aligned}&C\widehat{D}O+D\widehat{O}C+O\widehat{C}D=180^\circ\\&\Rightarrow30^\circ+D\widehat{O}C+30^\circ=180^\circ\\&\Rightarrow60^\circ+D\widehat{O}C=180^\circ\\&\Rightarrow D\widehat{O}C=120^\circ.\end{aligned}\]

بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

\(\bullet\) هر دو مربع متشابه هستند. زیرا، زاویه‌های آنها برابر است و ضلع‌ها به یک نسبت بزرگ یا کوچک می‌شوند.
\(\bullet\) هر دو لوزی متشابه نیستند. برای مثال، یک لوزی که هر چهار زاویه‌ٔ آن قائمه است با لوزی دیگری که دو زاویهٔ \(30\) درجه و دو زاویهٔ \(60\) درجه دارد، متشابه نیستند.
\(\bullet\) هر دو مستطیل متشابه نیستند. برای مثال، یک مستطیل با طول و عرض \(2\) و \(1\)، با مستطیل دیگری با طول و عرض \(3\) و \(1\) متشابه نیست.
\(\bullet\) هر دو متوازی‌الاضلاع متشابه نیستند. به‌عنوان مثال نقض، می‌توان مثالی را که برای لوزی‌ها (یا مثالی را که برای مستطیل‌ها) نوشته شد، در نظر گرفت.

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

واضح است که در گزینه‌های ۱، ۲، و ۳، قسمت خاکستری برابر \((C\cap B)-A\) هست.
در گزینهٔ ۴، \(C\cap B\) رنگ نشده است.

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

می‌دانیم قطر مکعبی به یال \(x\) برابر با \(\sqrt{3}x\) است. (چرا؟)

می‌دانیم یک مجموعهٔ \(n\)عضوی، \(2^n\)تا زیرمجموعه دارد. (چرا؟)

همهٔ زیرمجموعه‌هایی را که مجموع بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین عضو برابر \(27\) است، به‌صورت زیر حالت‌بندی می‌کنیم.

حالت اول. کوچک‌ترین عضو \(13\) و بزرگ‌ترین عضو \(14\) باشد. واضح است که در این حالت فقط \(1\) زیرمجموعه وجود دارد: \(\{13,14\}\).

حالت دوم. کوچک‌ترین عضو \(12\) و بزرگ‌ترین عضو \(15\) باشد. در این حالت \(4\) زیرمجموعه وجود دارد. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

$0.\overline{1}=\frac{1}{9}$. (چرا؟)

بنابراین:
\[\begin{aligned}0.\overline{1}\div0.11111&=\frac{1}{9}\div\frac{11111}{100000}\\[6pt]&=\frac{1}{9}\times\frac{100000}{11111}\\[6pt]&=\frac{100000}{99999}\\[6pt]&=\frac{99999+1}{99999}\\[6pt]&=\frac{99999}{99999}+\frac{1}{99999}\\[6pt]&=1+0.\overline{00001}\\&=1.\overline{00001}.\end{aligned}\]
در نتیجه، گزینهٔ ۴ درست است.

\(A=-3+\sqrt{5}\). (چرا؟)

اگر $a^b$ را به‌صورت $a^\wedge b$ نشان دهیم، این مسئله راحت‌تر حل می‌شود.
\[\begin{aligned}&((2^\wedge3)^\wedge4)^\wedge5=\Big(\big(2^3\big)^4\Big)^5=2^{3\times4\times5}\\&(2^\wedge(3^\wedge4))^\wedge5=\Big(2^{\big(3^4\big)}\Big)^5=2^{{3^4}\times5}\\&2^\wedge(3^\wedge(4^\wedge5))=2^{\bigg(3^{(4^5)}\bigg)}=2^{3^{4^5}}\\&2^\wedge((3^\wedge4)^\wedge5)=2^{\bigg(\big(3^4\big)^5\bigg)}=2^{3^{20}}\\&(2^\wedge3)^\wedge(4^\wedge5)=\big(2^3\big)^{\big(4^5\big)}=2^{3\times4^5}\end{aligned}\]

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

مسئله‌های مشابه

تمرین ۹ صفحهٔ ۱۱۱ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم

تمرین ۱۰ صفحهٔ ۱۱۱ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم

تمرین ۱۱ صفحهٔ ۱۱۱ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم

فرض کنیم شعاع این کره برابر $r$ باشد. چون حجم و مساحت کره برابر هستند، پس:
\[\begin{aligned}&\frac{4}{3}\pi r^3=4\pi r^2\\&\Rightarrow \frac{1}{3}r=1\\&\Rightarrow r=3.\end{aligned}\]

فرض کنید پس از \(n\) سال، سن پدر با مجموع سن فرزندانش، برابر شود. یعنی:
\[\begin{aligned}&45+n=(4+n)+(12+n)+(15+n)\\&\Rightarrow45+n=31+3n\\&\Rightarrow45-31=3n-n\\&\Rightarrow14=2n\\&\Rightarrow7=n.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

گزینهٔ ۴ درست است. (چرا؟)