آزمون ریاضی شبیه‌ساز تیزهوشان و نمونه دولتی، تعیین مرکز، و جانمایی نهم به دهم

تعداد کل حالت‌های ممکن در پرتاب این دو تاس برابر است با:\[4\times6=24.\]
تعداد حالت‌هایی که حداقل یکی از تاس‌ها عدد اول بیاید \(18\)تا است. (چرا؟)

هریک از زاویه‌های داخلی پنج‌ضلعی منتظم و شش‌ضلعی منتظم به‌ترتیب برابر \(108^\circ\) و \(120^\circ\) است. (چرا؟)

در شکل زیر، دو قطر \(PQ\) و \(MN\) را امتداد داده‌ایم تا یکدیگر را در نقطهٔ \(A\) قطع کنند. باید زاویهٔ \(NAP\) را محاسبه کنیم؛ برای این کار، اندازهٔ زاویه‌های مثلث \(ANP\) را به‌دست می‌آوریم.

اندازهٔ زاویهٔ \(APN\) برابر \(108\) درجه است. (چرا؟)

پس، بنابه قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث، داریم:
\[\begin{aligned}&A\widehat{P}N+P\widehat{N}A+N\widehat{A}P=180^\circ\\&\Rightarrow108^\circ+60^\circ+N\widehat{P}A=180^\circ\\&\Rightarrow N\widehat{P}A=180^\circ-168^\circ\\&\Rightarrow N\widehat{P}A=12^\circ.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

کافی است در هر مورد بررسی کنیم که \(-3\) (ریشهٔ \(x+3\))، ریشهٔ چندجمله‌ای داده شده هست یا نه. (تمرین ۱۳ صفحهٔ ۱۲۴ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم را ببینید.)

باقی‌ماندهٔ تقسیم \(x^3+2x^2-3x\) بر \(x+3\) برابر \(0\) است. (چرا؟)

واضح است که در گزینه‌های ۱، ۲، و ۳، قسمت خاکستری برابر \((C\cap B)-A\) هست.
در گزینهٔ ۴، \(C\cap B\) رنگ نشده است.

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

\(A=\{5,8,11,14,\dots,302\}\). (چرا؟)

بنابراین گزینهٔ ۲ درست است.

$0.\overline{1}=\frac{1}{9}$. (چرا؟)

بنابراین:
\[\begin{aligned}0.\overline{1}\div0.11111&=\frac{1}{9}\div\frac{11111}{100000}\\[6pt]&=\frac{1}{9}\times\frac{100000}{11111}\\[6pt]&=\frac{100000}{99999}\\[6pt]&=\frac{99999+1}{99999}\\[6pt]&=\frac{99999}{99999}+\frac{1}{99999}\\[6pt]&=1+0.\overline{00001}\\&=1.\overline{00001}.\end{aligned}\]
در نتیجه، گزینهٔ ۴ درست است.

\[R=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{4+5}=\sqrt{9}=3.\]
نسبت کمان حاصل از گستردهٔ روی مخروط به کل دایرهٔ آن برابر است با:
\[x=\frac{2}{3}.\] پس مساحت رویهٔ مخروط برابر است با:
\[\pi\times9\times\frac{2}{3}=6\pi.\] در نتیجه، مساحت قاعدهٔ مخروط برابر است با:
\[\pi(2)^2=4\pi.\] بنابراین، مساحت کل مخروط برابر است با:
\[6\pi+4\pi=10\pi.\]

فرض کنید پس از \(n\) سال، سن پدر با مجموع سن فرزندانش، برابر شود. یعنی:
\[\begin{aligned}&45+n=(4+n)+(12+n)+(15+n)\\&\Rightarrow45+n=31+3n\\&\Rightarrow45-31=3n-n\\&\Rightarrow14=2n\\&\Rightarrow7=n.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

گزینهٔ ۲ صحیح است.
\[\begin{aligned}&\sqrt{8-\sqrt{60}}+\sqrt{10+2\sqrt{21}}\\&=\sqrt{8-\sqrt{4\times15}}+\sqrt{10+2\sqrt{21}}\\&=\sqrt{8-2\sqrt{15}}+\sqrt{10+2\sqrt{21}}\\&=\sqrt{5+3-2\sqrt{5\times 3}}+\sqrt{7+3+2\sqrt{7\times 3}}\\&=\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}+\sqrt{(\sqrt{7}+\sqrt{3})^2}\\&=|\sqrt{5}-\sqrt{3}|+|\sqrt{7}+\sqrt{3}|\\&=\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{7}+\sqrt{3}\\&=\sqrt{5}+\sqrt{7}.\end{aligned}\]