آزمون ریاضی شبیه‌ساز تیزهوشان و نمونه دولتی، تعیین مرکز، و جانمایی نهم به دهم

تعداد کل حالت‌های ممکن در پرتاب این دو تاس برابر است با:\[4\times6=24.\]
تعداد حالت‌هایی که حداقل یکی از تاس‌ها عدد اول بیاید \(18\)تا است. (چرا؟)

چون $AC$ و $AD$ قطر هستند، پس بنابه قضیهٔ زاویهٔ محاطی زاویه‌های $ABC$ و $ABD$ قائمه‌اند. بنابراین نقطه‌های $B$، $C$ و $D$ روی یک خط راست قرار دارند.
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

مسئلهٔ‌ مشابه

تمرین ۱۴ صفحهٔ ۵۹ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم

مطابق شکل زیر، ضلع زاویهٔ \(130\) درجه را امتداد می‌دهیم تا خط بالایی را قطع کند.

بنابه قضیهٔ خطوط موازی و مورب، زاویه‌های آبی‌رنگ شکل بالا برابرند. در نتیجه، \(x=80^\circ\). (چرا؟)

از \(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{6}\) می‌توان نتیجه گرفت که \((y+6)(x-6)=-36\).
چگونه؟

می‌دانیم که \(x\) و \(y\) اعدادی طبیعی هستند. پس \(y+6>6\) و \(x-6\) عددی صحیح است. در نتیجه:
\[\begin{aligned}&(y+6)(x-6)=-36\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&y+6=9,\;x-6=-4\\&y+6=12,\;x-6=-3\\&y+6=18,\;x-6=-2\\&y+6=36,\;x-6=-1\end{aligned}\right.\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&y=3,\;x=2\\&y=6,\;x=3\\&y=12,\;x=4\\&y=30,\;x=5.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
بنابراین، معادلهٔ \(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{6}\)، چهار جواب طبیعی دارد.

\(X-A=X-B\). (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

گزارهٔ اول درست است. (چرا؟)

پاسخ تشریحی

اعضای مجموعهٔ \(A\) عبارتند از:
\[{\color{blue}\varnothing}, {\color{red}\{\varnothing\}}, {\color{green}\big\{\varnothing,\{\varnothing\}\big\}}.\]بنابراین:

\(\bullet\) گزینهٔ ۱ نادرست است.
چرا؟

\(\bullet\) گزینهٔ ۲ درست است.
چرا؟

\(\bullet\) گزینهٔ ۳ درست است.
چرا؟

\(\bullet\) گزینهٔ ۴ درست است.
چرا؟

مسئلهٔ مشابه

تمرین ۱ صفحهٔ ۵ کتاب ریاضی تکمیلی نهم

اگر با چنین مسائلی مشکل دارید، حتماً درسنامهٔ مجموعه‌ها را بخوانید:

برای دو عدد $a$ و $b$، $|a-b|$ یعنی فاصلهٔ این دو عدد روی محور اعداد. فاصلهٔ این دو عدد را با یک پاره‌خط صورتی نشان می‌دهیم.

در شکل بالا فرض کرده‌ایم $b>a$.
بنابه فرض مسئله،
\[\begin{aligned}&6|a-b|=6|b-c|\\&\Rightarrow |a-b|=|b-c|\end{aligned}\]
یعنی فاصلهٔ دو عدد $b$ و $c$ با فاصلهٔ دو عدد $a$ و $b$ برابر است. بنابراین $c>b$. (چرا؟)

پرسش. چرا در حالت $b < a$ نیز همین نتایج به‌دست می‌آید؟

در همهٔ عبارت‌های بالا حاصل‌جمع مقدارهای زیر رادیکال، برابر \(41\) است:
\[\begin{aligned}24+17&=41\\18+23&=41\\19+22&=41\\20+21&=41.\end{aligned}\]
گزاره. فرض کنید \(a\)، \(b\)، \(c\)، و \(d\) چهار عدد طبیعی باشند و \(a+b=c+d\). اگر \(ab>cd\)، آن‌وقت \(\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{c}+\sqrt{d}\). (چرا؟)

پرسش. عدد طبیعی \(n\) را در نظر بگیرید. فرض کنید برای اعداد طبیعی \(a\) و \(b\) داشته باشیم \(a+b=n\). بیشترین مقدار ممکن برای \(ab\) (برحسب \(n\)) چیست؟ چرا؟ (راهنمایی: تمرین ۷ صفحهٔ ۶۱ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم را ببینید.)

مسئلهٔ مشابه

تمرین ۷ صفحهٔ ۱۱۳ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم

\[R=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{4+5}=\sqrt{9}=3.\]
نسبت کمان حاصل از گستردهٔ روی مخروط به کل دایرهٔ آن برابر است با:
\[x=\frac{2}{3}.\] پس مساحت رویهٔ مخروط برابر است با:
\[\pi\times9\times\frac{2}{3}=6\pi.\] در نتیجه، مساحت قاعدهٔ مخروط برابر است با:
\[\pi(2)^2=4\pi.\] بنابراین، مساحت کل مخروط برابر است با:
\[6\pi+4\pi=10\pi.\]

اگر سن بهمن در سال \(94\) را \(x\) در نظر بگیریم، آن‌وقت دو رقم سمت راست سال تولد او نیز برابر \(x\) است. در نتیجه:
\[\begin{aligned}&94-x=x\\&\Rightarrow94=2x\\&\Rightarrow47=x.\end{aligned}\]
یعنی بهمن در سال \(1347\) به‌دنیا آمده است و اکنون \(48\) سال دارد. پس اکنون، مجموع سن بهمن و بهناز برابر است با:
\[\begin{aligned}&48+(48-2)\\&=48+46\\&=94.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

گزینهٔ ۳ صحیح است.
\[\begin{aligned}&\sqrt{a^2(a^2-b^2)+b^2(b^2-a^2)}\\&=\sqrt{(b^2-a^2)(-a^2+b^2)}\\&=\sqrt{(b^2-a^2)(b^2-a^2)}\\&=\sqrt{(b^2-a^2)^2}\\&=|b^2-a^2|.\end{aligned}\]
چون$b< a<0$ پس $b^2> a^2>0$ و در نتیجه $b^2-a^2> 0$ و \[\begin{aligned}&|b^2-a^2|=b^2-a^2.\end{aligned}\]