آزمون ریاضی شبیه‌ساز تیزهوشان و نمونه دولتی، تعیین مرکز، و جانمایی نهم به دهم

پاسخ تشریحی

در پرتاب دوتاس، تعداد همهٔ حالت‌های ممکن که مجموع اعداد رو شده برابر \(7\) باشد، برابر است با \(6\).
چرا؟

و پیشامد اینکه یکی از دو تاس \(3\) آمده باشد، \(2\) عضو دارد.
چرا؟

پس، احتمال خواسته شده برابر است با:
\[\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.\] بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

توجه کنید که در این مسئله، مشخص نیست که قطر \(AC\) چهارضلعی را به دو مثلث همنهشت تقسیم کرده است یا قطر \(BD\).

\(\bullet\) $‌B\widehat{A}D=B\widehat{C}D$ همواره درست نیست. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

قطرهای هر مستطیل آن را به چهار مثلث هم‌مساحت تقسیم می‌کند. (چرا؟)

در نتیجه، مساحت قسمت تیره \(\frac{1}{4}\) مساحت کل است؛ یعنی مساحت قسمت تیره برابر است با:
\[\begin{aligned}&\frac{1}{4}\times16\times5=20.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

پرسش. در مستطیل \(ABCD\) قطرهای \(AC\) و \(BD\) یکدیگر را در نقطهٔ \(O\) قطع کرده‌اند. آیا چهار مثلث \(ABO\)، \(BCO\)، \(CDO\)، و \(ADO\) همنهشت‌اند؟

گزینهٔ ۲ نادرست است. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

\[\Big\{\frac{9}{2},\frac{10}{3},\frac{11}{4},\dots,\frac{1399}{1392}\Big\}\neq \Big\{x\in\mathbb{Q}\mid \frac{1399}{1392}\leq x\leq \frac{9}{2}\Big\}.\]
(چرا؟)

بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

$0.\overline{1}=\frac{1}{9}$. (چرا؟)

بنابراین:
\[\begin{aligned}0.\overline{1}\div0.11111&=\frac{1}{9}\div\frac{11111}{100000}\\[6pt]&=\frac{1}{9}\times\frac{100000}{11111}\\[6pt]&=\frac{100000}{99999}\\[6pt]&=\frac{99999+1}{99999}\\[6pt]&=\frac{99999}{99999}+\frac{1}{99999}\\[6pt]&=1+0.\overline{00001}\\&=1.\overline{00001}.\end{aligned}\]
در نتیجه، گزینهٔ ۴ درست است.

\[\begin{aligned}2a^3 < 0&\Rightarrow a^3 < 0\\&\Rightarrow a < 0\\&\Rightarrow|a|=-a.\quad (*)\end{aligned}\]
بنابه رابطهٔ \((*)\) داریم:
\[\begin{aligned}&\sqrt{a^2}+\sqrt[3]{a^3}+\sqrt[4]{a^4}+\sqrt[5]{a^5}+\dots+\sqrt[98]{a}+\sqrt[99]{a}+\sqrt[100]{a^{100}}\\&=\big(\sqrt{a^2}+\sqrt[3]{a^3}\big)+\big(\sqrt[4]{a^4}+\sqrt[5]{a^5}\big)+\dots+\big(\sqrt[98]{a}+\sqrt[99]{a}\big)+\sqrt[100]{a^{100}}\\&=\big(|a|+a\big)+\big(|a|+a\big)+\dots+\big(|a|+a\big)+|a|\\&=\big((-a)+a\big)+\big((-a)+a\big)+\dots+\big((-a)+a\big)+(-a)\\&=-a.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

ابتدا \(B\) و \(C\) را نیز به‌صورت نماد علمی می‌نویسیم:
\[\begin{aligned}B&=0.9\times10^{-9}=9\times10^{-10}\\C&=0.8\times10^5=8\times10^4.\end{aligned}\]
حال، به‌سادگی می‌توان چهار عدد داده شده را مقایسه کرد.
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

\[\begin{aligned}&\pi(12)^2(25)-\frac{4}{3}\pi(10)^3\\&=\pi(144)(25)-\frac{4}{3}\pi(1000)\\&=3600\pi-\frac{4000}{3}\pi\\&=\frac{6800}{3}\pi.\end{aligned}\]

پاسخ تشریحی

\[\begin{aligned} &\sqrt{x\sqrt[3]{x}}=4\\[5pt] &\Rightarrow\sqrt{x\sqrt[3]{x}}=2^2\\[5pt]&\Rightarrow \left(\sqrt{x\sqrt[3]{x}}\,\right)^2=\left(2^2\right)^2\\[5pt]&\Rightarrow x\sqrt[3]{x}=2^4\\[5pt]&\Rightarrow\left(x\sqrt[3]{x}\,\right)^3=\left(2^4\right)^3\\[5pt]&\Rightarrow x^3\times x=2^{12}\\[5pt]&\Rightarrow x^4=2^{12}\\[5pt]&\Rightarrow\left\{\begin{aligned} &x=2^3=8\\[5pt]&x=-2^3=-8.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

مسئلهٔ مشابه

تمرین ۶ صفحهٔ ۷۱ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم

مقدار \(A\) به‌ازای \(x=-3\) برابر است با:
\[\begin{aligned}A&=x^2-3\\&=(-3)^2-3\\&=9-3\\&=6.\end{aligned}\]
مقدار \(B\) به‌ازای \(x=-3\) برابر است با:
\[\begin{aligned}B&=x^3+2x-7\\&=(-3)^3+2(-3)-7\\&=-27-6-7\\&=-40.\end{aligned}\]
در نتیجه، مقدار \(A^2-Bx\) به‌ازای \(x=-3\) برابر است با:
\[\begin{aligned}A^2-Bx&=6^2-(-40)(-3)\\&=36-120\\&=-84.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینه‌ٔ ۲ درست است.