آزمون ریاضی شبیه‌ساز تیزهوشان و نمونه دولتی، تعیین مرکز، و جانمایی نهم به دهم

اگر زاویه‌ها را به‌صورت زیر نشان دهیم، آنگاه باید مقدار $x+y+z+a+b+c$ را بیابیم.

در چهارضلعی سایه‌خوردهٔ زیر، بنابه قضیهٔ دندان کوسه و قضیهٔ زاویه‌های متقابل به‌رأس، اندازهٔ زاویه‌های آبی‌رنگ برابر است با \(a+b+c\).

چون مجموع زاویه‌های چهارضلعی سایه‌خوردهٔ زیر، برابر \(360\) درجه است، پس:\[a+b+c+y+x+z=360^\circ.\]

بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

مسئلهٔ مشابه

مجموع زاویه‌های مشخص شده در شکل زیر چند درجه است؟

۱) \(180\) درجه
۲) \(270\) درجه
۳) \(360\) درجه
۴) نمی‌توان دقیقاً تعیین کرد.

پاسخ تشریحی

ضلع چهارم چهارضلعی اول را با \(x\) و ضلع چهارم چهارضلعی دوم را با \(y\) نمایش می‌دهیم:
\[\begin{aligned}&{\color{blue}2},{\color{red}3},{\color{green}4},{\color{brown}x}\\&{\color{blue}4},{\color{brown}5},{\color{red}6},{\color{green}y}.\end{aligned}\]
با توجه به اندازهٔ اضلاع این دو چهارضلعی، نسبت تشابه برابر \(2\) است.
چرا؟

بنابراین: \[\frac{y}{4}=2\Rightarrow y=8.\] پس، محیط چهارضلعی بزرگ‌تر برابر است با:\[4+5+6+8=23.\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

کافی است در هر مورد بررسی کنیم که \(-3\) (ریشهٔ \(x+3\))، ریشهٔ چندجمله‌ای داده شده هست یا نه. (تمرین ۱۳ صفحهٔ ۱۲۴ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم را ببینید.)

باقی‌ماندهٔ تقسیم \(x^3+2x^2-3x\) بر \(x+3\) برابر \(0\) است. (چرا؟)

\(X-A=X-B\). (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

در بین اعدادِ
\[0.\overline{1}, 0.\overline{2}, 0.\overline{3}, \dots , 0.\overline{1396}\]اعداد برابر را پیدا می‌کنیم:
\[\begin{aligned}&0.\overline{1}=0.\overline{11}=0.\overline{111}=0.\overline{1111}\\&0.\overline{2}=0.\overline{22}=0.\overline{222}\\&0.\overline{3}=0.\overline{33}=0.\overline{333}\\&0.\overline{4}=0.\overline{44}=0.\overline{444}\\&0.\overline{5}=0.\overline{55}=0.\overline{555}\\&0.\overline{6}=0.\overline{66}=0.\overline{666}\\&0.\overline{7}=0.\overline{77}=0.\overline{777}\\&0.\overline{8}=0.\overline{88}=0.\overline{888}\\&0.\overline{9}=0.\overline{99}=0.\overline{999}\\&0.\overline{10}=0.\overline{1010}\\&0.\overline{12}=0.\overline{1212}\\&0.\overline{13}=0.\overline{1313}\\\end{aligned}\]
در نتیجه، تعداد اعضای این مجموعه برابر است با:
\[1396-22=1374.\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

پاسخ تشریحی

چون \(x+|x|=0\)، پس \(|x|=-x\). در نتیجه:
\[\sqrt[3]{\sqrt{4x^2}\times\left(\frac{x}{4}\right)^{-1}}=-2.\]
چرا؟

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

پاسخ تشریحی

\[\begin{aligned}\big(1-\sqrt{2}\,\big)^{-2}&=\left(\frac{1}{1-\sqrt{2}}\right)^2\\[7pt]&=\left(\frac{1}{1-\sqrt{2}}\times\frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\right)^2\\[7pt]&=\left(\frac{1+\sqrt{2}}{1-2}\right)^2\\&=\left(\frac{1+\sqrt{2}}{-1}\right)^2\\[7pt]&=\frac{\big(1+\sqrt{2}\,\big)^2}{(-1)^2}\\[7pt]&=\frac{1+2\sqrt{2}+2}{1}\\[7pt]&=3+2\sqrt{2}.\end{aligned}\] بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

مسئلهٔ مشابه

تمرین ۱ صفحهٔ ۷۳ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم

\(\dfrac{\big(-\frac{3}{5}\big)^{-2}\times\frac{18}{25}}{(0.1)^3\times\big(-2^{-3}\big)}\in\mathbb{Z}\). (چرا؟)

\(\frac{-4^{-2}\times\frac{7}{3}}{16^{-1}\div\big(\frac{-3}{8}\big)}\in\mathbb{Q}\). (چرا؟)

\(\frac{-\sqrt{4.5}\times\big(\frac{1}{5}\big)^{-2}}{-3^3\times\sqrt{2}}\not\in\mathbb{Q'}\). (چرا؟)

وقتی کره در استوانه محاط باشد، ارتفاع استوانه برابر قطر کره، و شعاع قاعده استوانه برابر شعاع کره است.
پس مساحت استوانه برابر است با:
\[\begin{aligned}2\pi x^2+2\pi x\times(2x)&=2\pi x^2+4\pi x^2\\&=6\pi x^2.\end{aligned}\]
بنابراین، نسبت مساحت استوانه به مساحت کره برابر است با:
\[\frac{6\pi x^2}{4\pi x^2}=\frac{3}{2}.\]
در نتیجه، حجم کره برابر است با:
\[\frac{4}{3}\pi\big(\frac{3}{2}\big)^3=\frac{9}{2}\pi.\]

اگر سه عدد فرد متوالی را با \(x-2\)، \(x\)، و \(x+2\) نمایش دهیم، آن‌وقت:
\[\begin{aligned}&(x-2)+x+(x+2)=69\\&\Rightarrow3x=69\\&\Rightarrow x=23\\&\Rightarrow x^2=529.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

توجه کنید که بنابه گفتهٔ مسئله $a$ و $b$ اعدادی صحیح هستند؛ یعنی فقط $x$ را باید متغیر در نظر گرفت.
\[\begin{aligned}&(x^2+ax+1)(x+b)\\&=x^2(x+b)+ax(x+b)+1(x+b)\\&=x^3+bx^2+ax^2+abx+x+b\\&=x^3+(b+a)x^2+(ab+1)x+b.\end{aligned}\]
پس، اگر به‌جای $a$ و $b$ هر عدد صحیحی قرار دهیم، تعداد جمله‌های حاصل‌ضرب نمی‌تواند بیشتر از چهارتا باشد.

بنابراین، تعداد جمله‌های حاصل‌ضرب نمی‌تواند پنج‌تا باشد.

برای اینکه بدانیم سؤال درست است یا نه، باید نشان دهیم که تعداد جمله‌های حاصل‌ضرب می‌تواند دوتا، سه‌تا یا چهارتا باشد؛ برای اثبات این ادعا کافی است برای هریک از مواردی که گفتیم حداقل یک مثال بیاوریم.
مثال برای چهار جمله؟

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

پرسش. چند عدد صحیح مانند $a$ و $b$ وجود دارد به‌طوری‌که حاصل عبارت $(x^2+ax+1)(x+b)$، چهار جمله داشته باشد؟ در صورت وجود، حداقل دو مثال برای $a$ و $b$ بیاورید.
چند عدد صحیح مانند $a$ و $b$ وجود دارد به‌طوری‌که حاصل عبارت $(x^2+ax+1)(x+b)$، سه جمله داشته باشد؟ در صورت وجود، حداقل دو مثال برای $a$ و $b$ بیاورید.
چند عدد صحیح مانند $a$ و $b$ وجود دارد به‌طوری‌که حاصل عبارت $(x^2+ax+1)(x+b)$، دو جمله داشته باشد؟ در صورت وجود، حداقل دو مثال برای $a$ و $b$ بیاورید.