آزمون ریاضی شبیه‌ساز تیزهوشان و نمونه دولتی، تعیین مرکز، و جانمایی نهم به دهم

در انداختن یک تاس، احتمال زوج بودن، فرد بودن، اول بودن، و مرکب بودن عدد رو شده به‌ترتیب برابر است با:
\[\begin{aligned}&\frac{n\big(\{2,4,6\}\big)}{n\big(\{1,2,3,4,5,6\}\big)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\\[7pt]&\frac{n\big(\{1,3,5\}\big)}{n\big(\{1,2,3,4,5,6\}\big)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\\[7pt]&\frac{n\big(\{2,3,5\}\big)}{n\big(\{1,2,3,4,5,6\}\big)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\\[7pt]&\frac{n\big(\{4,6\}\big)}{n\big(\{1,2,3,4,5,6\}\big)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.\end{aligned}\]
(یادآوری! عدد \(1\) نه اول است و نه مرکب.)

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

اگر برای سادگی قرار دهیم \(\widehat{B}=x\)، آن‌وقت می‌توان اندازهٔ هریک زاویه‌های دو مثلث \(ABE\) و \(ADF\) را برحسب \(x\) نوشت:

(چرا؟)

بنابراین، چون مثلث \(AEF\) متساوی‌الاضلاع است، پس دو زاویهٔ \(CEF\) و \(CFE\) برابرند.

(چرا؟)

(چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

قطر مستطیل‌های با ابعاد \(a\times b\) و \(c\times d\) به‌ترتیب برابرند با \(\sqrt{a^2+b^2}\) و \(\sqrt{c^2+d^2}\). (چرا؟)

واضح است که در گزینه‌های ۱، ۲، و ۳، قسمت خاکستری برابر \((C\cap B)-A\) هست.
در گزینهٔ ۴، \(C\cap B\) رنگ نشده است.

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

مخرج هر کسر، یک واحد از صورت آن بزرگ‌تر است؛ چنین شرطی فقط در گزینهٔ ۴ وجود دارد.

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

\[\sqrt{\big(\sqrt{2}-\sqrt[3]{3}\big)^2}=\big|\sqrt{2}-\sqrt[3]{3}\big|.\] می‌توان نشان داد که \(\sqrt{2} < \sqrt[3]{3}\). چگونه؟

در نتیجه:
\[\begin{aligned}\sqrt{\big(\sqrt{2}-\sqrt[3]{3}\big)^2}&=\big|\overbrace{\sqrt{2}-\sqrt[3]{3}}^{<0}\big|\\&=-\big(\sqrt{2}-\sqrt[3]{3}\big)\\&=-\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}\\&=\sqrt[3]{3}-\sqrt{2}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

\[\begin{aligned}&2\sqrt[3]{A}=\frac{2}{3}\\[7pt]&\Rightarrow\sqrt[3]{A}=\frac{1}{3}\\[7pt]&\Rightarrow\big(\sqrt[3]{A}\big)^3=\big(\frac{1}{3}\big)^3\\[7pt]&\Rightarrow A=\frac{1}{3^3}\\[7pt]&\Rightarrow\sqrt{A}=\sqrt{\frac{1}{3^3}}\\[7pt]&\Rightarrow\sqrt{A}=\frac{1}{\sqrt{3^3}}\\[7pt]&\Rightarrow\sqrt{A}=\frac{1}{3\sqrt{3}}\\[7pt]&\Rightarrow3\sqrt{A}=\frac{1}{\sqrt{3}}\\[7pt]&\Rightarrow3\sqrt{A}=\frac{1}{\sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\[7pt]&\Rightarrow3\sqrt{A}=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

گستردهٔ این مخروط، قسمتی از یک دایره به شعاع \(\sqrt{5}\) است. زیرا:
\[\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.\]
نسبت کمان حاصل از گستردهٔ روی مخروط به کل دایرهٔ آن برابر است با:
\[x=\frac{r}{r^2+h^2}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}.\]
پس:
\[S=\pi\big(\sqrt{5}\big)^2\frac{\sqrt{5}}{5}=\sqrt{5}\pi.\]

مقدار \(A\) به‌ازای \(x=-3\) برابر است با:
\[\begin{aligned}A&=x^2-3\\&=(-3)^2-3\\&=9-3\\&=6.\end{aligned}\]
مقدار \(B\) به‌ازای \(x=-3\) برابر است با:
\[\begin{aligned}B&=x^3+2x-7\\&=(-3)^3+2(-3)-7\\&=-27-6-7\\&=-40.\end{aligned}\]
در نتیجه، مقدار \(A^2-Bx\) به‌ازای \(x=-3\) برابر است با:
\[\begin{aligned}A^2-Bx&=6^2-(-40)(-3)\\&=36-120\\&=-84.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینه‌ٔ ۲ درست است.