آزمون ریاضی شبیه‌ساز تیزهوشان و نمونه دولتی، تعیین مرکز، و جانمایی نهم به دهم

تعداد اعداد دورقمی که رقم \(6\) را ندارند، برابر است با: \[8\times9=72.\]
اعداد دورقمی مربع کامل که رقم \(6\) را ندارند، عبارتند از: \[25,49,81.\]
پس احتمال خواسته شده برابر است با: \[\frac{3}{72}=\frac{1}{24}.\] بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

تعریف چندضلعی محدب. یک چندضلعی محدب است اگر هر پاره‌خطی که دو نقطهٔ دلخواه درون آن چندضلعی را به‌هم وصل می‌کند، به‌طور کامل درون آن چندضلعی قرار بگیرد.
با توجه به تعریف چندضلعی محدب، استدلال نرگس درست و استدلال‌های مهدیه و مریم نادرست است.
چرا؟

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

مسئله‌ٔ مشابه

تمرین ۲ صفحهٔ ۴۲ و ۴۳ کتاب ریاضی نهم

در یک مستطیل لبه‌سفید، اگر \(n=4\)، آنگاه \(r=1-\frac{4}{m+2}\).
چرا؟

از طرفی، می‌دانیم \(r=\frac{a}{23}\). پس:
\[\begin{aligned}&1-\frac{4}{m+2}=\frac{a}{23}\\[7pt]&\Rightarrow1-\frac{a}{23}=\frac{4}{m+2}\\[7pt]&\Rightarrow\frac{23-a}{23}=\frac{4}{m+2}\\[7pt]&\Rightarrow(23-a)(m+2)=4\times23.\end{aligned}\] چون \(m\geq3\)، پس \(m+2\geq5\) و از آنجا که \(m\) عددی طبیعی است، نتیجه می‌گیریم که \(23-a\) نیز عددی طبیعی است و بنابراین، \(a<23\). از طرفی، \[\begin{aligned}&4\times23\\&=1\times92\\&=2\times46.\end{aligned}\] در نتیجه، سه مقدار متفاوت برای \(a\) وجود دارد:
\[\begin{aligned}&23-a=4\Rightarrow 19=a\\&23-a=1\Rightarrow22=a\\&23-a=2\Rightarrow21=a.\end{aligned}\]

پاسخ تشریحی

ابتدا برای \((A-B)\cap C\) یک نمودار ون رسم می‌کنیم:

حال، در بین گزینه‌های داده شده، و با استفاده از نمودار ون، مجموعه‌ای را پیدا می‌کنیم که با \((A-B)\cap C\) برابر باشد.

گزینهٔ ۱.

گزینهٔ ۲.

گزینهٔ ۳.

گزینهٔ ۴.

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

می‌دانیم قطر مکعبی به یال \(x\) برابر با \(\sqrt{3}x\) است. (چرا؟)

مخرج هر کسر، یک واحد از صورت آن بزرگ‌تر است؛ چنین شرطی فقط در گزینهٔ ۴ وجود دارد.

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

\[\begin{aligned}&\big||x|-\sqrt{3}\big|=\sqrt{2}\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&|x|-\sqrt{3}=\sqrt{2}\\&|x|-\sqrt{3}=-\sqrt{2}\end{aligned}\right.\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&|x|=\sqrt{2}+\sqrt{3}\\&|x|=-\sqrt{2}+\sqrt{3}.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
پس:
\[\begin{aligned}&|x|=\sqrt{2}+\sqrt{3}\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&x=\sqrt{2}+\sqrt{3}\\&x=-\big(\sqrt{2}+\sqrt{3}\big)=-\sqrt{2}-\sqrt{3}\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
و
\[\begin{aligned}&|x|=-\sqrt{2}+\sqrt{3}\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&x=-\sqrt{2}+\sqrt{3}\\&x=-\big(-\sqrt{2}+\sqrt{3}\big)=\sqrt{2}-\sqrt{3}.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

اگر \(a>0\)، آن‌وقت:
\[\begin{aligned}\frac{\sqrt[3]{(a+1)^2}\times(-2^3)}{\sqrt[3]{8(a+1)^{-1}}\times\sqrt{a+1}}=-2\sqrt{a+1}.\end{aligned}\]
(چرا؟)

برای به‌دست آوردن بیشترین مقدار $x^y$ همهٔ حالت‌های ممکن برای $x^y$ را می‌نویسیم:
\[\begin{aligned}3^4=81,\;&3^5=243\\4^3=64,\;&4^5=1024\\5^3=125,\;&5^4=625.\end{aligned}\]

بیشترین مقدار $-x^y-\frac{1}{z}$ برابر است با:
\[\begin{aligned}-4^3-\frac{1}{5}&=-64-0.2\\&=-64.2\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

وقتی توپ در کوچک‌ترین جعبهٔ ممکن باشد، یعنی وجه‌های جعبه بر توپ مماس هستند. پس یال جعبه برابر با قطر توپ است. شعاع کره برابر \(4\) است.
$$S=4\pi(4)^2=64\pi.$$

چون \(A\) بر \(5\) بخش‌پذیر است، پس \(y\) باید برابر \(0\) یا \(5\) باشد.
\(\bullet\) اگر \(y=0\)، آن‌وقت \(x\) باید برابر \(5\) باشد. (چرا؟)

\(\bullet\) اگر \(y=5\)، آن‌وقت \(x\) می‌تواند برابر هریک از اعداد \(0\) یا \(9\) باشد. (چرا؟)

پس همهٔ حالت‌های ممکن برای \(A\) عبارتند از:
\[\begin{aligned}&83{\color{red}5}02{\color{blue}0},\\&83{\color{red}0}02{\color{blue}5},83{\color{red}9}02{\color{blue}5}.\end{aligned}\]
در نتیجه، اختلاف بیشترین و کمترین مقدار \(A\) برابر است با:
\[839025-830025=9000.\]
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

پرسش. عدد شش‌رقمی \(A=\overline{83x02y}\) هم بر \(3\) و هم بر \(5\) بخش‌پذیر است. اختلاف بیشترین و کمترین مقدار \(A\) چقدر است؟
۱) \(4005\)
۲)‌ \(1001\)
۳) \(9000\)
۴) \(4500\)

مقدار \(A\) به‌ازای \(x=-3\) برابر است با:
\[\begin{aligned}A&=x^2-3\\&=(-3)^2-3\\&=9-3\\&=6.\end{aligned}\]
مقدار \(B\) به‌ازای \(x=-3\) برابر است با:
\[\begin{aligned}B&=x^3+2x-7\\&=(-3)^3+2(-3)-7\\&=-27-6-7\\&=-40.\end{aligned}\]
در نتیجه، مقدار \(A^2-Bx\) به‌ازای \(x=-3\) برابر است با:
\[\begin{aligned}A^2-Bx&=6^2-(-40)(-3)\\&=36-120\\&=-84.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینه‌ٔ ۲ درست است.

گزینهٔ ۴ درست است. (چرا؟)