آزمون ریاضی شبیه‌ساز تیزهوشان و نمونه دولتی، تعیین مرکز، و جانمایی نهم به دهم

در انداختن یک تاس، احتمال زوج بودن، فرد بودن، اول بودن، و مرکب بودن عدد رو شده به‌ترتیب برابر است با:
\[\begin{aligned}&\frac{n\big(\{2,4,6\}\big)}{n\big(\{1,2,3,4,5,6\}\big)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\\[7pt]&\frac{n\big(\{1,3,5\}\big)}{n\big(\{1,2,3,4,5,6\}\big)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\\[7pt]&\frac{n\big(\{2,3,5\}\big)}{n\big(\{1,2,3,4,5,6\}\big)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\\[7pt]&\frac{n\big(\{4,6\}\big)}{n\big(\{1,2,3,4,5,6\}\big)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.\end{aligned}\]
(یادآوری! عدد \(1\) نه اول است و نه مرکب.)

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

هریک از زاویه‌های داخلی پنج‌ضلعی منتظم و شش‌ضلعی منتظم به‌ترتیب برابر \(108^\circ\) و \(120^\circ\) است. (چرا؟)

در شکل زیر، دو قطر \(PQ\) و \(MN\) را امتداد داده‌ایم تا یکدیگر را در نقطهٔ \(A\) قطع کنند. باید زاویهٔ \(NAP\) را محاسبه کنیم؛ برای این کار، اندازهٔ زاویه‌های مثلث \(ANP\) را به‌دست می‌آوریم.

اندازهٔ زاویهٔ \(APN\) برابر \(108\) درجه است. (چرا؟)

پس، بنابه قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث، داریم:
\[\begin{aligned}&A\widehat{P}N+P\widehat{N}A+N\widehat{A}P=180^\circ\\&\Rightarrow108^\circ+60^\circ+N\widehat{P}A=180^\circ\\&\Rightarrow N\widehat{P}A=180^\circ-168^\circ\\&\Rightarrow N\widehat{P}A=12^\circ.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

ابتدا گستردهٔ مقسوم‌علیه را محاسبه می‌کنیم:
\[\begin{aligned}&(x-1)^2(x+1)\\&=(x^2-2x+1)(x+1)\\&=x^3+x^2-2x^2-2x+x+1\\&=x^3-x^2-x+1.\end{aligned}\] حال، \(mx^4+nx+2\) را بر \(x^3-x^2-x+1\) تقسیم می‌کنیم:

برای اینکه باقی‌ماندهٔ تقسیم برابر صفر شود، باید داشته باشیم:
\[\begin{aligned}\left\{\begin{aligned}&2m=0\\&n=0\\&2-m=0\end{aligned}\right.\end{aligned}\] چون دستگاه معادلات بالا جواب ندارد، پس هیچ مقداری برای \(m\) و \(n\) وجود ندارد به‌طوری که چندجمله‌ای \(mx^4+nx+2\) بر \((x-1)^2(x+1)\) بخش‌پذیر باشد.

\(1.2\overline{3}=\dfrac{37}{30}\). (چرا؟)

مخرج هر کسر، یک واحد از صورت آن بزرگ‌تر است؛ چنین شرطی فقط در گزینهٔ ۴ وجود دارد.

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

\[\begin{aligned}2a^3 < 0&\Rightarrow a^3 < 0\\&\Rightarrow a < 0\\&\Rightarrow|a|=-a.\quad (*)\end{aligned}\]
بنابه رابطهٔ \((*)\) داریم:
\[\begin{aligned}&\sqrt{a^2}+\sqrt[3]{a^3}+\sqrt[4]{a^4}+\sqrt[5]{a^5}+\dots+\sqrt[98]{a}+\sqrt[99]{a}+\sqrt[100]{a^{100}}\\&=\big(\sqrt{a^2}+\sqrt[3]{a^3}\big)+\big(\sqrt[4]{a^4}+\sqrt[5]{a^5}\big)+\dots+\big(\sqrt[98]{a}+\sqrt[99]{a}\big)+\sqrt[100]{a^{100}}\\&=\big(|a|+a\big)+\big(|a|+a\big)+\dots+\big(|a|+a\big)+|a|\\&=\big((-a)+a\big)+\big((-a)+a\big)+\dots+\big((-a)+a\big)+(-a)\\&=-a.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

وقتی توپ در کوچک‌ترین جعبهٔ ممکن باشد، یعنی وجه‌های جعبه بر توپ مماس هستند. پس یال جعبه برابر با قطر توپ است. شعاع کره برابر \(4\) است.
$$S=4\pi(4)^2=64\pi.$$

\[\begin{aligned}&\big(\frac{a}{b}\big)^2-3\big(\frac{a}{b}\big)=-\frac{9}{4}\\[7pt]&\Rightarrow\big(\frac{a}{b}\big)^2-3\big(\frac{a}{b}\big)+\frac{9}{4}=0\\[7pt]&\Rightarrow\Big(\frac{a}{b}-\frac{3}{2}\Big)^2=0\\[7pt]&\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{3}{2}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

گزینهٔ ۴ درست است. (چرا؟)