آزمون ریاضی شبیه‌ساز تیزهوشان و نمونه دولتی، تعیین مرکز، و جانمایی نهم به دهم

ابتدا باید همهٔ اعدادی مانند \(a\) را پیدا کنیم به‌طوری‌که \[a\in\{x\in\mathbb{N}\mid250\leq x\leq650\}\] و \(a\) مضرب \(11\) باشد. این اعداد عبارتند از:
\[253,264,275,\dots,649\] که تعداد آن‌ها برابر است با:\[\begin{aligned}\frac{649-253}{11}+1&=\frac{396}{11}+1\\&=36+1\\&=37.\end{aligned}\] حال، مقدار \(P\) را به‌دست می‌آوریم:
\[P=\frac{37}{650-250+1}={\color{red}\frac{37}{401}}.\]
اگر صورت دو کسر برابر باشد، کسری بزرگ‌تر است که مخرج کمتری دارد. بنابراین، \({\color{red}\frac{37}{401}} < \frac{37}{400}\). از طرفی، بنابه خاصیت آب‌نمکی در تمرین ۴ صفحهٔ ۳۵ (روش ملیحه) کتاب ریاضیات تکمیلی نهم دیدید، داریم:
\[\begin{aligned}&\frac{36}{400}<\frac{36+1}{400+1}<\frac{1}{1}\\[7pt]&\frac{36}{400}<{\color{red}\frac{37}{401}}<\frac{1}{1}.\end{aligned}\] پس داریم:
\[\begin{aligned}\frac{36}{400}<{\color{red}\frac{37}{401}}<\frac{37}{400}<\frac{38}{400}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

مطابق شکل زیر، محل برخورد قطرهای چهارضلعی $ABCD$ را $E$ می‌نامیم و برای سادگی قرار می‌دهیم:
\[AE=x,\;BE=y,\;CE=w,\;DE=z\]

اگر مقدار $x^2+z^2$ را داشته باشیم، آنگاه می‌توانیم مقدار $DA$ را به‌دست آوریم. (چرا؟)

پس $DA^2=1$ و در نتیجه $DA=1$.

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

ضلع‌ \(a\) نمی‌تواند با ضلع \(b\) متناظر باشد. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

از \(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{6}\) می‌توان نتیجه گرفت که \((y+6)(x-6)=-36\).
چگونه؟

می‌دانیم که \(x\) و \(y\) اعدادی طبیعی هستند. پس \(y+6>6\) و \(x-6\) عددی صحیح است. در نتیجه:
\[\begin{aligned}&(y+6)(x-6)=-36\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&y+6=9,\;x-6=-4\\&y+6=12,\;x-6=-3\\&y+6=18,\;x-6=-2\\&y+6=36,\;x-6=-1\end{aligned}\right.\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&y=3,\;x=2\\&y=6,\;x=3\\&y=12,\;x=4\\&y=30,\;x=5.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
بنابراین، معادلهٔ \(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{6}\)، چهار جواب طبیعی دارد.

چون اعداد دورقمی را با \(M\) و اعداد زوج را با \(A\) نشان داده‌ایم، پس مجموعهٔ اعداد فرد دورقمی برابر است با: \(M-A\).
چون مضارب طبیعی \(3\) را با \(B\) و مضارب طبیعی \(5\) را با \(C\) نشان‌ داده‌ایم، پس مجموعهٔ مضارب طبیعی \(15\) برابر است با: \(B\cap C\).
در نتیجه، مجموعهٔ اعداد فرد دورقمی که مضرب \(15\) نیستند برابر است با: \((M-A)-(B\cap C)\) و نمودار گزینهٔ ۲ نشان‌دهندهٔ این مجموعه است.

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

اگر به چنین مسائلی مسلط نیستید، حتماً درسنامهٔ مجموعه‌های سایت تکمیلی را بخوانید.

مسئله‌ٔ مشابه

سؤال ۴۱ آزمون پیشرفت تحصیلی نهم سمپاد (فروردین ۹۷)

\[\Big\{\frac{9}{2},\frac{10}{3},\frac{11}{4},\dots,\frac{1399}{1392}\Big\}\neq \Big\{x\in\mathbb{Q}\mid \frac{1399}{1392}\leq x\leq \frac{9}{2}\Big\}.\]
(چرا؟)

بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

پاسخ تشریحی

اگر \(A\) عددی مثبت باشد، آنگاه: \[\frac{A}{|A|}=\frac{A}{A}=1.\]
اگر \(A\) عددی منفی باشد، آنگاه: \[\frac{A}{|A|}=\frac{A}{-A}=-1.\]
چون \(xyz < 0\)، پس از بین سه متغیر \(x\)، \(y\)، و \(z\)، دوتای آنها هم‌علامتند.
\(\bullet\) اگر از بین \(x\)، \(y\)، و \(z\)، دوتا متغیر، مثبت باشند و دیگری منفی، آنگاه داریم:
\[\begin{aligned}&\frac{x}{|x|}+\frac{y}{|y|}+\frac{z}{|z|}+{\color{red}\frac{xyz}{|xyz|}}\\[7pt]&=1+1+(-1)+{\color{red}(-1)}\\&=0.\end{aligned}\]
\(\bullet\) اگر از بین \(x\)، \(y\)، و \(z\)، دوتا متغیر، منفی باشند و دیگری مثبت، آنگاه داریم:
\[\begin{aligned}&\frac{x}{|x|}+\frac{y}{|y|}+\frac{z}{|z|}+{\color{red}\frac{xyz}{|xyz|}}\\[7pt]&=-1+(-1)+1+{\color{red}(-1)}\\&=-2.\end{aligned}\] بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

اگر \(x\) منفی باشد، آن‌وقت:
\(\bullet\) \(\sqrt[3]{x}\) منفی است؛ زیرا ریشهٔ سوم هر عدد منفی، عددی منفی است.
\(\bullet\) \(-x^{-1}\) مثبت است؛ زیرا: \[-x^{-1}=-\,\frac{1}{\underbrace{x}_{<0}}>0.\]
\(\bullet\) \(-x^2\) منفی است؛ زیرا: \[-\,\underbrace{x^2}_{>0}<0.\] \(\bullet\) \(\frac{x}{|x|}\) منفی است؛ زیرا:\[\frac{\overbrace{x}^{<0}}{\underbrace{|x|}_{>0}}<0.\] بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

وقتی توپ در کوچک‌ترین جعبهٔ ممکن باشد، یعنی وجه‌های جعبه بر توپ مماس هستند. پس یال جعبه برابر با قطر توپ است. شعاع کره برابر \(4\) است.
$$S=4\pi(4)^2=64\pi.$$

فرض کنید پس از \(n\) سال، سن پدر با مجموع سن فرزندانش، برابر شود. یعنی:
\[\begin{aligned}&45+n=(4+n)+(12+n)+(15+n)\\&\Rightarrow45+n=31+3n\\&\Rightarrow45-31=3n-n\\&\Rightarrow14=2n\\&\Rightarrow7=n.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

با جایگذاری مقدار به‌جای $a$ و $b$ می‌توان گزینهٔ درست را یافت. چون $a+b=10$، قرار می‌دهیم $a=10$ و $b=0$؛ دراین‌صورت داریم:‌
\[\begin{aligned}&5a^2+a^2b+ab^2+5b^2\\&=5(10)^2+(10^2)(0)+(10)(0)^2+5(0)^2\\&=5\times 100\\&=500.\end{aligned}\]
پس گزینهٔ ۳ درست است.

پرسش. اگر هر عدد دیگری به‌جای $a$ و $b$ انتخاب کنیم به‌طوری‌که $a+b=10$، آیا بازهم حاصل $5a^2+a^2b+ab^2+5b^2$ برابر ۵۰۰ است؟
پاسخ. بله!
برای اینکه ثابت کنیم پاسخ پرسش بالا همواره «بله» است، لازم است که درستی تساوی زیر را (برای هر مقدار $a$ و $b$) پذیرفته باشیم.
\[a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\]
چرا تساوی بالا همواره درست است؟