آزمون ریاضی شبیه‌ساز تیزهوشان و نمونه دولتی، تعیین مرکز، و جانمایی نهم به دهم

تعداد کل حالت‌های ممکن برای عدد سه‌رقمی حاصل، \(27\)تا است. (چرا؟)

هریک از زاویه‌های داخلی پنج‌ضلعی منتظم و شش‌ضلعی منتظم به‌ترتیب برابر \(108^\circ\) و \(120^\circ\) است. (چرا؟)

در شکل زیر، دو قطر \(PQ\) و \(MN\) را امتداد داده‌ایم تا یکدیگر را در نقطهٔ \(A\) قطع کنند. باید زاویهٔ \(NAP\) را محاسبه کنیم؛ برای این کار، اندازهٔ زاویه‌های مثلث \(ANP\) را به‌دست می‌آوریم.

اندازهٔ زاویهٔ \(APN\) برابر \(108\) درجه است. (چرا؟)

پس، بنابه قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث، داریم:
\[\begin{aligned}&A\widehat{P}N+P\widehat{N}A+N\widehat{A}P=180^\circ\\&\Rightarrow108^\circ+60^\circ+N\widehat{P}A=180^\circ\\&\Rightarrow N\widehat{P}A=180^\circ-168^\circ\\&\Rightarrow N\widehat{P}A=12^\circ.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

یکی از ضلع‌های زاویهٔ با اندازهٔ $b$ را مانند شکل زیر امتداد می‌دهیم؛ در نتیجه زاویهٔ با اندازهٔ $c$ به دو قسمت تقسیم می‌شود؛ اندازهٔ یکی از این دو قسمت ۱۸۰ درجه و اندازهٔ قسمت دیگر $c-180^\circ$ می‌شود.

بنابه فرض مسئله دو خط $d$ و $d'$ موازی‌اند. پس بنابه قضیهٔ خطوط موازی و مورب زاویه‌های صورتی‌رنگ شکل زیر باهم برابرند(؟).

اکنون در شکل زیر، ناحیهٔ زرد‌رنگ یک مثلث است.

در مثلث زردرنگ، بنابه قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث، داریم:
\[\begin{aligned}&a+b+(c-180^\circ)=180^\circ\\&\Rightarrow a+b+c=180^\circ+180^\circ\\&\Rightarrow a+b+c=360^\circ.\end{aligned}\]
بنابراین گزینهٔ ۳ درست است.

در یک مستطیل لبه‌سفید، اگر \(n=4\)، آنگاه \(r=1-\frac{4}{m+2}\).
چرا؟

از طرفی، می‌دانیم \(r=\frac{a}{23}\). پس:
\[\begin{aligned}&1-\frac{4}{m+2}=\frac{a}{23}\\[7pt]&\Rightarrow1-\frac{a}{23}=\frac{4}{m+2}\\[7pt]&\Rightarrow\frac{23-a}{23}=\frac{4}{m+2}\\[7pt]&\Rightarrow(23-a)(m+2)=4\times23.\end{aligned}\] چون \(m\geq3\)، پس \(m+2\geq5\) و از آنجا که \(m\) عددی طبیعی است، نتیجه می‌گیریم که \(23-a\) نیز عددی طبیعی است و بنابراین، \(a<23\). از طرفی، \[\begin{aligned}&4\times23\\&=1\times92\\&=2\times46.\end{aligned}\] در نتیجه، سه مقدار متفاوت برای \(a\) وجود دارد:
\[\begin{aligned}&23-a=4\Rightarrow 19=a\\&23-a=1\Rightarrow22=a\\&23-a=2\Rightarrow21=a.\end{aligned}\]

واضح است که در گزینه‌های ۱، ۲، و ۳، قسمت خاکستری برابر \((C\cap B)-A\) هست.
در گزینهٔ ۴، \(C\cap B\) رنگ نشده است.

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

\[\begin{aligned}&0.\overline{10}-0.\overline{11}+0.\overline{12}-0.\overline{13}+\dots+0.\overline{98}-0.\overline{99}\\&=\big(0.\overline{10}-0.\overline{11}\big)+\big(0.\overline{12}-0.\overline{13}\big)+\dots+\big(0.\overline{98}-0.\overline{99}\big)\\&=\big(-0.\overline{01}\big)+\big(-0.\overline{01}\big)+\dots+\big(-0.\overline{01}\big)\\&=45\times \big(-0.\overline{01}\big)\\&=-0.\overline{45}.\end{aligned}\]
بنابراین گزینهٔ ۱ درست است.

گزینهٔ ۱ مجموعهٔ تهی را معرفی می‌کند.
چرا؟

گزینهٔ ۲ مجموعهٔ تهی را معرفی می‌کند.
چرا؟

گزینهٔ ۳ مجموعهٔ تهی را معرفی نمی‌کند.

چرا؟

گزینهٔ ۴ مجموعهٔ تهی را معرفی می‌کند.
چرا؟

بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

مسئله‌ٔ مشابه

تمرین ۲ صفحهٔ ۳۴ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم

\[\begin{aligned}&\big||x|-\sqrt{3}\big|=\sqrt{2}\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&|x|-\sqrt{3}=\sqrt{2}\\&|x|-\sqrt{3}=-\sqrt{2}\end{aligned}\right.\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&|x|=\sqrt{2}+\sqrt{3}\\&|x|=-\sqrt{2}+\sqrt{3}.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
پس:
\[\begin{aligned}&|x|=\sqrt{2}+\sqrt{3}\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&x=\sqrt{2}+\sqrt{3}\\&x=-\big(\sqrt{2}+\sqrt{3}\big)=-\sqrt{2}-\sqrt{3}\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
و
\[\begin{aligned}&|x|=-\sqrt{2}+\sqrt{3}\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&x=-\sqrt{2}+\sqrt{3}\\&x=-\big(-\sqrt{2}+\sqrt{3}\big)=\sqrt{2}-\sqrt{3}.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

\(A=5^{51}\). (چرا؟)

\(B<0\). (چرا؟)

\(C=8068\). (چرا؟)

\[\begin{aligned}&\frac{4}{3}\pi(3)^3-\frac{4}{3}\pi(2)^3\\&=\frac{4}{3}\pi(27)-\frac{4}{3}\pi(8)\\&=\frac{4}{3}\pi(27-8)\\&=\frac{4}{3}\pi(19)\\&=\frac{76}{3}\pi.\end{aligned}\]

اگر مربع عددی \((x^2)\) به آن \((x)\) اضافه شود، حاصل \(57\) خواهد بود. یعنی: \[\begin{aligned}&x^2+x=57\\&\Rightarrow x(x+1)=57.\end{aligned}\]
واضح است که \(x\) هیچ‌کدام از اعداد داده شده نیست:
\[\begin{aligned}&x=57:\;x(x+1)=57(58)\ne57\\&x=42:\;x(x+1)=42(43)\ne57\\&x=-8:\;x(x+1)=-8(-7)\ne57\\&x=8:\;x(x+1)=8(9)\ne57\\&x=-87:\;x(x+1)=-87(-86)\ne57.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

چون
\[\begin{aligned}x^2&=\Big(\frac{4+\sqrt{6}}{\sqrt{5}}\Big)^2\\[7pt]&=\frac{16+6+8\sqrt{6}}{5}\\[7pt]&=\frac{22+8\sqrt{6}}{5}\end{aligned}\]
پس
\[\begin{aligned}5x^2-\sqrt{24}&=5\times\frac{22+8\sqrt{6}}{5}-\sqrt{4\times6}\\[7pt]&=22+8\sqrt{6}-2\sqrt{6}\\&=22+6\sqrt{6}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

تساوی اول، تجزیهٔ یک عبارت جبری را نشان نمی‌دهد. زیرا \(x(x+1)+1\) به‌صورت حاصل‌ضرب دو عبارت جبری نیست.
تساوی دوم،‌ تجزیهٔ یک عبارت جبری را نشان می‌دهد. زیرا \(2y^2+5y\) به‌صورت حاصل‌ضرب \(2y\) در \(y+\frac{5}{2}\) نوشته شده است.
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.