آزمون ریاضی شبیه‌ساز تیزهوشان و نمونه دولتی، تعیین مرکز، و جانمایی نهم به دهم

در انداختن یک تاس، احتمال زوج بودن، فرد بودن، اول بودن، و مرکب بودن عدد رو شده به‌ترتیب برابر است با:
\[\begin{aligned}&\frac{n\big(\{2,4,6\}\big)}{n\big(\{1,2,3,4,5,6\}\big)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\\[7pt]&\frac{n\big(\{1,3,5\}\big)}{n\big(\{1,2,3,4,5,6\}\big)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\\[7pt]&\frac{n\big(\{2,3,5\}\big)}{n\big(\{1,2,3,4,5,6\}\big)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\\[7pt]&\frac{n\big(\{4,6\}\big)}{n\big(\{1,2,3,4,5,6\}\big)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.\end{aligned}\]
(یادآوری! عدد \(1\) نه اول است و نه مرکب.)

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

راهنمای حل

هر سه عبارت نادرست است. تمرین ۴ صفحهٔ ۶۵ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم را ببینید.

بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

تمرین ۴ صفحهٔ ۶۵

۹. ۳. ۷. ۴. الف) آیا در دو چندضلعی زیر، می‌توان اضلاع را طوری دوبه‌دو نظیر یکدیگر قرار داد که نسبت همهٔ اضلاع متناظر برابر باشند؟ یا به‌عبارتِ‌دیگر اضلاع متناظر متناسب باشند؟

ب) فرض کنید $n>3$. روشی برای رسم دو $n$-ضلعی که اضلاع متناظرشان متناسب باشند ولی دو چندضلعی متشابه نباشند، ارائه دهید.

راهنمای حل

الف) ابتدا اندازهٔ هریک از ضلع‌های دو چندضلعی داده شده را به‌دست می‌آوریم.
اندازهٔ اضلاع شش‌ضلعی صورتی را از کوچک به بزرگ مرتب می‌کنیم:
\[1,\sqrt{2},\sqrt{2},\sqrt{2},2,\sqrt{5}.\]
اندازهٔ اضلاع شش‌ضلعی سبز را نیز از کوچک به‌بزرگ مرتب می‌کنیم:
\[2, 2\sqrt{2},2\sqrt{2},2\sqrt{2},4,2\sqrt{5}.\]
می‌توان اضلاع این دو شش‌ضلعی را طوری دوبه‌دو نظیر کرد که نسبت اضلاع نظیر شده، برابر باشند:
\[\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{2}{4}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}.\]

ب) یک $n$ضلعیِ محدب در نظر بگیرید و یکی از رأس آن را $A$ بنامید. رأس $A$ به دو رأس دیگر متصل است؛ این دو رأس را $B$ و $C$ بنامید. فرض کنید این $n$ضلعی محدب طوری رسم شده باشد که اگر $A$ را نسبت به قطر $BC$ قرینه کنیم نقطهٔ حاصل درون $n$ضلعی باشد. قرینهٔ $A$ نسبت به $BC$ را $A'$ می‌نامیم. اگر از $n$ضلعی محدب رأس $A$ را حذف کنیم و به‌جای آن رأس $A'$ را اضافه کنیم، یک $n$ضلعی مقعر به‌دست می‌آید. این $n$ضلعی مقعر و $n$ضلعیِ محدبی که در ابتدا رسم کردیم، شرایط مسئله را دارند ولی متشابه نیستند. برای مثال، شکل‌ زیر را ببینید.

در بین اعدادِ
\[0.\overline{1}, 0.\overline{2}, 0.\overline{3}, \dots , 0.\overline{1396}\]اعداد برابر را پیدا می‌کنیم:
\[\begin{aligned}&0.\overline{1}=0.\overline{11}=0.\overline{111}=0.\overline{1111}\\&0.\overline{2}=0.\overline{22}=0.\overline{222}\\&0.\overline{3}=0.\overline{33}=0.\overline{333}\\&0.\overline{4}=0.\overline{44}=0.\overline{444}\\&0.\overline{5}=0.\overline{55}=0.\overline{555}\\&0.\overline{6}=0.\overline{66}=0.\overline{666}\\&0.\overline{7}=0.\overline{77}=0.\overline{777}\\&0.\overline{8}=0.\overline{88}=0.\overline{888}\\&0.\overline{9}=0.\overline{99}=0.\overline{999}\\&0.\overline{10}=0.\overline{1010}\\&0.\overline{12}=0.\overline{1212}\\&0.\overline{13}=0.\overline{1313}\\\end{aligned}\]
در نتیجه، تعداد اعضای این مجموعه برابر است با:
\[1396-22=1374.\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

پاسخ تشریحی

اعضای مجموعهٔ \(A\) عبارتند از:
\[{\color{blue}\varnothing}, {\color{red}\{\varnothing\}}, {\color{green}\big\{\varnothing,\{\varnothing\}\big\}}.\]بنابراین:

\(\bullet\) گزینهٔ ۱ نادرست است.
چرا؟

\(\bullet\) گزینهٔ ۲ درست است.
چرا؟

\(\bullet\) گزینهٔ ۳ درست است.
چرا؟

\(\bullet\) گزینهٔ ۴ درست است.
چرا؟

مسئلهٔ مشابه

تمرین ۱ صفحهٔ ۵ کتاب ریاضی تکمیلی نهم

اگر با چنین مسائلی مشکل دارید، حتماً درسنامهٔ مجموعه‌ها را بخوانید:

پاسخ تشریحی

اگر \(A\) عددی مثبت باشد، آنگاه: \[\frac{A}{|A|}=\frac{A}{A}=1.\]
اگر \(A\) عددی منفی باشد، آنگاه: \[\frac{A}{|A|}=\frac{A}{-A}=-1.\]
چون \(xyz < 0\)، پس از بین سه متغیر \(x\)، \(y\)، و \(z\)، دوتای آنها هم‌علامتند.
\(\bullet\) اگر از بین \(x\)، \(y\)، و \(z\)، دوتا متغیر، مثبت باشند و دیگری منفی، آنگاه داریم:
\[\begin{aligned}&\frac{x}{|x|}+\frac{y}{|y|}+\frac{z}{|z|}+{\color{red}\frac{xyz}{|xyz|}}\\[7pt]&=1+1+(-1)+{\color{red}(-1)}\\&=0.\end{aligned}\]
\(\bullet\) اگر از بین \(x\)، \(y\)، و \(z\)، دوتا متغیر، منفی باشند و دیگری مثبت، آنگاه داریم:
\[\begin{aligned}&\frac{x}{|x|}+\frac{y}{|y|}+\frac{z}{|z|}+{\color{red}\frac{xyz}{|xyz|}}\\[7pt]&=-1+(-1)+1+{\color{red}(-1)}\\&=-2.\end{aligned}\] بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

\[\begin{aligned}2a^3 < 0&\Rightarrow a^3 < 0\\&\Rightarrow a < 0\\&\Rightarrow|a|=-a.\quad (*)\end{aligned}\]
بنابه رابطهٔ \((*)\) داریم:
\[\begin{aligned}&\sqrt{a^2}+\sqrt[3]{a^3}+\sqrt[4]{a^4}+\sqrt[5]{a^5}+\dots+\sqrt[98]{a}+\sqrt[99]{a}+\sqrt[100]{a^{100}}\\&=\big(\sqrt{a^2}+\sqrt[3]{a^3}\big)+\big(\sqrt[4]{a^4}+\sqrt[5]{a^5}\big)+\dots+\big(\sqrt[98]{a}+\sqrt[99]{a}\big)+\sqrt[100]{a^{100}}\\&=\big(|a|+a\big)+\big(|a|+a\big)+\dots+\big(|a|+a\big)+|a|\\&=\big((-a)+a\big)+\big((-a)+a\big)+\dots+\big((-a)+a\big)+(-a)\\&=-a.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

اگر $a^b$ را به‌صورت $a^\wedge b$ نشان دهیم، این مسئله راحت‌تر حل می‌شود.
\[\begin{aligned}&((2^\wedge3)^\wedge4)^\wedge5=\Big(\big(2^3\big)^4\Big)^5=2^{3\times4\times5}\\&(2^\wedge(3^\wedge4))^\wedge5=\Big(2^{\big(3^4\big)}\Big)^5=2^{{3^4}\times5}\\&2^\wedge(3^\wedge(4^\wedge5))=2^{\bigg(3^{(4^5)}\bigg)}=2^{3^{4^5}}\\&2^\wedge((3^\wedge4)^\wedge5)=2^{\bigg(\big(3^4\big)^5\bigg)}=2^{3^{20}}\\&(2^\wedge3)^\wedge(4^\wedge5)=\big(2^3\big)^{\big(4^5\big)}=2^{3\times4^5}\end{aligned}\]

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

مسئله‌های مشابه

تمرین ۹ صفحهٔ ۱۱۱ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم

تمرین ۱۰ صفحهٔ ۱۱۱ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم

تمرین ۱۱ صفحهٔ ۱۱۱ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم

\[R=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{4+5}=\sqrt{9}=3.\]
نسبت کمان حاصل از گستردهٔ روی مخروط به کل دایرهٔ آن برابر است با:
\[x=\frac{2}{3}.\] پس مساحت رویهٔ مخروط برابر است با:
\[\pi\times9\times\frac{2}{3}=6\pi.\] در نتیجه، مساحت قاعدهٔ مخروط برابر است با:
\[\pi(2)^2=4\pi.\] بنابراین، مساحت کل مخروط برابر است با:
\[6\pi+4\pi=10\pi.\]

مطابق شکل زیر، مربع کوچک سمت چپ بالا را می‌بُریم و در قسمت پایین قرار می‌دهیم.

حالا، یک مستطیل با طول و عرض \(3a\) و \(b\) داریم که مساحت آن برابر \(3ab\) است.

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

چون
\[\begin{aligned}x^2&=\Big(\frac{4+\sqrt{6}}{\sqrt{5}}\Big)^2\\[7pt]&=\frac{16+6+8\sqrt{6}}{5}\\[7pt]&=\frac{22+8\sqrt{6}}{5}\end{aligned}\]
پس
\[\begin{aligned}5x^2-\sqrt{24}&=5\times\frac{22+8\sqrt{6}}{5}-\sqrt{4\times6}\\[7pt]&=22+8\sqrt{6}-2\sqrt{6}\\&=22+6\sqrt{6}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.