آزمون ریاضی شبیه‌ساز تیزهوشان و نمونه دولتی، تعیین مرکز، و جانمایی نهم به دهم

پاسخ تشریحی

در پرتاب دوتاس، تعداد همهٔ حالت‌های ممکن که مجموع اعداد رو شده برابر \(7\) باشد، برابر است با \(6\).
چرا؟

و پیشامد اینکه یکی از دو تاس \(3\) آمده باشد، \(2\) عضو دارد.
چرا؟

پس، احتمال خواسته شده برابر است با:
\[\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.\] بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

در هر مثلث قائم‌الزاویه، میانهٔ وارد بر وتر نصف وتر است. (تمرین ۲۰ صفحهٔ ۱۰۶ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم را ببینید.)

بنابراین، در شکل بالا، مثلث‌های \(ABM\) و \(ACM\) متساوی‌الساقین هستند. اگر اندازهٔ زاویهٔ \(B\) را با \(b\)، و اندازهٔ زاویهٔ \(C\) را با \(c\) نمایش دهیم، آن‌وقت بنابه قضیهٔ مثلث متساوی‌الساقین داریم:
\[C\widehat{A}M=c,\;B\widehat{A}M=b.\]
در نتیجه، \(c-b=40^\circ\). (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

نقاط تقاطع شکل را به‌‌صورت زیر نام‌گذاری می‌کنیم.

به‌سادگی اندازهٔ زاویه‌های \(NMP\) و \(RPQ\) به‌دست می‌آید(؟)
\(\bullet\) \(a\nparallel b\). (چرا؟)

\(\bullet\) \(b\nparallel c\). (چرا؟)

\(\bullet\) \(a\parallel c\). (چرا؟)

\(\bullet\) \(f\parallel e\). (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

در کسر داده شده باید داشته باشیم:
\[\begin{aligned}&x\ne0,\\&x^2-4\ne0\Rightarrow(x-2)(x+2)\ne0\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&x\ne2\\&x\ne-2.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

چون تعداد افرادی که تنها به یک ورزش علاقه دارند، \(21\) نفر است، پس \(m=4\). (چرا؟)

پس \(25\) نفر تنها به \(2\) ورزش علاقه‌مند هستند.

مجموعهٔ \(\{n^2\mid n\in\mathbb{N}\}\) جذاب است. (چرا؟)

مجموعهٔ \(\big\{x\in\mathbb{N}\mid\frac{189}{x}\in\mathbb{N}\big\}\) جذاب نیست. (چرا؟)

مجموعهٔ \(\{2k-7\mid k\in\mathbb{N},10\leq k\leq90\}\) جذاب است. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

با توجه به تمرین ۹ صفحهٔ ۱۰۹ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم، اگر \(a\) و \(b\) را محورهای مختصات در نظر بگیریم، آن‌وقت همهٔ نقطه‌های روی پاره‌خط‌های صورتی شکل زیر می‌توانند نشان‌دهندهٔ \((a,b)\) باشند. پس گزینهٔ ۴ درست است.

برای مثال، چند جفت عدد که می‌توان به‌جای \(a\) و \(b\) قرار داد، به‌صورت زیر هستند.
\[\begin{aligned}a=\sqrt{3},\;&b=\sqrt{5}\\a=0,\;&b=\sqrt{3}+\sqrt{5}\\a=0,\;&b=-\sqrt{3}-\sqrt{5}\\a=1,\;&b=\sqrt{3}+\sqrt{5}-1\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}&\Big(\sqrt[3]{16}-\sqrt[3]{1024}\Big)^3\\&=\Big(\sqrt[3]{8\times2}-\sqrt[3]{512\times2}\Big)^3\\&=\Big(\sqrt[3]{2^3\times2}-\sqrt[3]{2^9\times2}\Big)^3\\&=\Big(2\sqrt[3]{2}-8\sqrt[3]{2}\Big)^3\\&=\big(-6\sqrt[3]{2}\big)^3\\&=(-6)^3\times\big(\sqrt[3]{2}\big)^3\\&=(-6)^3\times2.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

\[\begin{aligned}&-33\times\big|3^2-10.\overline{72}\big|\\&=-33\times\big|9-(10+0.\overline{72})\big|\\&=-33\times\Big|9-10-\frac{72}{99}\Big|\\&=-33\times\Big|-1-\frac{72}{99}\Big|\\&=-33\times\Big|-\frac{171}{99}\Big|\\&=-33\times\Big|-\frac{57}{33}\Big|\\&=-33\times\frac{57}{33}\\&=-57.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

وقتی کره در استوانه محاط باشد، ارتفاع استوانه برابر قطر کره، و شعاع قاعده استوانه برابر شعاع کره است.
پس مساحت استوانه برابر است با:
\[\begin{aligned}2\pi x^2+2\pi x\times(2x)&=2\pi x^2+4\pi x^2\\&=6\pi x^2.\end{aligned}\]
بنابراین، نسبت مساحت استوانه به مساحت کره برابر است با:
\[\frac{6\pi x^2}{4\pi x^2}=\frac{3}{2}.\]
در نتیجه، حجم کره برابر است با:
\[\frac{4}{3}\pi\big(\frac{3}{2}\big)^3=\frac{9}{2}\pi.\]

فرض کنید پس از \(n\) سال، سن پدر با مجموع سن فرزندانش، برابر شود. یعنی:
\[\begin{aligned}&45+n=(4+n)+(12+n)+(15+n)\\&\Rightarrow45+n=31+3n\\&\Rightarrow45-31=3n-n\\&\Rightarrow14=2n\\&\Rightarrow7=n.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

گزینهٔ ۳ صحیح است.
\[\begin{aligned}&\sqrt{a^2(a^2-b^2)+b^2(b^2-a^2)}\\&=\sqrt{(b^2-a^2)(-a^2+b^2)}\\&=\sqrt{(b^2-a^2)(b^2-a^2)}\\&=\sqrt{(b^2-a^2)^2}\\&=|b^2-a^2|.\end{aligned}\]
چون$b< a<0$ پس $b^2> a^2>0$ و در نتیجه $b^2-a^2> 0$ و \[\begin{aligned}&|b^2-a^2|=b^2-a^2.\end{aligned}\]

مقدار \(A\) به‌ازای \(x=-3\) برابر است با:
\[\begin{aligned}A&=x^2-3\\&=(-3)^2-3\\&=9-3\\&=6.\end{aligned}\]
مقدار \(B\) به‌ازای \(x=-3\) برابر است با:
\[\begin{aligned}B&=x^3+2x-7\\&=(-3)^3+2(-3)-7\\&=-27-6-7\\&=-40.\end{aligned}\]
در نتیجه، مقدار \(A^2-Bx\) به‌ازای \(x=-3\) برابر است با:
\[\begin{aligned}A^2-Bx&=6^2-(-40)(-3)\\&=36-120\\&=-84.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینه‌ٔ ۲ درست است.