آزمون ریاضی شبیه‌ساز تیزهوشان و نمونه دولتی، تعیین مرکز، و جانمایی نهم به دهم

پاسخ تشریحی

در پرتاب دوتاس، تعداد همهٔ حالت‌های ممکن که مجموع اعداد رو شده برابر \(7\) باشد، برابر است با \(6\).
چرا؟

و پیشامد اینکه یکی از دو تاس \(3\) آمده باشد، \(2\) عضو دارد.
چرا؟

پس، احتمال خواسته شده برابر است با:
\[\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.\] بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

در شکل زیر، شعاع دایره و اضلاع شش‌ضلعی کوچک برابر \(1\) است(؟)؛ ضلع شش‌ضلعی بزرگ برابر \(y\)، \(OA=y\)، و \(AM=\frac{y}{2}\) (؟).

چون مثلث \(AOM\) قائم‌الزاویه است(؟)، پس بنابه قضیهٔ فیثاغورس \(y=\frac{2}{\sqrt{3}}\). (چرا؟)

هریک از زاویه‌های هشت‌ضلعی منتظم برابر \(135\) درجه، و هر یک از زاویه‌های پنج‌ضلعی منتظم برابر \(108\) درجه است. (چرا؟)

همچنین، در شکل بالا داریم: \[B\widehat{A}C=135^\circ-90^\circ=45^\circ.\]
پس:
\[\beta+\gamma=135^\circ.\quad(2)\]

واضح است که در گزینه‌های ۱، ۲، و ۳، قسمت خاکستری برابر \((C\cap B)-A\) هست.
در گزینهٔ ۴، \(C\cap B\) رنگ نشده است.

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

\[\begin{aligned}&1.\overline{2}+3.\overline{4}+5.\overline{6}\\&=1+0.\overline{2}+3+0.\overline{4}+5+0.\overline{6}\\[5pt]&=1+\frac{2}{9}+3+\frac{4}{9}+5+\frac{6}{9}\\[5pt]&=9+\frac{12}{9}\\[7pt]&=9+1+\frac{3}{9}\\[5pt]&=10+\frac{3}{9}\\[7pt]&=10+0.\overline{3}\\&=10.\overline{3}\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

مخرج هر کسر، یک واحد از صورت آن بزرگ‌تر است؛ چنین شرطی فقط در گزینهٔ ۴ وجود دارد.

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

$0.\overline{1}=\frac{1}{9}$. (چرا؟)

بنابراین:
\[\begin{aligned}0.\overline{1}\div0.11111&=\frac{1}{9}\div\frac{11111}{100000}\\[6pt]&=\frac{1}{9}\times\frac{100000}{11111}\\[6pt]&=\frac{100000}{99999}\\[6pt]&=\frac{99999+1}{99999}\\[6pt]&=\frac{99999}{99999}+\frac{1}{99999}\\[6pt]&=1+0.\overline{00001}\\&=1.\overline{00001}.\end{aligned}\]
در نتیجه، گزینهٔ ۴ درست است.

\[\begin{aligned}&\Big(\sqrt[3]{16}-\sqrt[3]{1024}\Big)^3\\&=\Big(\sqrt[3]{8\times2}-\sqrt[3]{512\times2}\Big)^3\\&=\Big(\sqrt[3]{2^3\times2}-\sqrt[3]{2^9\times2}\Big)^3\\&=\Big(2\sqrt[3]{2}-8\sqrt[3]{2}\Big)^3\\&=\big(-6\sqrt[3]{2}\big)^3\\&=(-6)^3\times\big(\sqrt[3]{2}\big)^3\\&=(-6)^3\times2.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

گستردهٔ این مخروط، قسمتی از یک دایره به شعاع \(\sqrt{5}\) است. زیرا:
\[\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.\]
نسبت کمان حاصل از گستردهٔ روی مخروط به کل دایرهٔ آن برابر است با:
\[x=\frac{r}{r^2+h^2}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}.\]
پس:
\[S=\pi\big(\sqrt{5}\big)^2\frac{\sqrt{5}}{5}=\sqrt{5}\pi.\]

اگر مربع عددی \((x^2)\) به آن \((x)\) اضافه شود، حاصل \(57\) خواهد بود. یعنی: \[\begin{aligned}&x^2+x=57\\&\Rightarrow x(x+1)=57.\end{aligned}\]
واضح است که \(x\) هیچ‌کدام از اعداد داده شده نیست:
\[\begin{aligned}&x=57:\;x(x+1)=57(58)\ne57\\&x=42:\;x(x+1)=42(43)\ne57\\&x=-8:\;x(x+1)=-8(-7)\ne57\\&x=8:\;x(x+1)=8(9)\ne57\\&x=-87:\;x(x+1)=-87(-86)\ne57.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

گزینهٔ ۴ درست است. (چرا؟)

گزینهٔ ۲ صحیح است.
طبق تعریف کسری که صورت و مخرج آن یک چندجمله‌ای باشد، گویا است. بین عبارت‌های داده شده فقط صورت و مخرج، $\dfrac{5\sqrt{7}}{a}$ و $\dfrac{\sqrt{\pi}}{2a-3b}$ چندجمله‌ای هستند.