آزمون ریاضی شبیه‌ساز تیزهوشان و نمونه دولتی، تعیین مرکز، و جانمایی نهم به دهم

در نیمهٔ اول ۲ نتیجه ممکن است رخ داده باشد. (چرا؟)

گزینهٔ ۲ درست است.

این مسئله، مشابه تمرین ۲۰ صفحهٔ ۱۰۱ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم، و همچنین مشابه تمرین‌ ۷ صفحهٔ ۵۶ و تمرین ۱۵ صفحهٔ ۵۹ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم است.

تمرین ۲۰ صفحهٔ ۱۰۱ (هشتم)

۸. ۶. ۳. ۲۰. در شکل زیر، $\widehat{B}=120^\circ$ و مثلث $ACD$ متساوی‌الاضلاع است.

ثابت کنید:
الف) پاره‌خط $BD$ نیم‌ساز زاویهٔ $B$ است.
ب) $BD=AB+BC$.

راهنمایی: $BC$ را از طرف $B$ به اندازهٔ $AB$ امتداد دهید و نقطه انتها را $E$ بنامید. سپس ثابت کنید دو مثلث $ABD$ و $AEC$ هم‌نهشت‌اند.

راهنمای حل

همان‌طور که در راهنماییِ مسئله گفته شده است عمل کنیم. در زیر، شکلِ راه‌حل را دوبار رسم کرده‌ایم تا مثلث‌هایی که می‌خواهیم هم‌نهشتیِ آنها را ثابت کنیم، واضح‌تر دیده شوند.

مثلث $ABE$ متساوی‌الاضلاع است. (چرا؟)

برای معلمان. این تمرین مشابه تمرین‌های ۹. ۳. ۵. ۱۵ و ۹. ۳. ۵. ۷ است. اینکه دانش‌آموز ارتباط بین تمرین‌های مشابه را بفهمد بسیار مهم است.

تمرین‌ ۷ صفحهٔ ۵۶ (نهم)

۹. ۳. ۵. ۷. سه نقطهٔ $A$، $B$ و $C$ دایره‌ای را به سه کمان برابر تقسیم کرده‌اند و $M$ نقطه‌ای دلخواه روی کمان $AC$ است. ثابت کنید وتر $MB$ با مجموع وترهای $MA$ و $MC$ برابر است.

راهنمای حل

سه کمان $AB$، $AC$، و $BC$ برابرند. پس:
\[\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}=\frac{360^\circ}{3}=120^\circ.\quad (1)\]

بنابراین:
\[A\widehat{M}B=C\widehat{M}B=60^\circ.\quad (2)\]
(چرا؟)

وتر $CM$ را (از طرف $M$) به‌اندازهٔ $MA$ امتداد می‌دهیم تا نقطهٔ $D$ به‌دست آید. مثلث $AMD$ متساوی‌الاضلاع است. (چرا؟)

بنابراین، دو مثلث $ABM$ و $ACD$ هم‌نهشت هستند. (چرا؟)

در نتیجه:
\[\begin{aligned}&CD=BM\\&\Rightarrow CM+MD=BM\\&\Rightarrow CM+MA=BM.\end{aligned}\]

راهنمای حل (۲)

نقشهٔ راه. نقطهٔ \(N\) را طوری روی \(MB\) انتخاب می‌کنیم که \(MN=MC\). در نتیجه مثلث \(CMN\) متساوی‌الاضلاع است. حال می‌توان ثابت کرد که دو مثلث \(ACM\) و \(BCN\) در حالت ززض همنهشت‌اند. پس \(BN=AM\) و در نتیجه \(AM+CM=BM\).

برای معلمان. این تمرین مشابه تمرین‌های ۸. ۶. ۳. ۲۰ و ۹. ۳. ۵. ۱۵ است. اینکه دانش‌آموز ارتباط بین تمرین‌های مشابه را بفهمد بسیار مهم است.

تمرین ۱۵ صفحهٔ ۵۹ (نهم)

۹. ۳. ۵. ۱۵. در مثلث $ABC$، $\widehat{A}=120^\circ$. روی نیم‌ساز زاویهٔ $A$ نقطهٔ $D$ طوری انتخاب شده است که $AD=AB+AC$. اندازهٔ زاویه‌های مثلث $BDC$ چقدر هستند؟

راهنمای حل

ضلع $AC$ را (از طرف $A$) به‌اندازهٔ $AB$ امتداد می‌دهیم و نقطهٔ حاصل را $E$ می‌نامیم.

چون بنابه فرض مسئله $B\widehat{A}C=120^\circ$، پس در مثلث $ABE$ داریم:

\[AB=AE, B\widehat{A}E=60^\circ.\]

در نتیجه مثلث $ABE$ متساوی‌الاضلاع است(؟).
دو مثلث $ABD$ و $EBC$ در حالت دو ضلع و زاویهٔ بین هم‌نهشت‌اند. (چرا؟)

برای معلمان. این تمرین مشابه تمرین‌های ۸. ۶. ۳. ۲۰ و ۹. ۳. ۵. ۷ است. اینکه دانش‌آموز ارتباط بین تمرین‌های مشابه را بفهمد بسیار مهم است.

می‌دانیم \(AB\parallel DG\) و ضلع ‌\(BC\) این دو خط موازی را قطع کرده است. پس بنابه قضیهٔ خطوط موازی و مورب، داریم: \[\widehat{B}=D\widehat{G}C=60^\circ.\quad(1)\]

پس می‌توان ثابت کرد:
\[DG=CE.\quad(2)\] (چگونه؟)

پاره‌خط \(DG\) را از طرف \(D\) امتداد می‌دهیم تا ضلع \(AC\) را در نقطهٔ \(M\) قطع کند. در این‌صورت:
\[DF=AM.\quad(3)\]
(چرا؟)

\[\begin{aligned}&\Big((A-B)\cup(B-C)\Big)-(A\cup C)\\&=\Big(\big(\{1,2\}-\{2,3,4\}\big)\cup\big(\{2,3,4\}-\{4,5\}\big)\Big)-\big(\{1,2\}\cup\{4,5\}\big)\\&=\Big(\{1\}\cup\{2,3\}\Big)-\{1,2,4,5\}\\&=\{1,2,3\}-\{1,2,4,5\}\\&=\{3\}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

\[\begin{aligned}&0.\overline{10}-0.\overline{11}+0.\overline{12}-0.\overline{13}+\dots+0.\overline{98}-0.\overline{99}\\&=\big(0.\overline{10}-0.\overline{11}\big)+\big(0.\overline{12}-0.\overline{13}\big)+\dots+\big(0.\overline{98}-0.\overline{99}\big)\\&=\big(-0.\overline{01}\big)+\big(-0.\overline{01}\big)+\dots+\big(-0.\overline{01}\big)\\&=45\times \big(-0.\overline{01}\big)\\&=-0.\overline{45}.\end{aligned}\]
بنابراین گزینهٔ ۱ درست است.

گزینهٔ ۱ مجموعهٔ تهی را معرفی می‌کند.
چرا؟

گزینهٔ ۲ مجموعهٔ تهی را معرفی می‌کند.
چرا؟

گزینهٔ ۳ مجموعهٔ تهی را معرفی نمی‌کند.

چرا؟

گزینهٔ ۴ مجموعهٔ تهی را معرفی می‌کند.
چرا؟

بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

مسئله‌ٔ مشابه

تمرین ۲ صفحهٔ ۳۴ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم

\[\begin{aligned}&|2x-3|=|7-3x|\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&2x-3=7-3x\Rightarrow5x=10\Rightarrow x=2\\&2x-3=-(7-3x)\Rightarrow2x-3=-7+3x\Rightarrow4=x.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

اگر \(x\) منفی باشد، آن‌وقت:
\(\bullet\) \(\sqrt[3]{x}\) منفی است؛ زیرا ریشهٔ سوم هر عدد منفی، عددی منفی است.
\(\bullet\) \(-x^{-1}\) مثبت است؛ زیرا: \[-x^{-1}=-\,\frac{1}{\underbrace{x}_{<0}}>0.\]
\(\bullet\) \(-x^2\) منفی است؛ زیرا: \[-\,\underbrace{x^2}_{>0}<0.\] \(\bullet\) \(\frac{x}{|x|}\) منفی است؛ زیرا:\[\frac{\overbrace{x}^{<0}}{\underbrace{|x|}_{>0}}<0.\] بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

\[\begin{aligned}&-33\times\big|3^2-10.\overline{72}\big|\\&=-33\times\big|9-(10+0.\overline{72})\big|\\&=-33\times\Big|9-10-\frac{72}{99}\Big|\\&=-33\times\Big|-1-\frac{72}{99}\Big|\\&=-33\times\Big|-\frac{171}{99}\Big|\\&=-33\times\Big|-\frac{57}{33}\Big|\\&=-33\times\frac{57}{33}\\&=-57.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

ارتفاع استوانه را با \(h\) نمایش می‌دهیم.
\[\begin{aligned}&\frac{4}{3}\pi a^3=\pi\big(\frac{3}{2}\big)^2\times h\\[8pt]&\frac{12}{3}=\frac{h}{4}\Rightarrow h=16.\end{aligned}\]

چون
\[\begin{aligned}\frac{a+b}{a-b}=\frac{7}{5}&\Rightarrow5a+5b=7a-7b\\&\Rightarrow12b=2a\\&\Rightarrow6b=a\end{aligned}\]
پس:
\[\begin{aligned}\frac{3a+2b}{3b}&=\frac{3(6b)+2b}{3b}\\[7pt]&=\frac{20b}{3b}\\[7pt]&=\frac{20}{3}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

گزینهٔ ۲ صحیح است.
طبق تعریف کسری که صورت و مخرج آن یک چندجمله‌ای باشد، گویا است. بین عبارت‌های داده شده فقط صورت و مخرج، $\dfrac{5\sqrt{7}}{a}$ و $\dfrac{\sqrt{\pi}}{2a-3b}$ چندجمله‌ای هستند.

گزینهٔ ۲ صحیح است.
\[\begin{aligned}&\sqrt{8-\sqrt{60}}+\sqrt{10+2\sqrt{21}}\\&=\sqrt{8-\sqrt{4\times15}}+\sqrt{10+2\sqrt{21}}\\&=\sqrt{8-2\sqrt{15}}+\sqrt{10+2\sqrt{21}}\\&=\sqrt{5+3-2\sqrt{5\times 3}}+\sqrt{7+3+2\sqrt{7\times 3}}\\&=\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}+\sqrt{(\sqrt{7}+\sqrt{3})^2}\\&=|\sqrt{5}-\sqrt{3}|+|\sqrt{7}+\sqrt{3}|\\&=\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{7}+\sqrt{3}\\&=\sqrt{5}+\sqrt{7}.\end{aligned}\]