آزمون ریاضی شبیه‌ساز تیزهوشان و نمونه دولتی، تعیین مرکز، و جانمایی نهم به دهم

ابتدا نقاطی از شکل را به‌صورت زیر، نام‌گذاری می‌کنیم.

سپس، پاره‌خط \(AD\) را (از طرف \(A\)) به‌اندازهٔ خودش امتداد می‌دهیم تا نقطهٔ \(P\) به‌دست آید.

گزاره. برای هر نقطهٔ \(N\) روی پاره‌خط \(AB\) داریم:
\[DN=PN.\quad(1)\]
(چرا؟)

در این مسئله می‌خواهیم نقطه‌ای، مانند \(N\)، روی پاره‌خط \(AB\) بیابیم به‌طوری‌که \(CN+DN\) کمترین مقدار ممکن شود. برای این‌ کار، از \(C\) به \(P\) پاره‌خطی رسم کنیم و محل برخورد آن با \(AB\) را \(N\) می‌نامیم. در این حالت، \(CN+DN\) کوتاهترین کابل است. (چرا؟)

در نتیجه، با استفاده از قضیهٔ فیثاغورس، طول کوتاهترین کابل ممکن برابر \(\sqrt{181}\) است. (چرا؟)

پرسش. در راه‌حل بالا، چند نقطه، مانند \(N\)، روی پاره‌خط \(AB\) وجود دارد که \(CN+DN\) کمترین مقدار ممکن شود؟

مسئله‌های مشابه

۱. تمرین ۸ صفحهٔ ۹۷ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم

۲. مطابق شکل زیر، سعید می‌خواهد از گوشهٔ زمین به حسین پاس بدهد تا حسین، توپ را به تیر دروازه بزند. حسین، از فاصلهٔ ۵ متری خط دروازه، در چه فاصله‌ای از سعید بایستد تا توپ در مجموع کوتاهترین مسیر ممکن را طی کند؟ (می دانیم عرض این زمین فوتبال ۴۰ متر و طول دروازه ۸ متر است.)

\(\bullet\) هر دو مربع متشابه هستند. زیرا، زاویه‌های آنها برابر است و ضلع‌ها به یک نسبت بزرگ یا کوچک می‌شوند.
\(\bullet\) هر دو لوزی متشابه نیستند. برای مثال، یک لوزی که هر چهار زاویه‌ٔ آن قائمه است با لوزی دیگری که دو زاویهٔ \(30\) درجه و دو زاویهٔ \(60\) درجه دارد، متشابه نیستند.
\(\bullet\) هر دو مستطیل متشابه نیستند. برای مثال، یک مستطیل با طول و عرض \(2\) و \(1\)، با مستطیل دیگری با طول و عرض \(3\) و \(1\) متشابه نیست.
\(\bullet\) هر دو متوازی‌الاضلاع متشابه نیستند. به‌عنوان مثال نقض، می‌توان مثالی را که برای لوزی‌ها (یا مثالی را که برای مستطیل‌ها) نوشته شد، در نظر گرفت.

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

در یک مستطیل لبه‌سفید، اگر \(n=4\)، آنگاه \(r=1-\frac{4}{m+2}\).
چرا؟

از طرفی، می‌دانیم \(r=\frac{a}{23}\). پس:
\[\begin{aligned}&1-\frac{4}{m+2}=\frac{a}{23}\\[7pt]&\Rightarrow1-\frac{a}{23}=\frac{4}{m+2}\\[7pt]&\Rightarrow\frac{23-a}{23}=\frac{4}{m+2}\\[7pt]&\Rightarrow(23-a)(m+2)=4\times23.\end{aligned}\] چون \(m\geq3\)، پس \(m+2\geq5\) و از آنجا که \(m\) عددی طبیعی است، نتیجه می‌گیریم که \(23-a\) نیز عددی طبیعی است و بنابراین، \(a<23\). از طرفی، \[\begin{aligned}&4\times23\\&=1\times92\\&=2\times46.\end{aligned}\] در نتیجه، سه مقدار متفاوت برای \(a\) وجود دارد:
\[\begin{aligned}&23-a=4\Rightarrow 19=a\\&23-a=1\Rightarrow22=a\\&23-a=2\Rightarrow21=a.\end{aligned}\]

در بین اعدادِ
\[0.\overline{1}, 0.\overline{2}, 0.\overline{3}, \dots , 0.\overline{1396}\]اعداد برابر را پیدا می‌کنیم:
\[\begin{aligned}&0.\overline{1}=0.\overline{11}=0.\overline{111}=0.\overline{1111}\\&0.\overline{2}=0.\overline{22}=0.\overline{222}\\&0.\overline{3}=0.\overline{33}=0.\overline{333}\\&0.\overline{4}=0.\overline{44}=0.\overline{444}\\&0.\overline{5}=0.\overline{55}=0.\overline{555}\\&0.\overline{6}=0.\overline{66}=0.\overline{666}\\&0.\overline{7}=0.\overline{77}=0.\overline{777}\\&0.\overline{8}=0.\overline{88}=0.\overline{888}\\&0.\overline{9}=0.\overline{99}=0.\overline{999}\\&0.\overline{10}=0.\overline{1010}\\&0.\overline{12}=0.\overline{1212}\\&0.\overline{13}=0.\overline{1313}\\\end{aligned}\]
در نتیجه، تعداد اعضای این مجموعه برابر است با:
\[1396-22=1374.\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

پاسخ تشریحی

اگر \(A\) عددی مثبت باشد، آنگاه: \[\frac{A}{|A|}=\frac{A}{A}=1.\]
اگر \(A\) عددی منفی باشد، آنگاه: \[\frac{A}{|A|}=\frac{A}{-A}=-1.\]
چون \(xyz < 0\)، پس از بین سه متغیر \(x\)، \(y\)، و \(z\)، دوتای آنها هم‌علامتند.
\(\bullet\) اگر از بین \(x\)، \(y\)، و \(z\)، دوتا متغیر، مثبت باشند و دیگری منفی، آنگاه داریم:
\[\begin{aligned}&\frac{x}{|x|}+\frac{y}{|y|}+\frac{z}{|z|}+{\color{red}\frac{xyz}{|xyz|}}\\[7pt]&=1+1+(-1)+{\color{red}(-1)}\\&=0.\end{aligned}\]
\(\bullet\) اگر از بین \(x\)، \(y\)، و \(z\)، دوتا متغیر، منفی باشند و دیگری مثبت، آنگاه داریم:
\[\begin{aligned}&\frac{x}{|x|}+\frac{y}{|y|}+\frac{z}{|z|}+{\color{red}\frac{xyz}{|xyz|}}\\[7pt]&=-1+(-1)+1+{\color{red}(-1)}\\&=-2.\end{aligned}\] بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

\[\begin{aligned}27^{12}&=\big(9\times3\big)^{12}\\&=9^{12}\times3^{12}\\&=9^{12}\times\big(3^2\big)^6\\&=9^{12}\times9^6\\&=9^{18}\\&=\big(9^9\big)^2.\end{aligned}\]

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

\[R=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{4+5}=\sqrt{9}=3.\]
نسبت کمان حاصل از گستردهٔ روی مخروط به کل دایرهٔ آن برابر است با:
\[x=\frac{2}{3}.\] پس مساحت رویهٔ مخروط برابر است با:
\[\pi\times9\times\frac{2}{3}=6\pi.\] در نتیجه، مساحت قاعدهٔ مخروط برابر است با:
\[\pi(2)^2=4\pi.\] بنابراین، مساحت کل مخروط برابر است با:
\[6\pi+4\pi=10\pi.\]

عبارت $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{1023}$ را به \(10\) دسته تقسیم می‌کنیم:
\[\begin{aligned}A_0&=\frac{1}{1}\\[7pt]A_1&=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\\[7pt]A_2&=\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}\\[7pt]A_3&=\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\cdots+\frac{1}{15}\\[7pt]A_4&=\frac{1}{16}+\frac{1}{17}+\cdots+\frac{1}{31}\\[7pt]A_5&=\frac{1}{32}+\frac{1}{33}+\cdots+\frac{1}{63}\\[7pt]A_6&=\frac{1}{64}+\frac{1}{65}+\cdots+\frac{1}{127}\\[7pt]A_7&=\frac{1}{128}+\frac{1}{129}+\cdots+\frac{1}{255}\\[7pt]A_8&=\frac{1}{256}+\frac{1}{257}+\cdots+\frac{1}{511}\\[7pt]A_9&=\frac{1}{512}+\frac{1}{513}+\cdots+\frac{1}{1023}\\\end{aligned}\]
باتوجه‌به دسته‌بندی بالا، می‌توان ثابت کرد:
\[\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{1023}+\frac{1}{1024}>5\]
(چگونه؟)

همچنین، می‌توان ثابت کرد:
\[\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{1023}+\frac{1}{1024}<10\]
(چگونه؟ )

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

بد نیست مقدار تقریبی عبارت $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{1024}$ را ببینیم. این مقدار، با چند خط برنامه‌نویسی ساده به‌دست می‌آید:
\[\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{1024}\simeq 7.509175672\]

برای معلمان. ایدهٔ طرح این سؤال از ایدهٔ اثبات واگرا بودن سری زیر گرفته شده است:
\[\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\]

برای آشنایی بیشتر با سری بالا اینجا را کلیک کنید.

\[\begin{aligned}&bc-ab+b^2-ac\\&=b^2-ab+bc-ac\\&=b(b-a)+c(b-a)\\&=(b-a)(b+c).\end{aligned}\]
گزینهٔ ۱ صحیح است.
از رابطهٔ $a-b=7$ نتیجه می‌گیریم $b-a=-7$ و
\[\begin{aligned}&(b-a)+(c+a)\\&=-7+(-2)\\b+c&=-9.\end{aligned}\]
پس عبارت داده شده برابر است با
\[\begin{aligned}&bc-ab+b^2-ac\\&=(b-a)(b+c)\\&=(-7)\times (-9)\\&=63.\end{aligned}\]