آزمون ریاضی شبیه‌ساز تیزهوشان و نمونه دولتی، تعیین مرکز، و جانمایی نهم به دهم

دوتا. (چگونه؟)

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

پرسش. یک $n$-ضلعی منتظم داده شده است. چند تا چندضلعی منتظم درون این $n$-ضلعی منتظم می‌توان رسم کرد که همهٔ رأس‌های هریک از آنها روی رأس‌های $n$-ضلعی منتظم داده شده باشند؟
 

برای \(n\ne-3\)، داریم: \(A=n-2\). (چرا؟)

واضح است که
\[(B-C)\subseteq A.\]
(چرا؟)

این مسئله با توجه به تعریف زنجیر که در صفحهٔ ۵ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم ارائه شده، طرح شده است.

\(\bullet\) نقاط رنگ‌شده یک پاره‌خط به‌وجود نمی‌آورند؛ چون می‌دانیم بین هر دو عدد گنگ، عددی گویا وجود دارد.
\(\bullet\) تعداد نقاطی که رنگ‌کرده‌ایم بی‌شمار است؛ چون می‌دانیم بین دو عدد گنگ، بی‌شمار عدد گنگ وجود دارد.
\(\bullet\) تعداد نقاطی که بین \(\sqrt{2}\) و \(\sqrt{5}\) هستند و رنگ نشده‌اند، بی‌شمار است؛ چون می‌دانیم بین هر دو عدد گنگ، بی‌شمار عدد گویا وجود دارد.
\(\bullet\) تمام نقاطی که اعدادی با بی‌شمار رقم اعشاری را نمایش می‌دهند، رنگ نشده‌اند؛ چون می‌دانیم بین \(\sqrt{2}\) و \(\sqrt{5}\)، بی‌شمار عدد گویا وجود دارد که نمایش اعشاری آنها مختوم نیست.

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

پاسخ تشریحی

می‌دانیم \(a-b\) یک عدد صحیح و \(a+b\) عددی گویا و غیرصحیح است. از طرفی، واضح است که مجموع یک عدد صحیح و یک عدد گویای غیرصحیح، یک عدد گویای غیر صحیح است. پس:
\[(a-b)+(a+b)=2a\] یک عدد گویای غیرصحیح است. در نتیجه:
\[a\in(\mathbb{Q}-\mathbb{Z}).\] بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.
حال، باید نشان دهیم که گزینه‌های دیگر نادرست هستند تا مطمئن شویم که این سؤال درست است.
\(\bullet\) در راه‌حل بالا، نشان دادیم که \(2a\) یک عدد گویای غیرصحیح است. پس، گزینهٔ ۱ نادرست است.
\(\bullet\) اگر گزینهٔ ۲ درست باشد، آنگاه از \((a-b)\in\mathbb{Z}\) نتیجه می‌شود که \(a\) نیز یک عدد صحیح است. پس \(a+b\) نیز عددی صحیح می‌شود که با فرض مسئله در تناقض است. پس گزینهٔ ۲ نادرست است.
\(\bullet\) اگر گزینهٔ ۴ درست باشد، آنگاه \(a+b=0\) که این با فرض \((a+b)\in (\mathbb{Q}-\mathbb{Z})\) در تناقض است. پس گزینهٔ‌ ۴ نیز نادرست است.

برای دو عدد $a$ و $b$، $|a-b|$ یعنی فاصلهٔ این دو عدد روی محور اعداد. فاصلهٔ این دو عدد را با یک پاره‌خط صورتی نشان می‌دهیم.

در شکل بالا فرض کرده‌ایم $b>a$.
بنابه فرض مسئله،
\[\begin{aligned}&6|a-b|=6|b-c|\\&\Rightarrow |a-b|=|b-c|\end{aligned}\]
یعنی فاصلهٔ دو عدد $b$ و $c$ با فاصلهٔ دو عدد $a$ و $b$ برابر است. بنابراین $c>b$. (چرا؟)

پرسش. چرا در حالت $b < a$ نیز همین نتایج به‌دست می‌آید؟

پاسخ تشریحی

\[\begin{aligned}\big(1-\sqrt{2}\,\big)^{-2}&=\left(\frac{1}{1-\sqrt{2}}\right)^2\\[7pt]&=\left(\frac{1}{1-\sqrt{2}}\times\frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\right)^2\\[7pt]&=\left(\frac{1+\sqrt{2}}{1-2}\right)^2\\&=\left(\frac{1+\sqrt{2}}{-1}\right)^2\\[7pt]&=\frac{\big(1+\sqrt{2}\,\big)^2}{(-1)^2}\\[7pt]&=\frac{1+2\sqrt{2}+2}{1}\\[7pt]&=3+2\sqrt{2}.\end{aligned}\] بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

مسئلهٔ مشابه

تمرین ۱ صفحهٔ ۷۳ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم

پاسخ تشریحی

\[\begin{aligned}&\sqrt{0.025\times10^{-7}}\\&=\sqrt{25\times10^{-3}\times10^{-7}}\\&=\sqrt{25\times10^{-10}}\\&=5\times10^{-5}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

\[\begin{aligned}&\frac{4}{3}\pi(3)^3-\frac{4}{3}\pi(2)^3\\&=\frac{4}{3}\pi(27)-\frac{4}{3}\pi(8)\\&=\frac{4}{3}\pi(27-8)\\&=\frac{4}{3}\pi(19)\\&=\frac{76}{3}\pi.\end{aligned}\]

اگر سه عدد فرد متوالی را با \(x-2\)، \(x\)، و \(x+2\) نمایش دهیم، آن‌وقت:
\[\begin{aligned}&(x-2)+x+(x+2)=69\\&\Rightarrow3x=69\\&\Rightarrow x=23\\&\Rightarrow x^2=529.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

\[\begin{aligned}&(x-3)(x^2-3x+9)\\&=x(x^2-3x+9)-3(x^2-3x+9)\\&=x^3-3x^2+9x-3x^2+9x-27\\&=x^3-6x^2+18x-27.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

توجه کنید که بنابه گفتهٔ مسئله $a$ و $b$ اعدادی صحیح هستند؛ یعنی فقط $x$ را باید متغیر در نظر گرفت.
\[\begin{aligned}&(x^2+ax+1)(x+b)\\&=x^2(x+b)+ax(x+b)+1(x+b)\\&=x^3+bx^2+ax^2+abx+x+b\\&=x^3+(b+a)x^2+(ab+1)x+b.\end{aligned}\]
پس، اگر به‌جای $a$ و $b$ هر عدد صحیحی قرار دهیم، تعداد جمله‌های حاصل‌ضرب نمی‌تواند بیشتر از چهارتا باشد.

بنابراین، تعداد جمله‌های حاصل‌ضرب نمی‌تواند پنج‌تا باشد.

برای اینکه بدانیم سؤال درست است یا نه، باید نشان دهیم که تعداد جمله‌های حاصل‌ضرب می‌تواند دوتا، سه‌تا یا چهارتا باشد؛ برای اثبات این ادعا کافی است برای هریک از مواردی که گفتیم حداقل یک مثال بیاوریم.
مثال برای چهار جمله؟

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

پرسش. چند عدد صحیح مانند $a$ و $b$ وجود دارد به‌طوری‌که حاصل عبارت $(x^2+ax+1)(x+b)$، چهار جمله داشته باشد؟ در صورت وجود، حداقل دو مثال برای $a$ و $b$ بیاورید.
چند عدد صحیح مانند $a$ و $b$ وجود دارد به‌طوری‌که حاصل عبارت $(x^2+ax+1)(x+b)$، سه جمله داشته باشد؟ در صورت وجود، حداقل دو مثال برای $a$ و $b$ بیاورید.
چند عدد صحیح مانند $a$ و $b$ وجود دارد به‌طوری‌که حاصل عبارت $(x^2+ax+1)(x+b)$، دو جمله داشته باشد؟ در صورت وجود، حداقل دو مثال برای $a$ و $b$ بیاورید.