آزمون ریاضی شبیه‌ساز تیزهوشان و نمونه دولتی، تعیین مرکز، و جانمایی نهم به دهم

ابتدا باید همهٔ اعدادی مانند \(a\) را پیدا کنیم به‌طوری‌که \[a\in\{x\in\mathbb{N}\mid250\leq x\leq650\}\] و \(a\) مضرب \(11\) باشد. این اعداد عبارتند از:
\[253,264,275,\dots,649\] که تعداد آن‌ها برابر است با:\[\begin{aligned}\frac{649-253}{11}+1&=\frac{396}{11}+1\\&=36+1\\&=37.\end{aligned}\] حال، مقدار \(P\) را به‌دست می‌آوریم:
\[P=\frac{37}{650-250+1}={\color{red}\frac{37}{401}}.\]
اگر صورت دو کسر برابر باشد، کسری بزرگ‌تر است که مخرج کمتری دارد. بنابراین، \({\color{red}\frac{37}{401}} < \frac{37}{400}\). از طرفی، بنابه خاصیت آب‌نمکی در تمرین ۴ صفحهٔ ۳۵ (روش ملیحه) کتاب ریاضیات تکمیلی نهم دیدید، داریم:
\[\begin{aligned}&\frac{36}{400}<\frac{36+1}{400+1}<\frac{1}{1}\\[7pt]&\frac{36}{400}<{\color{red}\frac{37}{401}}<\frac{1}{1}.\end{aligned}\] پس داریم:
\[\begin{aligned}\frac{36}{400}<{\color{red}\frac{37}{401}}<\frac{37}{400}<\frac{38}{400}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

ابتدا رئوس شکل را به‌صورت زیر نام‌گذاری می‌کنیم.

چهارضلعی $DEFB$ را در نظر بگیرید. بنابه قضیهٔ دندان کوسه، داریم:
\[D\widehat{B}F=\widehat{D}+\widehat{E}+\widehat{F}\quad (1)\]
از طرفی، دو زاویهٔ $DBF$ و $ABC$ متقابل‌به‌رأس هستند؛ پس
\[A\widehat{B}C=D\widehat{B}F\quad (2)\]
از رابطه‌های (۱) و (۲) و اینکه مجموع زاویه‌های مثلث $ABC$ برابر ۱۸۰ درجه است، داریم:
\[\begin{aligned}&A\widehat{B}C+\widehat{A}+\widehat{C}=180^\circ\\&\Rightarrow D\widehat{B}F+\widehat{A}+\widehat{C}=180^\circ\\&\Rightarrow \big(\widehat{D}+\widehat{E}+\widehat{F}\big)+\widehat{A}+\widehat{C}=180^\circ.\end{aligned}\]
بنابراین گزینهٔ ۱ درست است.

در متوازی‌الاضلاع زاویه‌های روبه‌رو برابرند(؟). پس: \[\widehat{A}=\widehat{C}=50^\circ.\quad(1)\]

\(BC'\) بر \(BC\) عمود است. (چرا؟)

حال با استفاده از رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) می‌توانیم اندازهٔ زاویهٔ \(C'CD\) را به‌دست آوریم:
\[\begin{aligned}C'\widehat{C}D&=\widehat{C}+B\widehat{C}C'\\&=50^\circ+45^\circ\\&=95^\circ.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

باید مقادیری را پیدا کنیم که به‌ازای آنها مخرج کسر داده شده، برابر صفر می‌شود.
\[\begin{aligned} &(x^2+16-10x)(x^4-5x^2+4)=0\\&\Rightarrow(x-8)(x-2)(x^2-4)(x^2-1)=0\\&=(x-8)(x-2)(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)=0\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned} &x-8=0\Rightarrow x=8\\&x-2=0\Rightarrow x=2\\&x+2=0\Rightarrow x=-2\\&x-1=0\Rightarrow x=1\\&x+1=0\Rightarrow x=-1.\end{aligned}\right.\end{aligned}\] بنابراین، کسر داده شده، به‌ازای مقادیر \(8\)، \(2\)، \(-2\)، \(1\)، و \(-1\) تعریف نشده است.

می‌دانیم که \(A\) مجموعه‌ای ناتهی است. پس \(n(A\cup B)\ne0\). همچنین، می‌دانیم:
\[n(A\cup B)=n(A-B)+n(B-A)+n(A\cap B).\] پس هر سه مقدار \(n(A-B)\)، \(n(B-A)\)، و \(n(A\cap B)\) نمی‌توانند برابر \(0\) باشند.

حال، با توجه به رابطهٔ \[\begin{aligned}&3 \times n(A-B)\\& = 2 \times n(B-A)\\& = 5 \times n(A \cap B)\end{aligned}\] و اینکه می‌خواهیم حداقل مقدار \(n(B)\) را بیابیم، باید کوچک‌ترین عدد طبیعی را پیدا کنیم که هم بر \(2\)، هم بر \(3\)، و هم بر \(5\) بخش‌پذیر باشد. واضح است که این عدد ک‌م‌م سه عدد \(2\)، \(3\)، و \(5\) است؛ یعنی \(30\). بنابراین:
\[\begin{aligned}&n(A-B)=10\\&n(B-A)=15\\&n(A\cap B)=6.\end{aligned}\] در نتیجه:
\[\begin{aligned}n(B)&=n(B-A)+n(A\cap B)\\&=15+6\\&=21.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

گزینهٔ ۱ نادرست است.
چرا؟

گزینهٔ ۲ درست است.
چرا؟

گزینهٔ ۳ درست است.
چرا؟

گزینهٔ ۴ درست است.
چرا؟

\[\begin{aligned}&2\sqrt[3]{A}=\frac{2}{3}\\[7pt]&\Rightarrow\sqrt[3]{A}=\frac{1}{3}\\[7pt]&\Rightarrow\big(\sqrt[3]{A}\big)^3=\big(\frac{1}{3}\big)^3\\[7pt]&\Rightarrow A=\frac{1}{3^3}\\[7pt]&\Rightarrow\sqrt{A}=\sqrt{\frac{1}{3^3}}\\[7pt]&\Rightarrow\sqrt{A}=\frac{1}{\sqrt{3^3}}\\[7pt]&\Rightarrow\sqrt{A}=\frac{1}{3\sqrt{3}}\\[7pt]&\Rightarrow3\sqrt{A}=\frac{1}{\sqrt{3}}\\[7pt]&\Rightarrow3\sqrt{A}=\frac{1}{\sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\[7pt]&\Rightarrow3\sqrt{A}=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

\(0.25=2^{-2}\) (چرا؟)

\[\begin{aligned}&\pi(12)^2(25)-\frac{4}{3}\pi(10)^3\\&=\pi(144)(25)-\frac{4}{3}\pi(1000)\\&=3600\pi-\frac{4000}{3}\pi\\&=\frac{6800}{3}\pi.\end{aligned}\]

عبارت $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{1023}$ را به \(10\) دسته تقسیم می‌کنیم:
\[\begin{aligned}A_0&=\frac{1}{1}\\[7pt]A_1&=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\\[7pt]A_2&=\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}\\[7pt]A_3&=\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\cdots+\frac{1}{15}\\[7pt]A_4&=\frac{1}{16}+\frac{1}{17}+\cdots+\frac{1}{31}\\[7pt]A_5&=\frac{1}{32}+\frac{1}{33}+\cdots+\frac{1}{63}\\[7pt]A_6&=\frac{1}{64}+\frac{1}{65}+\cdots+\frac{1}{127}\\[7pt]A_7&=\frac{1}{128}+\frac{1}{129}+\cdots+\frac{1}{255}\\[7pt]A_8&=\frac{1}{256}+\frac{1}{257}+\cdots+\frac{1}{511}\\[7pt]A_9&=\frac{1}{512}+\frac{1}{513}+\cdots+\frac{1}{1023}\\\end{aligned}\]
باتوجه‌به دسته‌بندی بالا، می‌توان ثابت کرد:
\[\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{1023}+\frac{1}{1024}>5\]
(چگونه؟)

همچنین، می‌توان ثابت کرد:
\[\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{1023}+\frac{1}{1024}<10\]
(چگونه؟ )

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

بد نیست مقدار تقریبی عبارت $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{1024}$ را ببینیم. این مقدار، با چند خط برنامه‌نویسی ساده به‌دست می‌آید:
\[\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{1024}\simeq 7.509175672\]

برای معلمان. ایدهٔ طرح این سؤال از ایدهٔ اثبات واگرا بودن سری زیر گرفته شده است:
\[\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\]

برای آشنایی بیشتر با سری بالا اینجا را کلیک کنید.

با جایگذاری مقدار به‌جای $a$ و $b$ می‌توان گزینهٔ درست را یافت. چون $a+b=10$، قرار می‌دهیم $a=10$ و $b=0$؛ دراین‌صورت داریم:‌
\[\begin{aligned}&5a^2+a^2b+ab^2+5b^2\\&=5(10)^2+(10^2)(0)+(10)(0)^2+5(0)^2\\&=5\times 100\\&=500.\end{aligned}\]
پس گزینهٔ ۳ درست است.

پرسش. اگر هر عدد دیگری به‌جای $a$ و $b$ انتخاب کنیم به‌طوری‌که $a+b=10$، آیا بازهم حاصل $5a^2+a^2b+ab^2+5b^2$ برابر ۵۰۰ است؟
پاسخ. بله!
برای اینکه ثابت کنیم پاسخ پرسش بالا همواره «بله» است، لازم است که درستی تساوی زیر را (برای هر مقدار $a$ و $b$) پذیرفته باشیم.
\[a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\]
چرا تساوی بالا همواره درست است؟