آزمون ریاضی شبیه‌ساز تیزهوشان و نمونه دولتی، تعیین مرکز، و جانمایی نهم به دهم

اگر برای سادگی قرار دهیم \(\widehat{B}=x\)، آن‌وقت می‌توان اندازهٔ هریک زاویه‌های دو مثلث \(ABE\) و \(ADF\) را برحسب \(x\) نوشت:

(چرا؟)

بنابراین، چون مثلث \(AEF\) متساوی‌الاضلاع است، پس دو زاویهٔ \(CEF\) و \(CFE\) برابرند.

(چرا؟)

(چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

اندازهٔ هریک از زاویه‌های نُه‌ضلعی منتظم داده شده برابر است با:
\[\frac{(9-2)\times180^\circ}{9}=\frac{7\times180^\circ}{9}=140^\circ.\]
بنابراین، می‌توان اندازهٔ چهار زاویهٔ چهارضلعی زردرنگ شکل زیر را به‌دست آورد.

می‌دانیم که مجموع زاویه‌های هر چهارضلعی برابر \(360^\circ\) است(؟). پس اندازهٔ زاویه‌ای که با علامت سؤال مشخص شده، برابر است با:
\[360^\circ-40^\circ-220^\circ-40^\circ=60^\circ.\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

ابتدا گستردهٔ مقسوم‌علیه را محاسبه می‌کنیم:
\[\begin{aligned}&(x-1)^2(x+1)\\&=(x^2-2x+1)(x+1)\\&=x^3+x^2-2x^2-2x+x+1\\&=x^3-x^2-x+1.\end{aligned}\] حال، \(mx^4+nx+2\) را بر \(x^3-x^2-x+1\) تقسیم می‌کنیم:

برای اینکه باقی‌ماندهٔ تقسیم برابر صفر شود، باید داشته باشیم:
\[\begin{aligned}\left\{\begin{aligned}&2m=0\\&n=0\\&2-m=0\end{aligned}\right.\end{aligned}\] چون دستگاه معادلات بالا جواب ندارد، پس هیچ مقداری برای \(m\) و \(n\) وجود ندارد به‌طوری که چندجمله‌ای \(mx^4+nx+2\) بر \((x-1)^2(x+1)\) بخش‌پذیر باشد.

چون تعداد افرادی که تنها به یک ورزش علاقه دارند، \(21\) نفر است، پس \(m=4\). (چرا؟)

پس \(25\) نفر تنها به \(2\) ورزش علاقه‌مند هستند.

گزینهٔ ۱ مجموعهٔ تهی را معرفی می‌کند.
چرا؟

گزینهٔ ۲ مجموعهٔ تهی را معرفی می‌کند.
چرا؟

گزینهٔ ۳ مجموعهٔ تهی را معرفی نمی‌کند.

چرا؟

گزینهٔ ۴ مجموعهٔ تهی را معرفی می‌کند.
چرا؟

بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

مسئله‌ٔ مشابه

تمرین ۲ صفحهٔ ۳۴ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم

پاسخ تشریحی

اگر \(A\) عددی مثبت باشد، آنگاه: \[\frac{A}{|A|}=\frac{A}{A}=1.\]
اگر \(A\) عددی منفی باشد، آنگاه: \[\frac{A}{|A|}=\frac{A}{-A}=-1.\]
چون \(xyz < 0\)، پس از بین سه متغیر \(x\)، \(y\)، و \(z\)، دوتای آنها هم‌علامتند.
\(\bullet\) اگر از بین \(x\)، \(y\)، و \(z\)، دوتا متغیر، مثبت باشند و دیگری منفی، آنگاه داریم:
\[\begin{aligned}&\frac{x}{|x|}+\frac{y}{|y|}+\frac{z}{|z|}+{\color{red}\frac{xyz}{|xyz|}}\\[7pt]&=1+1+(-1)+{\color{red}(-1)}\\&=0.\end{aligned}\]
\(\bullet\) اگر از بین \(x\)، \(y\)، و \(z\)، دوتا متغیر، منفی باشند و دیگری مثبت، آنگاه داریم:
\[\begin{aligned}&\frac{x}{|x|}+\frac{y}{|y|}+\frac{z}{|z|}+{\color{red}\frac{xyz}{|xyz|}}\\[7pt]&=-1+(-1)+1+{\color{red}(-1)}\\&=-2.\end{aligned}\] بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

\(A=-3+\sqrt{5}\). (چرا؟)

برای به‌دست آوردن بیشترین مقدار $x^y$ همهٔ حالت‌های ممکن برای $x^y$ را می‌نویسیم:
\[\begin{aligned}3^4=81,\;&3^5=243\\4^3=64,\;&4^5=1024\\5^3=125,\;&5^4=625.\end{aligned}\]

بیشترین مقدار $-x^y-\frac{1}{z}$ برابر است با:
\[\begin{aligned}-4^3-\frac{1}{5}&=-64-0.2\\&=-64.2\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

حجم حاصل از دوران مستطیل $ABCD$ حول خط $y=5$، برابر است با:
\[\begin{aligned}&\pi\times4^2\times2\\&=\pi\times16\times2\\&=32\pi.\end{aligned}\]
حجم حاصل از دوران مثلث $ACD$ حول خط $y=5$ برابر است با:
\[\begin{aligned}&\frac{1}{3}\pi\times4^2\times2\\[7pt]&=\frac{1}{3}\pi\times16\times2\\[7pt]&=\frac{32}{3}\pi.\end{aligned}\]
بنابراین، حجم حاصل از دوران مثلث $ABC$ حول خط $y=5$ برابر است با:
\[\begin{aligned}32\pi-\frac{32}{3}\pi=\frac{64}{3}\pi.\end{aligned}\]

\[\frac{x}{1+\dfrac{1}{1+\frac{x}{2}}}=\frac{2}{5}x.\]
(چرا؟)

تساوی اول، تجزیهٔ یک عبارت جبری را نشان نمی‌دهد. زیرا \(x(x+1)+1\) به‌صورت حاصل‌ضرب دو عبارت جبری نیست.
تساوی دوم،‌ تجزیهٔ یک عبارت جبری را نشان می‌دهد. زیرا \(2y^2+5y\) به‌صورت حاصل‌ضرب \(2y\) در \(y+\frac{5}{2}\) نوشته شده است.
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

با جایگذاری مقدار به‌جای $a$ و $b$ می‌توان گزینهٔ درست را یافت. چون $a+b=10$، قرار می‌دهیم $a=10$ و $b=0$؛ دراین‌صورت داریم:‌
\[\begin{aligned}&5a^2+a^2b+ab^2+5b^2\\&=5(10)^2+(10^2)(0)+(10)(0)^2+5(0)^2\\&=5\times 100\\&=500.\end{aligned}\]
پس گزینهٔ ۳ درست است.

پرسش. اگر هر عدد دیگری به‌جای $a$ و $b$ انتخاب کنیم به‌طوری‌که $a+b=10$، آیا بازهم حاصل $5a^2+a^2b+ab^2+5b^2$ برابر ۵۰۰ است؟
پاسخ. بله!
برای اینکه ثابت کنیم پاسخ پرسش بالا همواره «بله» است، لازم است که درستی تساوی زیر را (برای هر مقدار $a$ و $b$) پذیرفته باشیم.
\[a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\]
چرا تساوی بالا همواره درست است؟