آزمون ریاضی شبیه‌ساز تیزهوشان و نمونه دولتی، تعیین مرکز، و جانمایی نهم به دهم

در جدول زیر، همهٔ حالت‌هایی که چهار نامه در چهار پاکت اشتباه گذاشته شوند، نمایش داده شده است.

پرسش. آیا می‌توانید حدس بزنید که به چند حالت می‌توان $n$ نامه را در $n$ پاکت اشتباه قرار داد؟

ابتدا شکل داده شده را به‌صورت زیر نام‌گذاری می‌کنیم.
چهارضلعی $EFGH$ مربع است. (چرا؟)

برای سادگی قرار می‌دهیم:
\[\begin{aligned}A\widehat{E}F&=w\quad (2)\\D\widehat{E}H&=z.\quad (3)\end{aligned}\]
دراین‌صورت داریم:
\[w+z=90^\circ\quad (4)\]
(چرا؟)

بنابراین:
\[\begin{aligned}E\widehat{F}A&=z\quad(5)\\E\widehat{H}D&=w.\quad (6)\end{aligned}\]
(چرا؟)

پس دو مثلث $AEF$ و $DHE$ در حالت زض‌ز هم‌نهشت‌اند. (چرا؟)

بنابراین:
\[y=\sqrt{41}\quad (*)\]
(چرا؟)

بنابراین گزینهٔ ۱ درست است.

هریک از زاویه‌های هشت‌ضلعی منتظم برابر \(135\) درجه، و هر یک از زاویه‌های پنج‌ضلعی منتظم برابر \(108\) درجه است. (چرا؟)

همچنین، در شکل بالا داریم: \[B\widehat{A}C=135^\circ-90^\circ=45^\circ.\]
پس:
\[\beta+\gamma=135^\circ.\quad(2)\]

\[\begin{aligned}&\dfrac{a^2-b^2}{ab}-\dfrac{a^2-b^2}{ab-a^2}\\[7pt]&=\dfrac{a^2-b^2}{ab}-\dfrac{(a-b)(a+b)}{a(b-a)}\\[7pt]&=\dfrac{a^2-b^2}{ab}-\dfrac{(a-b)(a+b)}{a(a-b)(-1)}\\[7pt]&=\dfrac{a^2-b^2}{ab}+\dfrac{(a+b)}{a},\quad(a\ne b)\\[7pt]&=\dfrac{a^2-b^2}{ab}+\dfrac{(a+b)b}{ab},\quad(a\ne b)\\[7pt]&=\dfrac{a^2-b^2}{ab}+\dfrac{ab+b^2}{ab},\quad(a\ne b)\\[7pt]&=\frac{a^2+ab}{ab},\quad(a\ne b)\\[7pt]&=\frac{a(a+b)}{ab},\quad(a\ne b)\\[7pt]&=\frac{a+b}{b}.\quad(a\ne b,\,a\ne0)\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

\[\begin{aligned}&\Big((A-B)\cup(B-C)\Big)-(A\cup C)\\&=\Big(\big(\{1,2\}-\{2,3,4\}\big)\cup\big(\{2,3,4\}-\{4,5\}\big)\Big)-\big(\{1,2\}\cup\{4,5\}\big)\\&=\Big(\{1\}\cup\{2,3\}\Big)-\{1,2,4,5\}\\&=\{1,2,3\}-\{1,2,4,5\}\\&=\{3\}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

در بین اعدادِ
\[0.\overline{1}, 0.\overline{2}, 0.\overline{3}, \dots , 0.\overline{1396}\]اعداد برابر را پیدا می‌کنیم:
\[\begin{aligned}&0.\overline{1}=0.\overline{11}=0.\overline{111}=0.\overline{1111}\\&0.\overline{2}=0.\overline{22}=0.\overline{222}\\&0.\overline{3}=0.\overline{33}=0.\overline{333}\\&0.\overline{4}=0.\overline{44}=0.\overline{444}\\&0.\overline{5}=0.\overline{55}=0.\overline{555}\\&0.\overline{6}=0.\overline{66}=0.\overline{666}\\&0.\overline{7}=0.\overline{77}=0.\overline{777}\\&0.\overline{8}=0.\overline{88}=0.\overline{888}\\&0.\overline{9}=0.\overline{99}=0.\overline{999}\\&0.\overline{10}=0.\overline{1010}\\&0.\overline{12}=0.\overline{1212}\\&0.\overline{13}=0.\overline{1313}\\\end{aligned}\]
در نتیجه، تعداد اعضای این مجموعه برابر است با:
\[1396-22=1374.\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

پاسخ تشریحی

می‌دانیم \(a-b\) یک عدد صحیح و \(a+b\) عددی گویا و غیرصحیح است. از طرفی، واضح است که مجموع یک عدد صحیح و یک عدد گویای غیرصحیح، یک عدد گویای غیر صحیح است. پس:
\[(a-b)+(a+b)=2a\] یک عدد گویای غیرصحیح است. در نتیجه:
\[a\in(\mathbb{Q}-\mathbb{Z}).\] بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.
حال، باید نشان دهیم که گزینه‌های دیگر نادرست هستند تا مطمئن شویم که این سؤال درست است.
\(\bullet\) در راه‌حل بالا، نشان دادیم که \(2a\) یک عدد گویای غیرصحیح است. پس، گزینهٔ ۱ نادرست است.
\(\bullet\) اگر گزینهٔ ۲ درست باشد، آنگاه از \((a-b)\in\mathbb{Z}\) نتیجه می‌شود که \(a\) نیز یک عدد صحیح است. پس \(a+b\) نیز عددی صحیح می‌شود که با فرض مسئله در تناقض است. پس گزینهٔ ۲ نادرست است.
\(\bullet\) اگر گزینهٔ ۴ درست باشد، آنگاه \(a+b=0\) که این با فرض \((a+b)\in (\mathbb{Q}-\mathbb{Z})\) در تناقض است. پس گزینهٔ‌ ۴ نیز نادرست است.

با توجه به تمرین ۹ صفحهٔ ۱۰۹ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم، اگر \(a\) و \(b\) را محورهای مختصات در نظر بگیریم، آن‌وقت همهٔ نقطه‌های روی پاره‌خط‌های صورتی شکل زیر می‌توانند نشان‌دهندهٔ \((a,b)\) باشند. پس گزینهٔ ۴ درست است.

برای مثال، چند جفت عدد که می‌توان به‌جای \(a\) و \(b\) قرار داد، به‌صورت زیر هستند.
\[\begin{aligned}a=\sqrt{3},\;&b=\sqrt{5}\\a=0,\;&b=\sqrt{3}+\sqrt{5}\\a=0,\;&b=-\sqrt{3}-\sqrt{5}\\a=1,\;&b=\sqrt{3}+\sqrt{5}-1\end{aligned}\]

پاسخ تشریحی

گزینهٔ ۱.
\[\begin{aligned}\big|\underbrace{-1-\sqrt{5}}_{ < 0}\big|&=-\big(-1-\sqrt{5}\big)\\&=1+\sqrt{5}\\&\approx1+2.23\\&=3.23\end{aligned}\]گزینهٔ ۲.
\[\begin{aligned}\sqrt{\big(\sqrt{5}-1\big)^2}&=\big|\overbrace{\sqrt{5}-1}^{ > 0}\big|\\&=\sqrt{5}-1\\&\approx2.23-1\\&=1.23\end{aligned}\]

گزینهٔ ۳.
\[\begin{aligned}\big|\underbrace{1-\sqrt{5}}_{ < 0}\big|&=-\big(1-\sqrt{5}\big)\\&=-1+\sqrt{5}\\&\approx-1+2.23\\&=1.23\end{aligned}\]گزینهٔ ۴.
\[\begin{aligned}|-1| - |\sqrt{5}|&=1-\sqrt{5}\\&\approx 1-2.23\\&=-1.23\end{aligned}\]

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

وقتی کره در استوانه محاط باشد، ارتفاع استوانه برابر قطر کره، و شعاع قاعده استوانه برابر شعاع کره است.
پس مساحت استوانه برابر است با:
\[\begin{aligned}2\pi x^2+2\pi x\times(2x)&=2\pi x^2+4\pi x^2\\&=6\pi x^2.\end{aligned}\]
بنابراین، نسبت مساحت استوانه به مساحت کره برابر است با:
\[\frac{6\pi x^2}{4\pi x^2}=\frac{3}{2}.\]
در نتیجه، حجم کره برابر است با:
\[\frac{4}{3}\pi\big(\frac{3}{2}\big)^3=\frac{9}{2}\pi.\]

چون \(A\) بر \(5\) بخش‌پذیر است، پس \(y\) باید برابر \(0\) یا \(5\) باشد.
\(\bullet\) اگر \(y=0\)، آن‌وقت \(x\) باید برابر \(5\) باشد. (چرا؟)

\(\bullet\) اگر \(y=5\)، آن‌وقت \(x\) می‌تواند برابر هریک از اعداد \(0\) یا \(9\) باشد. (چرا؟)

پس همهٔ حالت‌های ممکن برای \(A\) عبارتند از:
\[\begin{aligned}&83{\color{red}5}02{\color{blue}0},\\&83{\color{red}0}02{\color{blue}5},83{\color{red}9}02{\color{blue}5}.\end{aligned}\]
در نتیجه، اختلاف بیشترین و کمترین مقدار \(A\) برابر است با:
\[839025-830025=9000.\]
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

پرسش. عدد شش‌رقمی \(A=\overline{83x02y}\) هم بر \(3\) و هم بر \(5\) بخش‌پذیر است. اختلاف بیشترین و کمترین مقدار \(A\) چقدر است؟
۱) \(4005\)
۲)‌ \(1001\)
۳) \(9000\)
۴) \(4500\)

چون
\[\begin{aligned}x^2&=\Big(\frac{4+\sqrt{6}}{\sqrt{5}}\Big)^2\\[7pt]&=\frac{16+6+8\sqrt{6}}{5}\\[7pt]&=\frac{22+8\sqrt{6}}{5}\end{aligned}\]
پس
\[\begin{aligned}5x^2-\sqrt{24}&=5\times\frac{22+8\sqrt{6}}{5}-\sqrt{4\times6}\\[7pt]&=22+8\sqrt{6}-2\sqrt{6}\\&=22+6\sqrt{6}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

بنابه فرض مسئله، داریم: \[{\color{red}a^2+b^2=4ab}\] پس:
\[\begin{aligned}\Big(\frac{a+b}{2a-2b}\Big)^6&=\Big(\frac{a+b}{2(a-b)}\Big)^6\\[8pt]&=\Big(\frac{1}{2}\times\frac{a+b}{a-b}\Big)^6\\[8pt]&=\Big(\frac{1}{2}\Big)^6\times\Big(\frac{a+b}{a-b}\Big)^6\\[8pt]&=\frac{1}{64}\times\Big(\big(\frac{a+b}{a-b}\big)^2\Big)^3\\[8pt]&=\frac{1}{64}\times\Big(\frac{{\color{red}a^2+b^2}+2ab}{{\color{red}a^2+b^2}-2ab}\Big)^3\\[8pt]&=\frac{1}{64}\times\Big(\frac{{\color{red}4ab}+2ab}{{\color{red}4ab}-2ab}\Big)^3\\[8pt]&=\frac{1}{64}\times\Big(\frac{6ab}{2ab}\Big)^3\\[8pt]&=\frac{1}{64}\times3^3\\[8pt]&=\frac{27}{64}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

پرسش. چرا در صورت مسئله، شرط \(a\ne b\) نوشته شده است؟