آزمون ریاضی شبیه‌ساز تیزهوشان و نمونه دولتی، تعیین مرکز، و جانمایی نهم به دهم

پاسخ تشریحی

\(\bullet\) عبارت «هر مثلثی که قائم‌الزاویه باشد، متساوی‌الاضلاع نیست» همواره درست است و نمی‌توان برای آن مثال نقض آورد.
چرا؟

\(\bullet\) عبارت «چهارضلعی‌ای که قطر‌هایش باهم برابر و برهم عمود باشند، مربع است» نادرست است و می‌توان برای آن مثال نقض آورد.
چرا؟

در چهارضلعی زیر، قطرها با هم برابر و برهم عمودند، ولی این چهارضلعی، مربع نیست.

\(\bullet\) عبارت «هر چهارضلعی که دو قطرش برابر باشند، مستطیل یا ذوزنقهٔ متساوی‌الساقین است.» نادرست است و می‌توان برای آن مثال نقضی آورد.
چرا؟

در چهارضلعی زیر، قطرها باهم برابرند، ولی این چهارضلعی نه مستطیل است و نه ذوزنقهٔ متساوی‌الساقین.

بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

چون \(b=c\)، پس بنابه عکس قضیهٔ خطوط موازی و مورب، \(L_3\) و \(L_4\) موازی‌اند.

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

\[\begin{aligned}\frac{A^2-B^2}{C^2}&=\frac{(A+B)(A-B)}{C^2}\\[7pt]&=\frac{\big(a^2-b^2+a^2+b^2\big)\big(a^2-b^2-(a^2+b^2)\big)}{(ab)^2}\\[7pt]&=\frac{(2a^2)(a^2-b^2-a^2-b^2)}{a^2b^2}\\[7pt]&=\frac{(2a^2)(-2b^2)}{a^2b^2}\\[7pt]&=\frac{-4a^2b^2}{a^2b^2}\\[7pt]&=-4.\end{aligned}\]

واضح است که در گزینه‌های ۱، ۲، و ۳، قسمت خاکستری برابر \((C\cap B)-A\) هست.
در گزینهٔ ۴، \(C\cap B\) رنگ نشده است.

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

\[\begin{aligned}&0.\overline{10}-0.\overline{11}+0.\overline{12}-0.\overline{13}+\dots+0.\overline{98}-0.\overline{99}\\&=\big(0.\overline{10}-0.\overline{11}\big)+\big(0.\overline{12}-0.\overline{13}\big)+\dots+\big(0.\overline{98}-0.\overline{99}\big)\\&=\big(-0.\overline{01}\big)+\big(-0.\overline{01}\big)+\dots+\big(-0.\overline{01}\big)\\&=45\times \big(-0.\overline{01}\big)\\&=-0.\overline{45}.\end{aligned}\]
بنابراین گزینهٔ ۱ درست است.

برای دو عدد $a$ و $b$، $|a-b|$ یعنی فاصلهٔ این دو عدد روی محور اعداد. فاصلهٔ این دو عدد را با یک پاره‌خط صورتی نشان می‌دهیم.

در شکل بالا فرض کرده‌ایم $b>a$.
بنابه فرض مسئله،
\[\begin{aligned}&6|a-b|=6|b-c|\\&\Rightarrow |a-b|=|b-c|\end{aligned}\]
یعنی فاصلهٔ دو عدد $b$ و $c$ با فاصلهٔ دو عدد $a$ و $b$ برابر است. بنابراین $c>b$. (چرا؟)

پرسش. چرا در حالت $b < a$ نیز همین نتایج به‌دست می‌آید؟

\(A=-3+\sqrt{5}\). (چرا؟)

\(0.25=2^{-2}\) (چرا؟)

\[\begin{aligned}&\frac{4}{3}\pi(3)^3-\frac{4}{3}\pi(2)^3\\&=\frac{4}{3}\pi(27)-\frac{4}{3}\pi(8)\\&=\frac{4}{3}\pi(27-8)\\&=\frac{4}{3}\pi(19)\\&=\frac{76}{3}\pi.\end{aligned}\]

معادله را مرحله به مرحله می‌سازیم:

اگر سه برابر عددی
\[3y\]
 را از نصف آن عدد کم کنیم،
\[\dfrac{1}{2}y-3y\]
حاصل از \(100\) به اندازهٔ $x$ واحد کمتر است.
\[\dfrac{1}{2}y-3y=100-x\]

بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

چون
\[\begin{aligned}x^2&=\Big(\frac{4+\sqrt{6}}{\sqrt{5}}\Big)^2\\[7pt]&=\frac{16+6+8\sqrt{6}}{5}\\[7pt]&=\frac{22+8\sqrt{6}}{5}\end{aligned}\]
پس
\[\begin{aligned}5x^2-\sqrt{24}&=5\times\frac{22+8\sqrt{6}}{5}-\sqrt{4\times6}\\[7pt]&=22+8\sqrt{6}-2\sqrt{6}\\&=22+6\sqrt{6}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

گزینهٔ ۳ صحیح است.
\[\begin{aligned}&\sqrt{a^2(a^2-b^2)+b^2(b^2-a^2)}\\&=\sqrt{(b^2-a^2)(-a^2+b^2)}\\&=\sqrt{(b^2-a^2)(b^2-a^2)}\\&=\sqrt{(b^2-a^2)^2}\\&=|b^2-a^2|.\end{aligned}\]
چون$b< a<0$ پس $b^2> a^2>0$ و در نتیجه $b^2-a^2> 0$ و \[\begin{aligned}&|b^2-a^2|=b^2-a^2.\end{aligned}\]