آزمون ریاضی شبیه‌ساز تیزهوشان و نمونه دولتی، تعیین مرکز، و جانمایی نهم به دهم

ابتدا رئوس شکل را به‌صورت زیر نام‌گذاری می‌کنیم.

چهارضلعی $DEFB$ را در نظر بگیرید. بنابه قضیهٔ دندان کوسه، داریم:
\[D\widehat{B}F=\widehat{D}+\widehat{E}+\widehat{F}\quad (1)\]
از طرفی، دو زاویهٔ $DBF$ و $ABC$ متقابل‌به‌رأس هستند؛ پس
\[A\widehat{B}C=D\widehat{B}F\quad (2)\]
از رابطه‌های (۱) و (۲) و اینکه مجموع زاویه‌های مثلث $ABC$ برابر ۱۸۰ درجه است، داریم:
\[\begin{aligned}&A\widehat{B}C+\widehat{A}+\widehat{C}=180^\circ\\&\Rightarrow D\widehat{B}F+\widehat{A}+\widehat{C}=180^\circ\\&\Rightarrow \big(\widehat{D}+\widehat{E}+\widehat{F}\big)+\widehat{A}+\widehat{C}=180^\circ.\end{aligned}\]
بنابراین گزینهٔ ۱ درست است.

دو مثلث \(AMN\) و \(ABC\) متشابه‌اند. (چرا؟)

حال، از قضیهٔ فیثاغورس نتیجه می‌شود که \(BN=\sqrt{97}\). (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

باقی‌ماندهٔ تقسیم \(2a^2-b^2a+2ab-b^3-3\) بر \(a+b\) برابر \(-3\) است. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

\(1.2\overline{3}=\dfrac{37}{30}\). (چرا؟)

زیرمجموعه‌های \(4\)عضوی، \(5\)عضوی، و \(6\)عضوی \(A\) حداقل در دو عضو مشترک هستند. تعداد این زیرمجموعه‌ها \(22\)تا است. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

با توجه به تمرین ۹ صفحهٔ ۱۰۹ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم، اگر \(a\) و \(b\) را محورهای مختصات در نظر بگیریم، آن‌وقت همهٔ نقطه‌های روی پاره‌خط‌های صورتی شکل زیر می‌توانند نشان‌دهندهٔ \((a,b)\) باشند. پس گزینهٔ ۴ درست است.

برای مثال، چند جفت عدد که می‌توان به‌جای \(a\) و \(b\) قرار داد، به‌صورت زیر هستند.
\[\begin{aligned}a=\sqrt{3},\;&b=\sqrt{5}\\a=0,\;&b=\sqrt{3}+\sqrt{5}\\a=0,\;&b=-\sqrt{3}-\sqrt{5}\\a=1,\;&b=\sqrt{3}+\sqrt{5}-1\end{aligned}\]

برای اینکه صورت مسئله واضح‌تر شود، فرض کنید به‌جای عبارت $\sqrt{1}+\dots+\sqrt{75}$، عبارت $\sqrt{1}+\dots+\sqrt{10}$ داده شده باشد.
در عبارت $\sqrt{1}+\dots+\sqrt{10}$، نُه‌تا علامت جمع داریم که این تعداد، کمترین تعداد علامتِ جمعِ موردِ نیاز نیست. زیرا:
\[\begin{aligned}&\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7}+\sqrt{8}+\sqrt{9}+\sqrt{10}\\&=1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+2+\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7}+2\sqrt{2}+3+\sqrt{10}\\&=6+3\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7}+\sqrt{10}.\end{aligned}\]
بنابراین کمترین تعداد علامتِ جمعِ موردِ نیاز برای نمایش حاصل عددی عبارت $\sqrt{1}+\dots+\sqrt{10}$، شش‌تا است.

در عبارت $\sqrt{1}+\dots+\sqrt{75}$،  هفتادوچهارتا علامت جمع داریم که این تعداد، کمترین تعداد علامت جمع مورد نیاز نیست. زیرا می‌توان دسته‌های زیر را در بین اعداد $\sqrt{1},\dots,\sqrt{75}$، در نظر گرفت. (در همهٔ موارد زیر، $n$ عددی طبیعی است)

دستهٔ اول. هشت‌ عدد به‌صورت $n\sqrt{1}$ داریم، یا به‌عبارتِ‌دیگر، هشت عدد صحیح داریم. (چرا؟)

بنابه دسته‌بندی بالا و پاسخِ پرسش‌های ۱ و ۲، کمترین تعداد علامتِ جمعِ موردِ نیاز برای نمایش عددیِ عبارت $\sqrt{1}+\dots+\sqrt{75}$، چهل‌و شش علامت جمع است؛ به‌عبارتِ‌دیگر، اگر $\sqrt{1}+\dots+\sqrt{75}$ را ساده کنیم، چهل‌وشش علامت جمع داریم.

بنابراین گزینهٔ ۳ درست است.

ابتدا \(B\) و \(C\) را نیز به‌صورت نماد علمی می‌نویسیم:
\[\begin{aligned}B&=0.9\times10^{-9}=9\times10^{-10}\\C&=0.8\times10^5=8\times10^4.\end{aligned}\]
حال، به‌سادگی می‌توان چهار عدد داده شده را مقایسه کرد.
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

گزینهٔ ۳ صحیح است.
در بقیهٔ گزینه‌ها طول و عرض نقطه‌های داده شده عضو مجموعه اعداد گویا یا مجموعه اعداد گنگ هستند که نمی‌توانیم آن‌ها را در صفحه مختصات نمایش دهیم.

شکل حاصل از دوران، یک مخروط با شعاع قاعدهٔ $2$ و ارتفاع $4$ است. پس حجم حاصل از دوران مثلث $ABC$ حول خط $x=3$، برابر است با:
\[\begin{aligned}&\frac{1}{3}\pi\times2^2\times4\\[7pt]&=\frac{1}{3}\pi\times4\times4\\[7pt]&=\frac{16}{3}\pi.\end{aligned}\]

معادله را مرحله به مرحله می‌سازیم:

اگر سه برابر عددی
\[3y\]
 را از نصف آن عدد کم کنیم،
\[\dfrac{1}{2}y-3y\]
حاصل از \(100\) به اندازهٔ $x$ واحد کمتر است.
\[\dfrac{1}{2}y-3y=100-x\]

بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

تساوی اول، تجزیهٔ یک عبارت جبری را نشان نمی‌دهد. زیرا \(x(x+1)+1\) به‌صورت حاصل‌ضرب دو عبارت جبری نیست.
تساوی دوم،‌ تجزیهٔ یک عبارت جبری را نشان می‌دهد. زیرا \(2y^2+5y\) به‌صورت حاصل‌ضرب \(2y\) در \(y+\frac{5}{2}\) نوشته شده است.
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

بنابه فرض مسئله، داریم: \[{\color{red}a^2+b^2=4ab}\] پس:
\[\begin{aligned}\Big(\frac{a+b}{2a-2b}\Big)^6&=\Big(\frac{a+b}{2(a-b)}\Big)^6\\[8pt]&=\Big(\frac{1}{2}\times\frac{a+b}{a-b}\Big)^6\\[8pt]&=\Big(\frac{1}{2}\Big)^6\times\Big(\frac{a+b}{a-b}\Big)^6\\[8pt]&=\frac{1}{64}\times\Big(\big(\frac{a+b}{a-b}\big)^2\Big)^3\\[8pt]&=\frac{1}{64}\times\Big(\frac{{\color{red}a^2+b^2}+2ab}{{\color{red}a^2+b^2}-2ab}\Big)^3\\[8pt]&=\frac{1}{64}\times\Big(\frac{{\color{red}4ab}+2ab}{{\color{red}4ab}-2ab}\Big)^3\\[8pt]&=\frac{1}{64}\times\Big(\frac{6ab}{2ab}\Big)^3\\[8pt]&=\frac{1}{64}\times3^3\\[8pt]&=\frac{27}{64}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

پرسش. چرا در صورت مسئله، شرط \(a\ne b\) نوشته شده است؟