آزمون ریاضی شبیه‌ساز تیزهوشان و نمونه دولتی، تعیین مرکز، و جانمایی نهم به دهم

ابتدا رئوس شکل را به‌صورت زیر نام‌گذاری می‌کنیم.

چهارضلعی $DEFB$ را در نظر بگیرید. بنابه قضیهٔ دندان کوسه، داریم:
\[D\widehat{B}F=\widehat{D}+\widehat{E}+\widehat{F}\quad (1)\]
از طرفی، دو زاویهٔ $DBF$ و $ABC$ متقابل‌به‌رأس هستند؛ پس
\[A\widehat{B}C=D\widehat{B}F\quad (2)\]
از رابطه‌های (۱) و (۲) و اینکه مجموع زاویه‌های مثلث $ABC$ برابر ۱۸۰ درجه است، داریم:
\[\begin{aligned}&A\widehat{B}C+\widehat{A}+\widehat{C}=180^\circ\\&\Rightarrow D\widehat{B}F+\widehat{A}+\widehat{C}=180^\circ\\&\Rightarrow \big(\widehat{D}+\widehat{E}+\widehat{F}\big)+\widehat{A}+\widehat{C}=180^\circ.\end{aligned}\]
بنابراین گزینهٔ ۱ درست است.

دو مثلث \(AMN\) و \(ABC\) متشابه‌اند. (چرا؟)

حال، از قضیهٔ فیثاغورس نتیجه می‌شود که \(BN=\sqrt{97}\). (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

معادلهٔ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{x+y}\) جواب ندارد.
چرا؟

چون اعداد دورقمی را با \(M\) و اعداد زوج را با \(A\) نشان داده‌ایم، پس مجموعهٔ اعداد فرد دورقمی برابر است با: \(M-A\).
چون مضارب طبیعی \(3\) را با \(B\) و مضارب طبیعی \(5\) را با \(C\) نشان‌ داده‌ایم، پس مجموعهٔ مضارب طبیعی \(15\) برابر است با: \(B\cap C\).
در نتیجه، مجموعهٔ اعداد فرد دورقمی که مضرب \(15\) نیستند برابر است با: \((M-A)-(B\cap C)\) و نمودار گزینهٔ ۲ نشان‌دهندهٔ این مجموعه است.

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

اگر به چنین مسائلی مسلط نیستید، حتماً درسنامهٔ مجموعه‌های سایت تکمیلی را بخوانید.

مسئله‌ٔ مشابه

سؤال ۴۱ آزمون پیشرفت تحصیلی نهم سمپاد (فروردین ۹۷)

\[\begin{aligned}&0.\overline{10}-0.\overline{11}+0.\overline{12}-0.\overline{13}+\dots+0.\overline{98}-0.\overline{99}\\&=\big(0.\overline{10}-0.\overline{11}\big)+\big(0.\overline{12}-0.\overline{13}\big)+\dots+\big(0.\overline{98}-0.\overline{99}\big)\\&=\big(-0.\overline{01}\big)+\big(-0.\overline{01}\big)+\dots+\big(-0.\overline{01}\big)\\&=45\times \big(-0.\overline{01}\big)\\&=-0.\overline{45}.\end{aligned}\]
بنابراین گزینهٔ ۱ درست است.

گزینهٔ ۱ نادرست است.
چرا؟

گزینهٔ ۲ درست است.
چرا؟

گزینهٔ ۳ نادرست است.

چرا؟

گزینهٔ ۴ نادرست است.
چرا؟

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

\[\begin{aligned}\big|7\sqrt{3}-12\big|&=\big|\sqrt{49\times 3}-\sqrt{12\times 12}\big|\\&=\big|\underbrace{\sqrt{147}-\sqrt{144}}_{>0}\big|\\&=\sqrt{147}-\sqrt{144}\\&=7\sqrt{3}-12.\end{aligned}\]
بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

\[\begin{aligned}&7.34\times10^{22}+5.9736\times10^{24}\\&=0.0734\times10^{24}+5.9736\times10^{24}\\&=\big(0.0734+5.9736\big)\times10^{24}\\&=6.0470\times10^{24}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ است.

گستردهٔ این مخروط، قسمتی از یک دایره به شعاع \(\sqrt{5}\) است. زیرا:
\[\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.\]
نسبت کمان حاصل از گستردهٔ روی مخروط به کل دایرهٔ آن برابر است با:
\[x=\frac{r}{r^2+h^2}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}.\]
پس:
\[S=\pi\big(\sqrt{5}\big)^2\frac{\sqrt{5}}{5}=\sqrt{5}\pi.\]

کافی است خارج‌قسمت تقسیم $100$ بر $7$ را به‌دست آوریم:
\[100=7\times14+2.\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

در زیر، مثالی از رنگ‌آمیزی اعداد یک تا صد با شرایط این مسئله، آمده است.
\[\begin{aligned}&{\color{blue}1},\dots,{\color{blue}6},{\color{red}7},\\&{\color{blue}8},\dots,{\color{blue}13},{\color{red}14},\\&{\color{blue}15},\dots,{\color{blue}20},{\color{red}21},\\&\quad\vdots\\&{\color{blue}92},\dots,{\color{blue}97},{\color{red}98},\\&{\color{blue}99},{\color{blue}100}.\end{aligned}\]