آزمون ریاضی شبیه‌ساز تیزهوشان و نمونه دولتی، تعیین مرکز، و جانمایی نهم به دهم

تعداد کل حالت‌های ممکن در پرتاب این دو تاس برابر است با:\[4\times6=24.\]
تعداد حالت‌هایی که حداقل یکی از تاس‌ها عدد اول بیاید \(18\)تا است. (چرا؟)

فرض کنید در ذوزنقهٔ \(ABCD\) داشته باشیم \(BC=CD=DA=1\) و \(AB=2\).

در این‌صورت \(B\widehat{C}D=120^\circ\).

چرا؟

بنابراین، در مثلث \(BCD\) بنابه قضیهٔ مثلث متساوی الساقین و قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث، داریم:
\[\begin{aligned}&C\widehat{D}B+D\widehat{B}C+B\widehat{C}D=180^\circ\\&\Rightarrow 2C\widehat{D}B+120^\circ=180^\circ\\&\Rightarrow2C\widehat{D}B=60^\circ\\&\Rightarrow C\widehat{D}B=30^\circ.\end{aligned}\]

به طریقی مشابه، می‌توان ثابت کرد که \(D\widehat{C}A=30^\circ\). حال، اگر محل برخورد دو قطر ذوزنقه \(ABCD\) را \(O\) بنامیم، از قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث (در مثلث \(CDO\)) داریم:
\[\begin{aligned}&C\widehat{D}O+D\widehat{O}C+O\widehat{C}D=180^\circ\\&\Rightarrow30^\circ+D\widehat{O}C+30^\circ=180^\circ\\&\Rightarrow60^\circ+D\widehat{O}C=180^\circ\\&\Rightarrow D\widehat{O}C=120^\circ.\end{aligned}\]

بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

اندازهٔ هریک از زاویه‌های نُه‌ضلعی منتظم داده شده برابر است با:
\[\frac{(9-2)\times180^\circ}{9}=\frac{7\times180^\circ}{9}=140^\circ.\]
بنابراین، می‌توان اندازهٔ چهار زاویهٔ چهارضلعی زردرنگ شکل زیر را به‌دست آورد.

می‌دانیم که مجموع زاویه‌های هر چهارضلعی برابر \(360^\circ\) است(؟). پس اندازهٔ زاویه‌ای که با علامت سؤال مشخص شده، برابر است با:
\[360^\circ-40^\circ-220^\circ-40^\circ=60^\circ.\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

کافی است در هر مورد بررسی کنیم که \(-3\) (ریشهٔ \(x+3\))، ریشهٔ چندجمله‌ای داده شده هست یا نه. (تمرین ۱۳ صفحهٔ ۱۲۴ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم را ببینید.)

باقی‌ماندهٔ تقسیم \(x^3+2x^2-3x\) بر \(x+3\) برابر \(0\) است. (چرا؟)

واضح است که در گزینه‌های ۱، ۲، و ۳، قسمت خاکستری برابر \((C\cap B)-A\) هست.
در گزینهٔ ۴، \(C\cap B\) رنگ نشده است.

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

گزینهٔ ۲ نادرست است. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

\[\begin{aligned}\big|7\sqrt{3}-12\big|&=\big|\sqrt{49\times 3}-\sqrt{12\times 12}\big|\\&=\big|\underbrace{\sqrt{147}-\sqrt{144}}_{>0}\big|\\&=\sqrt{147}-\sqrt{144}\\&=7\sqrt{3}-12.\end{aligned}\]
بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

\[R=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{4+5}=\sqrt{9}=3.\]
نسبت کمان حاصل از گستردهٔ روی مخروط به کل دایرهٔ آن برابر است با:
\[x=\frac{2}{3}.\] پس مساحت رویهٔ مخروط برابر است با:
\[\pi\times9\times\frac{2}{3}=6\pi.\] در نتیجه، مساحت قاعدهٔ مخروط برابر است با:
\[\pi(2)^2=4\pi.\] بنابراین، مساحت کل مخروط برابر است با:
\[6\pi+4\pi=10\pi.\]

چون
\[\begin{aligned}\frac{a+b}{a-b}=\frac{7}{5}&\Rightarrow5a+5b=7a-7b\\&\Rightarrow12b=2a\\&\Rightarrow6b=a\end{aligned}\]
پس:
\[\begin{aligned}\frac{3a+2b}{3b}&=\frac{3(6b)+2b}{3b}\\[7pt]&=\frac{20b}{3b}\\[7pt]&=\frac{20}{3}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

توجه کنید که بنابه گفتهٔ مسئله $a$ و $b$ اعدادی صحیح هستند؛ یعنی فقط $x$ را باید متغیر در نظر گرفت.
\[\begin{aligned}&(x^2+ax+1)(x+b)\\&=x^2(x+b)+ax(x+b)+1(x+b)\\&=x^3+bx^2+ax^2+abx+x+b\\&=x^3+(b+a)x^2+(ab+1)x+b.\end{aligned}\]
پس، اگر به‌جای $a$ و $b$ هر عدد صحیحی قرار دهیم، تعداد جمله‌های حاصل‌ضرب نمی‌تواند بیشتر از چهارتا باشد.

بنابراین، تعداد جمله‌های حاصل‌ضرب نمی‌تواند پنج‌تا باشد.

برای اینکه بدانیم سؤال درست است یا نه، باید نشان دهیم که تعداد جمله‌های حاصل‌ضرب می‌تواند دوتا، سه‌تا یا چهارتا باشد؛ برای اثبات این ادعا کافی است برای هریک از مواردی که گفتیم حداقل یک مثال بیاوریم.
مثال برای چهار جمله؟

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

پرسش. چند عدد صحیح مانند $a$ و $b$ وجود دارد به‌طوری‌که حاصل عبارت $(x^2+ax+1)(x+b)$، چهار جمله داشته باشد؟ در صورت وجود، حداقل دو مثال برای $a$ و $b$ بیاورید.
چند عدد صحیح مانند $a$ و $b$ وجود دارد به‌طوری‌که حاصل عبارت $(x^2+ax+1)(x+b)$، سه جمله داشته باشد؟ در صورت وجود، حداقل دو مثال برای $a$ و $b$ بیاورید.
چند عدد صحیح مانند $a$ و $b$ وجود دارد به‌طوری‌که حاصل عبارت $(x^2+ax+1)(x+b)$، دو جمله داشته باشد؟ در صورت وجود، حداقل دو مثال برای $a$ و $b$ بیاورید.

بنابه فرض مسئله، داریم: \[{\color{red}a^2+b^2=4ab}\] پس:
\[\begin{aligned}\Big(\frac{a+b}{2a-2b}\Big)^6&=\Big(\frac{a+b}{2(a-b)}\Big)^6\\[8pt]&=\Big(\frac{1}{2}\times\frac{a+b}{a-b}\Big)^6\\[8pt]&=\Big(\frac{1}{2}\Big)^6\times\Big(\frac{a+b}{a-b}\Big)^6\\[8pt]&=\frac{1}{64}\times\Big(\big(\frac{a+b}{a-b}\big)^2\Big)^3\\[8pt]&=\frac{1}{64}\times\Big(\frac{{\color{red}a^2+b^2}+2ab}{{\color{red}a^2+b^2}-2ab}\Big)^3\\[8pt]&=\frac{1}{64}\times\Big(\frac{{\color{red}4ab}+2ab}{{\color{red}4ab}-2ab}\Big)^3\\[8pt]&=\frac{1}{64}\times\Big(\frac{6ab}{2ab}\Big)^3\\[8pt]&=\frac{1}{64}\times3^3\\[8pt]&=\frac{27}{64}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

پرسش. چرا در صورت مسئله، شرط \(a\ne b\) نوشته شده است؟