آزمون ریاضی شبیه‌ساز تیزهوشان و نمونه دولتی، تعیین مرکز، و جانمایی نهم به دهم

در آزمایش ریختن دو تاس مشابه، احتمال \(4\) بودن مجموع دو عدد رو شده برابر \(\frac{3}{36}\) است. (چرا؟)

اگر زاویه‌ها را به‌صورت زیر نشان دهیم، آنگاه باید مقدار $x+y+z+a+b+c$ را بیابیم.

در چهارضلعی سایه‌خوردهٔ زیر، بنابه قضیهٔ دندان کوسه و قضیهٔ زاویه‌های متقابل به‌رأس، اندازهٔ زاویه‌های آبی‌رنگ برابر است با \(a+b+c\).

چون مجموع زاویه‌های چهارضلعی سایه‌خوردهٔ زیر، برابر \(360\) درجه است، پس:\[a+b+c+y+x+z=360^\circ.\]

بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

مسئلهٔ مشابه

مجموع زاویه‌های مشخص شده در شکل زیر چند درجه است؟

۱) \(180\) درجه
۲) \(270\) درجه
۳) \(360\) درجه
۴) نمی‌توان دقیقاً تعیین کرد.

پاسخ تشریحی

در شکل زیر، \(AC=29\). (چرا؟)

پس با استفاده از قضیهٔ فیثاغورس در مثلث \(ABC\) داریم:
\[\begin{aligned}&AB^2+BC^2=AC^2\\&\Rightarrow x^2+21^2=29^2\\&\Rightarrow x^2+441=841\\&\Rightarrow x^2=841-441\\&\Rightarrow x^2=400\\&\Rightarrow x=20.\end{aligned}\]

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

پاسخ تشریحی

ابتدا برای \((A-B)\cap C\) یک نمودار ون رسم می‌کنیم:

حال، در بین گزینه‌های داده شده، و با استفاده از نمودار ون، مجموعه‌ای را پیدا می‌کنیم که با \((A-B)\cap C\) برابر باشد.

گزینهٔ ۱.

گزینهٔ ۲.

گزینهٔ ۳.

گزینهٔ ۴.

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

مجموعهٔ \(\{n^2\mid n\in\mathbb{N}\}\) جذاب است. (چرا؟)

مجموعهٔ \(\big\{x\in\mathbb{N}\mid\frac{189}{x}\in\mathbb{N}\big\}\) جذاب نیست. (چرا؟)

مجموعهٔ \(\{2k-7\mid k\in\mathbb{N},10\leq k\leq90\}\) جذاب است. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

برای دو عدد $a$ و $b$، $|a-b|$ یعنی فاصلهٔ این دو عدد روی محور اعداد. فاصلهٔ این دو عدد را با یک پاره‌خط صورتی نشان می‌دهیم.

در شکل بالا فرض کرده‌ایم $b>a$.
بنابه فرض مسئله،
\[\begin{aligned}&6|a-b|=6|b-c|\\&\Rightarrow |a-b|=|b-c|\end{aligned}\]
یعنی فاصلهٔ دو عدد $b$ و $c$ با فاصلهٔ دو عدد $a$ و $b$ برابر است. بنابراین $c>b$. (چرا؟)

پرسش. چرا در حالت $b < a$ نیز همین نتایج به‌دست می‌آید؟

\[\begin{aligned}&\sqrt[3]{81\times8\times5}=3\times2\times\sqrt[3]{3\times5}=6\sqrt[3]{15}\\&\sqrt{50\times49}=\sqrt{2\times5^2\times7^2}=35\sqrt{2}\\&\sqrt[3]{9^2\times11^4}=\sqrt[3]{3^4\times11^4}=33\sqrt[3]{33}\\&\sqrt{64\times242}=\sqrt{8^2\times2\times121}=88\sqrt{2}.\end{aligned}\]
چون
\[\begin{aligned}&\sqrt[3]{15} < \sqrt[3]{27}\\&\Rightarrow \sqrt[3]{15} < 3\\&\Rightarrow6\sqrt[3]{15} < 18\end{aligned}\]
و واضح است سه عدد دیگر از \(18\) بزرگ‌ترند، پس \(6\sqrt[3]{15}\) از بقیهٔ اعداد داده شده کوچک‌تر است.
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

پرسش. کدام عدد از بقیه بزرگ‌تر است؟

\[\begin{aligned}&0.3\times10^{-4} < 2.7\times10^m < 5\times10^{-1}\\&3\times10^{-5} < 2.7\times10^m < 5\times10^{-1}.\end{aligned}\] در نتیجه: \[m\in\{-4,-3,-2,-1\}.\] بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

گزینهٔ ۳ صحیح است.
در بقیهٔ گزینه‌ها طول و عرض نقطه‌های داده شده عضو مجموعه اعداد گویا یا مجموعه اعداد گنگ هستند که نمی‌توانیم آن‌ها را در صفحه مختصات نمایش دهیم.

\[\begin{aligned}&\frac{4}{3}\pi(3)^3-\frac{4}{3}\pi(2)^3\\&=\frac{4}{3}\pi(27)-\frac{4}{3}\pi(8)\\&=\frac{4}{3}\pi(27-8)\\&=\frac{4}{3}\pi(19)\\&=\frac{76}{3}\pi.\end{aligned}\]

مطابق شکل زیر، مربع کوچک سمت چپ بالا را می‌بُریم و در قسمت پایین قرار می‌دهیم.

حالا، یک مستطیل با طول و عرض \(3a\) و \(b\) داریم که مساحت آن برابر \(3ab\) است.

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

بنابه فرض مسئله، داریم: \[{\color{red}a^2+b^2=4ab}\] پس:
\[\begin{aligned}\Big(\frac{a+b}{2a-2b}\Big)^6&=\Big(\frac{a+b}{2(a-b)}\Big)^6\\[8pt]&=\Big(\frac{1}{2}\times\frac{a+b}{a-b}\Big)^6\\[8pt]&=\Big(\frac{1}{2}\Big)^6\times\Big(\frac{a+b}{a-b}\Big)^6\\[8pt]&=\frac{1}{64}\times\Big(\big(\frac{a+b}{a-b}\big)^2\Big)^3\\[8pt]&=\frac{1}{64}\times\Big(\frac{{\color{red}a^2+b^2}+2ab}{{\color{red}a^2+b^2}-2ab}\Big)^3\\[8pt]&=\frac{1}{64}\times\Big(\frac{{\color{red}4ab}+2ab}{{\color{red}4ab}-2ab}\Big)^3\\[8pt]&=\frac{1}{64}\times\Big(\frac{6ab}{2ab}\Big)^3\\[8pt]&=\frac{1}{64}\times3^3\\[8pt]&=\frac{27}{64}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

پرسش. چرا در صورت مسئله، شرط \(a\ne b\) نوشته شده است؟