اگر \(A\) و \(B\) دوتا چندجمله‌ای دلخواه باشند، آن‌وقت تساوی‌های زیر اتحاد هستند و به آن‌ها اتحاد چاق و لاغر می‌گویند.
\[\begin{aligned}&({\color{red}A}-{\color{blue}B})({\color{red}A}^2+{\color{blue}A}{\color{red}B}+{\color{blue}B}^2)={\color{red}A}^3-{\color{blue}B}^3\\&({\color{red}A}+{\color{blue}B})({\color{red}A}^2-{\color{blue}A}{\color{red}B}+{\color{blue}B}^2)={\color{red}A}^3+{\color{blue}B}^3\end{aligned}\]
می‌دانیم:
\[\begin{aligned}&{\color{red}A}^3-{\color{blue}B}^3=({\color{red}A}-{\color{blue}B})({\color{red}A}^2+{\color{red}A}{\color{blue}B}+{\color{blue}B}^2)\\&{\color{red}A}^3+{\color{blue}B}^3=({\color{red}A}+{\color{blue}B})({\color{red}A}^2-{\color{red}A}{\color{blue}B}+{\color{blue}B}^2).\end{aligned}\]برای مثال، با استفاده از اتحاد چاقولاغر، چندجمله‌ای \(x^3-8\) را تجزیه می‌کنیم:
\[\begin{aligned}&x^3-8\\&={\color{red}x}^3-\big({\color{blue}2}\big)^3\\&=\big({\color{red}x}-{\color{blue}2}\big)\big({\color{red}x}^2+({\color{red}x})({\color{blue}2})+({\color{blue}2})^2\big)\\&=(x-2)(x^2+2x+4)\end{aligned}\]
مثال ۲. با کمک ضرب لاغر در هریک از عبارتهای زیر، اتحادی چاق و لاغر بسازید.
الف) \(x^2+2x+4\)
چون:
\[\begin{aligned}&x^2+2x+4\\&={\color{red}x}^2+{\color{blue}2}{\color{red}x}+{\color{blue}2}^2\end{aligned}\]پس عبارت لاغر، \(x-2\) است. و اتحاد خواسته شده اینگونه ساخته میشود:
\[\begin{aligned}&\Big({\color{red}x}^2+{\color{blue}2}{\color{red}x}+{\color{blue}2}^2\Big)\Big({\color{red}x}-{\color{blue}2}\Big)={\color{red}x}^3-{\color{blue}2}^3\\&\Rightarrow(x^2+2x+4)(x-2)=x^3-8.\end{aligned}\]
چون:
\[\begin{aligned}&9x^2-12xy+16y^2\\&={\color{red}(3x)}^2-{\color{red}(3x)}{\color{blue}(4y)}+{\color{blue}(4y)}^2\end{aligned}\] پس عبارت لاغر، \(3x+4y\) است. و اتحاد خواسته شده اینگونه ساخته میشود:
\[\begin{aligned}&\Big({\color{red}(3x)}^2-{\color{red}(3x)}{\color{blue}(4y)}+{\color{blue}(4y)}^2\Big)\Big({\color{red}3x}+{\color{blue}4y}\Big)={\color{red}(3x)}^3+{\color{blue}(4y)}^3\\&\Rightarrow(9x^2-12xy+16y^2)(3x+4y)=27x^3+64y^3.\end{aligned}\]
چون:
\[\begin{aligned}&x^4+x^2+1\\&={\color{red}(x^2)}^2+{\color{red}(x^2)}{\color{blue}(1)}+{\color{blue}1}^2\end{aligned}\]پس عبارت لاغر، \(x^2-1\) است. و اتحاد خواسته شده اینگونه ساخته میشود:
\[\begin{aligned}&\Big({\color{red}(x^2)}^2+{\color{red}(x^2)}{\color{blue}(1)}+{\color{blue}1}^2\Big)\Big({\color{red}x^2}-{\color{blue}1}\Big)={\color{red}(x^2)}^3-{\color{blue}1}^3\\&\Rightarrow(x^4+x^2+1)(x^2-1)=x^6-1.\end{aligned}\]
مثال ۳. با استفاده از اتحاد چاق و لاغر، هریک از چندجمله‌ای‌های زیر را تجزیه کنید.
\[\begin{aligned}&y^9-64\\&=({\color{red}y^3})^3-({\color{blue}4})^3\\&=\big({\color{red}y^3}-{\color{blue}4}\big)\big(({\color{red}y^3})^2+({\color{red}y^3})({\color{blue}4})+({\color{blue}4})^2\big)\\&=\big(y^3-4\big)\big(y^6+4y^3+16\big)\end{aligned}\] حال، با استفاده از اتحاد چاقولاغر، \(y^3-4\) را تجزیه می‌کنیم:
\[\begin{aligned} &y^3-4\\&=({\color{green}y})^3-({\color{orange}\sqrt[3]{4}})^3\\&=\big({\color{green}y}-{\color{orange}\sqrt[3]{4}}\big)\big(({\color{green}y})^2+({\color{green}y})({\color{orange}\sqrt[3]{4}})+({\color{orange}\sqrt[3]{4}})^2\big)\\&=\big(y-\sqrt[3]{4}\big)\big(y^2+\sqrt[3]{4}y+2\sqrt[3]{2}\big)\end{aligned}\] بنابراین:
\[\begin{aligned}&y^9-64\\&=\big(y^3-4\big)\big(y^6+4y^3+16\big)\\&=\big(y-\sqrt[3]{4}\big)\big(y^2+\sqrt[3]{4}y+2\sqrt[3]{2}\big)\big(y^6+4y^3+16\big).\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}&x^{12}-1\\&=(x^6-1)(x^6+1)\\&=(x^3-1)(x^3+1)(x^2+1)(x^4-x^2+1)\\&=(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)(x^2+1)(x^4-x^2+1).\end{aligned}\] با استفاده از ایدهای که در جلسهٔ هجدهم گفته شد، می‌توان \(x^4-x^2+1\) را نیز تجزیه کرد:
\[\begin{aligned}&x^4-x^2+1\\&={\color{blue}x^4}-x^2+{\color{blue}1}+{\color{blue}2x^2}-2x^2\\&={\color{blue}\big(x^2+1\big)^2}-3x^2\\&=\big(x^2+1-\sqrt{3}x\big)\big(x^2+1+\sqrt{3}x\big).\end{aligned}\] بنابراین:
\[\begin{aligned}&x^{12}-1\\&=(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)(x^2+1)(x^4-x^2+1)\\&=(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)(x^2+1)(x^2+1-\sqrt{3}x)(x^2+1+\sqrt{3}x).\end{aligned}\]
زنگ تفریح (سریال قدیمی چاق و لاغر!)
برای تسلط بیشتر به اتحاد چاقولاغر، حتماً تمرین‌های این جلسه را حل کنید.
سلام تمرینات خیلی عالی بودن فقط در مثال 3 تمرین (ج) در پاسخنامه اش اشکال وجود داره علامت (a+b)است که در مثال a-b نوشته شده
سلام
ممنون از همراهی شما
موردی که گفته بودید، اصلاح شد.
با سپاس فراوان از شما که تذکر دادید.