هریک از جملههای این دنباله، بدون در نظر گرفتن علامت آنها، توانهای طبیعی عدد $\frac{1}{3}$ هستند. از طرفی، چون علامت جملهها یکیدرمیان عوض می‌شود، پس جملهٔ عمومی این دنباله را می‌توان به‌صورت زیر نوشت.
\[a_n=(-1)^n\frac{1}{3^n}.\]
می‌توان جملههای این دنباله را اینگونه نوشت:
\[\begin{aligned}a_{\color{red}1}&=3=\frac{3}{1}=\frac{3}{10^{\color{red}0}}\\[8pt]a_{\color{red}2}&=0.3=\frac{3}{10}=\frac{3}{10^{\color{red}1}}\\[8pt]a_{\color{red}3}&=0.03=\frac{3}{100}=\frac{3}{10^{\color{red}2}}\\[8pt]a_{\color{red}4}&=0.003=\frac{3}{1000}=\frac{3}{10^{\color{red}3}}.\end{aligned}\]
بنابراین، جملهٔ عمومی این دنباله میتواند به‌صورت زیر باشد.
\[a_{\color{red}n}=\frac{3}{10^{\color{red}n-1}}.\]
جملهٔ اول این دنباله، عدد $-2$ است؛ برای جملههای بعدی، هر جمله از جملهٔ قبلیاش $5$ واحد بیشتر است. یعنی اگر این دنباله را با حرف $a$ نامگذاری کنیم، آنوقت:
\[\begin{aligned}a_1&=-2\\a_2&=a_1+5=-2+5\\a_3&=a_2+5=(-2+5)+5=-2+2\times5\\a_4&=a_3+5=(-2+2\times5)+5=-2+3\times5.\end{aligned}\]
خاصیت مشترک بین این جملهها را می‌توان به‌صورت زیر نمایش داد.
\[\begin{aligned}a_{\color{red}1}&=-2+{\color{red}0}\times5\\a_{\color{red}2}&=-2+{\color{red}1}\times5\\a_{\color{red}3}&=-2+{\color{red}2}\times5\\a_{\color{red}4}&=-2+{\color{red}3}\times5.\end{aligned}\]
بنابراین، جملهٔ عمومی این دنباله میتواند به‌صورت زیر باشد.
\[a_{\color{red}n}=-2+{\color{red}(n-1)}\times5.\]
جملهٔ اول این دنباله، عدد $2$ است؛ برای جملههای بعدی، هر جمله $3$ برابر جملهٔ قبلیاش است. یعنی اگر این دنباله را با حرف $a$ نامگذاری کنیم، آنوقت:
\[\begin{aligned}a_1&=2\\a_2&=a_1\times3=2\times3\\a_3&=a_2\times3=(2\times3)\times3=2\times3^2\\a_4&=a_3\times3=(2\times3^2)\times3=2\times3^3.\end{aligned}\]
خاصیت مشترک بین این جملهها را می‌توان به‌صورت زیر نمایش داد.
\[\begin{aligned}a_{\color{red}1}&=2\times3^{\color{red}0}\\a_{\color{red}2}&=2\times3^{\color{red}1}\\a_{\color{red}3}&=2\times3^{\color{red}2}\\a_{\color{red}4}&=2\times3^{\color{red}3}.\end{aligned}\]
بنابراین، جملهٔ عمومی این دنباله میتواند به‌صورت زیر باشد.
\[a_{\color{red}n}=2\times3^{\color{red}n-1}.\]
صورت و مخرج اعضای این دنباله، به‌ترتیب اعداد فرد طبیعی و اعداد مربع کامل هستند:
\[\begin{aligned}\frac{1}{1},\frac{3}{4},\frac{5}{9},\frac{7}{16},\frac{9}{25},\dots.\end{aligned}\]
بنابراین، جملهٔ عمومی این دنباله میتواند به‌صورت زیر باشد.
\[a_n=\frac{2n-1}{n^2}.\]
اعداد این دنباله، یکیدرمیان، $1$ واحد از $7$ کمتر و $1$ واحد از $7$ بیشتر هستند. بنابراین، جملهٔ عمومی این دنباله میتواند به‌صورت زیر باشد.
\[\begin{aligned}a_n=7+(-1)^n.\end{aligned}\]
باید $n$ای را پیدا کنیم که بهازای آن حاصل $\frac{3n-1}{n+2}$ برابر $\frac{20}{9}$ شود. یعنی:
\[\begin{aligned}&\frac{3n-1}{n+2}=\frac{20}{9}\\[6pt]&\Rightarrow 9(3n-1)=20(n+2)\\&\Rightarrow 27n-9=20n+40\\&\Rightarrow 7n=49\\&\Rightarrow n=7.\end{aligned}\]
۴. در یک کشور، میانگین قیمت یک کالا هر سال $6$ درصد افزایش یافته است. در سال $2002$ میانگین قیمت این کالا $240\,000$ دلار بوده است. فرض کنید $a_n$ نشان‌دهندهٔ میانگین قیمت این کالا برای $n$ سال پس از سال $2002$ باشد.
میانگین قیمت این کالا در سال $2003$:
\[a_1=1.06\times240\,000.\]
میانگین قیمت این کالا در سال $2004$:
\[\begin{aligned}a_2&=(1.06)a_1\\&=(1.06)(1.06\times240\,000)\\&=(1.06)^2\times240\,000.\end{aligned}\]
میانگین قیمت این کالا در سال $2005$:
\[\begin{aligned}a_3&=(1.06)a_2\\&=(1.06)\big((1.06)^2\times240\,000\big)\\&=(1.06)^3\times240\,000.\end{aligned}\]
بنابراین، میانگین قیمت این کالا $n$ سال بعد از سال $2002$ از رابطهٔ زیر بهدست میآید:
\[a_n=(1.06)^n\times240\,000.\]
ب) میانگین قیمت این کالا در سال $2010$ چقدر بوده است؟
شکل ۱ را یک مثلث سربالا مینامیم. میخواهیم تعداد مثلثهای سربالا در شکل \(n\)اُم را بشماریم.
در سطر اول (از بالا) شکل $n$اُم، $1$ مثلث سربالا وجود دارد.
در سطر دوم شکل $n$اُم، $2$ مثلث سربالا وجود دارد.
در سطر سوم شکل $n$اُم، $3$ مثلث سربالا وجود دارد.
$\quad$ $\vdots$
در سطر $n$اُم شکل $n$اُم، $n$ مثلث سربالا وجود دارد.
بنابراین تعداد مثلثهای سربالا در شکل $n$اُم برابر است با:
\[1+2+3+\dots+n.\]
بنابراین، تعداد مثلثهای سربالا در شکل $n$اُم برابر است با:
\[\begin{aligned}1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}.\end{aligned}\]
چون تعداد چوبکبریتهای شکل $n$اُم با مجموع چوبکبریتهایی که مثلثهای سربالا را می‌سازند برابر است، پس تعداد چوبکبریتهای شکل $n$اُم برابر است با:
\[3\times\frac{n(n+1)}{2}.\]
شکل ۱، \(12\) چوبکبریت دارد.
تعداد چوبکبریتهای شکل ۲ را می‌توان اینگونه شمرد؛ یک مکعب با \(12\) چوبکبریت و \(2\) مکعب با \(8\) چوبکبریت:\[12+2(8).\]
تعداد چوبکبریتهای شکل ۳ را می‌توان اینگونه شمرد؛ یک مکعب با \(12\) چوبکبریت و \(4\) مکعب با \(8\) چوبکبریت: \[12+4(8).\]
تعداد چوبکبریتهای شکل ۴ را می‌توان اینگونه شمرد؛ یک مکعب با \(12\) چوبکبریت و \(6\) مکعب با \(8\) چوبکبریت: \[12+6(8).\]
بنابراین، تعداد چوبکبریتهای شکل \(n\) را می‌توان اینگونه شمرد؛ یک مکعب با \(12\) چوبکبریت و \(2n-2\) مکعب با \(8\) چوبکبریت: \[12+(2n-2)(8).\]
پرسش. آیا میتوانید حداقل دو روش دیگر برای حل این مسئله ارائه کنید؟
تعداد دایره‌های شکل‌های اول تا چهارم، به‌ترتیب برابرند با:
\[\begin{aligned}&{\color{blue}1\times1},\\&{\color{blue}2\times2}+{\color{red}1},\\&{\color{blue}3\times3}+{\color{red}1+2},\\&{\color{blue}4\times4}+{\color{red}1+2+3}.\end{aligned}\]
بنابراین، تعداد دایره‌های شکل نهم برابر است با:
\[\begin{aligned}&{\color{blue}9\times9}+{\color{red}1+2+3+\dots+8}\\&={\color{blue}81}+{\color{red}\frac{8\times9}{2}}\\&={\color{blue}81}+{\color{red}36}\\&=117.\end{aligned}\]
۷. سه جملهٔ اول یک دنباله را داریم:
\[1,4,9,\dots.\]
برای این دنباله، دو جملهٔ عمومی متفاوت پیدا کنید و در هریک، سه جملهٔ بعدی را بنویسید.
جملهٔ عمومی اول:
\[a_n=n^2.\]
در این حالت، شش جملهٔ اول دنباله عبارتند از:
\[1,4,9,16,25,36,\dots.\]
جملهٔ عمومی دوم:
\[b_n=n^2+(n-1)(n-2)(n-3).\]
در این حالت، شش جملهٔ اول دنباله عبارتند از:
\[1,4,9,22,49,96,\dots.\]
سؤال. آیا میتوانید جملهٔ عمومی دیگری برای این دنباله بیابید؟
۸. چهار جملهٔ اول یک دنباله را داریم:
\[2,4,8,16,\dots.\]
برای این دنباله، دو جملهٔ عمومی متفاوت پیدا کنید و در هریک، سه جملهٔ بعدی را بنویسید.
جملهٔ عمومی اول:
\[a_n=2^n.\]
در این حالت، هفت جملهٔ اول دنباله عبارتند از:
\[2^1,2^2,2^3,2^4,2^5,2^6,2^7,\dots.\]
جملهٔ عمومی دوم:
\[b_n=2^{n+(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}.\]
در این حالت، هفت جملهٔ اول دنباله عبارتند از:
\[2^1,2^2,2^3,2^4,2^{29},2^{126},2^{367},\dots.\]
۹. دنبالهٔ زیر را در نظر بگیرید. \[-2,0,2,4,\dots\] اگر جملهٔ عمومی این دنباله را با \(a_n\) نمایش دهیم، آیا می‌توان \(a_n\) را طوری تعیین کرد که
الف) \(a_5=6\)؟
