درسنامهٔ فاکتورگیری (تجزیهٔ عبارت‌های جبری)

برای اینکه درسنامهٔ فاکتورگیری را به‌خوبی بیاموزید، حتماً روی لینک زیر کلیک کنید و از روش ارائه شده در آن را به‌کار بگیرید.

چگونه درسنامه‌های سایت تکمیلی را بخوانیم؟

بعد از خواندن این درس، حتماً بقیهٔ جلسات درسنامهٔ اتحاد و تجزیه را نیز ببینید.

معمولاً دانش‌آموزان در عملیات پخشی (توزیع‌پذیری ضرب نسبت به جمع)، مشکل خاصی ندارند؛ اما در فاکتورگیری (که برعکس عملیات پخشی است)، دچار مشکل می‌شوند!
\[\begin{aligned}&\overset{\text{~~~پخشی~~~}}{\longrightarrow}\\[-4pt]a(b+&c)=ab+ac\\[-4pt]&\underset{\text{فاکتورگیری}}{\longleftarrow}\end{aligned}\]
اگر با فاکتور گیری مشکل دارید، مثال‌ها و تمرین‌های زیر بخوانید و به نحوهٔ نوشتن راه‌حل‌ها دقت کنید تا ایرادهای شما در این موضوع بسیار مهم برطرف شود.

یک تمرین اساسی

همیشه پس از اینکه حاصل‌ضرب دو یا چند عبارت جبری را به‌دست آوردید، از خودتان بپرسید که اگر حاصل را به شما داده بودند، چگونه باید آن را تجزیه می‌کردید. برای مثال، وقتی حاصل \((x+3)(y+1)\) را به‌دست آورید:
\[\begin{aligned}&(x+3)(y+1)\\&=x(y+1)+3(y+1)\\&=xy+x+3y+3.\end{aligned}\]
از خودتان بپرسید که چگونه باید \(xy+x+3y+3\) را تجزیه کنید. پاسخ این پرسش، جلوی رویمان است! کافی است راه‌حل بالا را برعکس بنویسیم:
\[\begin{aligned}&xy+x+3y+3\\&=\Big({\color{blue}x}y+{\color{blue}x}\times1\Big)+\Big({\color{red}3}y+{\color{red}3}\times1\Big)\qquad\text{دسته‌بندی}\\&={\color{blue}x}(y+1)+{\color{red}3}(y+1)\qquad\text{3 و x فاکتورگیری از}\\&=(y+1)({\color{blue}x}+{\color{red}3})\qquad\text{y+1 فاکتورگیری از}\end{aligned}\]

فاکتورگیری در محاسبات عددی

در برخی از تمرین‌های محاسبه‌ای، اگر از فاکتور گیری استفاده کنیم راه‌حل بسیار ساده‌تر خواهد بود.

مثال ۱. حاصل عبارت \(23\times87+77\times87\) را محاسبه کنید.

مثال ۲. در هر قسمت، تجزیه شدهٔ حاصل عبارت داده شده را بیابید.

الف) \(5\times13+12\times13\)

ب) \(37\times5-4\times25\)

ج) \(23\times50+7\times46\)

فاکتور گیری از یک‌جمله

ساده‌ترین تمرین‌های فاکتورگیری، فاکتورگیری از یک جمله‌ است. معمولاً دانش‌آموزان با چنین تمرین‌هایی مشکل چندانی ندارند.

مثال ۳. با استفاده از فاکتورگیری، جاهای خالی را پر کنید.

الف) \(-3x^4-9x^2=-3x^2(\cdots+\cdots)\)

ب) \(5x^2-20x=\cdots(\cdots-4)\)

مثال ۴. هریک از عبارت‌های زیر را تجزیه کنید.

الف) \(6y^3z-4yz^2\)

ب) \(27x^4-18x^3+9x^2\)

ج) \((6-m)m-m(7+m)\)

مثال ۵. همهٔ اعداد طبیعی‌ مانند \(n\) را بیابید که برای آنها، حاصل عبارت \(5n^2+12n\) عددی اول شود.

فاکتور گیری از دوجمله یا بیشتر از دو جمله

با اینکه فاکتورگیری از دو جمله یا بیشتر، تفاوتی با فاکتورگیری از یک جمله ندارد، اما دانش‌آموزان معمولاً در چنین تمرین‌هایی دچار مشکل می‌شوند. برای رفع چنین مشکلی، کافی است آن چند جمله را، یک جمله یا یک موجود فرض کنیم. در راه‌حل‌های زیر، موجودی که از آن فاکتور گرفته‌ شده با رنگ متفاوت نشان داده شده است.

مثال ۶. هریک از عبارت‌های زیر را تجزیه کنید.

الف) \((x+2)(a+b)+(x+2)(a-b)\)

ب) \((m+1)^2-2(m+1)\)

ج) \((y-1)^2+y(y-1)+8(y-1)\)

د) \((a+5)^2-(a+5)\)

فاکتورگیری دو مرحله‌ای

در بسیاری از تمرین‌های تجزیه، فقط با یک‌بار فاکتورگیری، عبارت داده شده تجزیه نمی‌شود. در برخی از این تمرین‌ها با دسته‌بندی و دوبار فاکتورگیری، می‌توان عبارت داده شده را تجزیه کرد.
مثال ۷. هریک از عبارت‌های زیر را تجزیه کنید.

الف) \((x-2)(x-4)+4x-8\)

ب) \((y+1)(y+5)-3y-15\)

ج) \(m^3-2m^2+3m-6\)

د) \(n^3+n^2+n+1\)

فاکتورگیری یا اتحادها؟!

توجه کنید که وقتی از اتحادها برای تجزیه کردن استفاده می‌کنید، درواقع از همان فاکتورگیری استفاده می‌کنید! برای مثال، با استفاده از اتحاد مربع دوجمله‌ای، عبارت \(a^2+2ab+b^2\) به‌سادگی تجزیه می‌شود:
\[a^2+2ab+b^2=(a+b)^2.\]
در اینجا شما یک فرمول را حفظ کرده‌اید و آن را به‌کار می‌برید. اگر بخواهید یک‌بار درستی این فرمول را نشان دهید، می‌توانید این‌گونه بنویسید:
\[\begin{aligned}&a^2+2ab+b^2\\&=a^2+ab+ab+b^2\\&=({\color{red}a}^2+{\color{red}a}b)+(a{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2)\\&={\color{red}a}(a+b)+{\color{blue}b}(a+b)\\&=({\color{red}a}+{\color{blue}b})(a+b)\\&=(a+b)^2.\end{aligned}\]
به‌عنوان مثال دیگر، اتحاد مزدوج به‌سادگی عبارت \(a^2-b^2\) را تجزیه می‌کند:
\[a^2-b^2=(a-b)(a+b).\]
اما اگر بخواهید درستی فرمول بالا را نشان دهید، می‌توانید بنویسید:
\[\begin{aligned}&a^2-b^2\\&=a^2+ab-ab-b^2\\&=(a^2+ab)+(-ab-b^2)\\&=a{\color{red}(a+b)}-b{\color{red}(a+b)}\\&=(a-b){\color{red}(a+b)}.\end{aligned}\]

زنگ تفریح

برای اینکه به مسائل فاکتورگیری مسلط‌تر شوید، حتماً تمرین‌های فاکتورگیری را حل کنید. 

تمرین‌های فاکتورگیری

فاکتورگیری با جئوجبرا

برای فاکتورگیری، یا در حالت‌کلی‌تر، یعنی تجزیهٔ چندجمله‌ای‌ها با جئوجبرا، از دستور Factor استفاده می‌کنیم. برای مثال، برای تجزیهٔ $2x^4+x^3+4x^2+x+2$، در قسمت Input می‌نویسیم:

سپس کلید Enter را فشار می‌دهیم. همان‌طور که در تصویر زیر می‌بینید، جئوجبرا، تجزیه شدهٔ چندجمله‌ای $2x^4+x^3+4x^2+x+2$ را نمایش می‌دهد.

نرم افزار جئوجبرا را از سایت رسمی آن و به طور رایگان، دانلود کنید.

دانلود جئوجبرا

فهرست درسنامهٔ اتحاد و تجزیه

با کلیک روی هریک از لینک‌های زیر، صفحهٔ مربوطه باز خواهد شد. جلسهٔ اول: تعریف اتحادتمرین‌های جلسهٔ اول
جلسهٔ دوم: یک‌جمله‌ای‌هاتمرین‌های جلسهٔ دوم
جلسهٔ سوم: چندجمله‌ای‌هاتمرین‌های جلسهٔ سوم
جلسهٔ چهارم: درجهٔ چندجمله‌ای‌هاتمرین‌های جلسهٔ چهارم
جلسهٔ پنجم: ریشهتمرین‌های جلسهٔ پنجم
جلسهٔ ششم: تقسیم چندجمله‌ای‌هاتمرین‌های جلسهٔ ششم
جلسهٔ هفتم: ریشهٔ مقسوم‌علیه و محاسبهٔ باقی‌ماندهتمرین‌های جلسهٔ هفتم
جلسهٔ هشتم: روش هورنرتمرین‌های جلسهٔ هشتم
جلسهٔ نهم: بخش‌پذیری در چندجمله‌ای‌هاتمرین‌های جلسهٔ نهم
جلسهٔ‌ دهم: تعریف تجزیهتمرین‌های جلسهٔ دهم
جلسهٔ یازدهم: رفتار چندجمله‌ای‌هاتمرین‌های جلسهٔ یازدهم
جلسهٔ دوازدهم: فاکتورگیریتمرین‌های جلسهٔ دوازدهم
جلسهٔ سیزدهم: اتحاد مربع دوجمله‌ایتمرین‌های جلسهٔ سیزدهم
جلسهٔ چهاردهم: اتحاد مزدوجتمرین‌های جلسهٔ چهاردهم
جلسهٔ پانزدهم: اتحاد جمله مشترکتمرین‌های جلسهٔ پانزدهم
جلسهٔ شانزدهم: مربع‌سازیتمرین‌های جلسهٔ شانزدهم
جلسهٔ هفدهم: یافتن ریشهٔ چندجمله‌ای درجه ۲تمرین‌های جلسهٔ هفدهم
جلسهٔ هجدهم: تجزیهٔ یک چندجمله‌ای درجه ۴تمرین‌های جلسهٔ هجدهم
جلسهٔ نوزدهم: مجموع مربعاتتمرین‌های جلسهٔ نوزدهم
جلسهٔ بیستم: اتحاد چاق و لاغرتمرین‌های جلسهٔ بیستم
جلسهٔ بیست‌ویکم: چند اتحاد دیگرتمرین‌های جلسهٔ بیست‌و‌یکم
جلسهٔ بیست‌ودوم: تکنیک‌های سنتی تجزیهتمرین‌های جلسهٔ بیست‌و‌دوم