قضیهٔ میانه-مساحت. میانهٔ مثلث، آن را به دو مثلث هم‌مساحت تقسیم می‌کند.
اثبات. در مثلث \(ABC\)، میانهٔ \(AM\) و ارتفاع \(AH\) را رسم می‌کنیم.
چون \(AM\) میانه است، پس \(BM=CM\). بنابراین، داریم:
\[\begin{aligned}S_{ABM}&=\frac{1}{2}AH\times BM\\[7pt]&=\frac{1}{2}AH\times CM\\[7pt]&=S_{ACM}.\end{aligned}\]
یعنی \(AM\) مثلث \(ABC\) را به دو مثلث هم‌مساحت \(ABM\) و \(ACM\) تقسیم کرده است.
عکس قضیهٔ میانه-مساحت. پاره‌خطی که یک مثلث را به دو مثلث هم‌مساحت تقسیم کند، میانهٔ آن مثلث است.
اثبات. فرض کنید \(AD\) مثلث \(ABC\) را به دو مثلث هم‌مساحت \(ABD\) و \(ACD\) تقسیم کرده باشد.
اگر \(AH\) ارتفاع مثلث \(ABC\) باشد، آن‌وقت داریم: \[\begin{aligned}&S_{ABD}=S_{ACD}\\[7pt]&\Rightarrow\frac{1}{2}AH\times BD=\frac{1}{2}AH\times CD\\[7pt]&\Rightarrow BD=CD.\end{aligned}\]
یعنی \(AD\) میانهٔ مثلث \(ABC\) است.
ارسال کامنت و دیدگاه
در اولین فرصت به کامنت شما پاسخ می‌دهیم و بلافاصله یک ایمیل برایتان ارسال می‌کنیم. ❤️سلام الان یک سوال برام پیش اومد چرا حالتی رو برسی نکردین که دو ارتفاع بیفته بیرون؟ ( یعنی وقتی که یکی از دو زاویه های B,C منفرجه باشن در اون صورت ارتفاع ها میفتن بیرون هر چند که باز تغییر نمیکنه ولی چرا برسی نکردین ؟ )
میشه بگین چون این سوال مهمی هست برای یک قضیه دیگه هم باید بدونم علتش رو
سلام
توجه کنید که رسم شکل جزء استدلال‌های هندسه نیست. شکل‌هایی که در بالا می‌بینید، صرفاً برای این است که خواننده راحت‌تر بتواند استدلال را بخواند.
آیا اگر ارتفاع بیرون باشد، در راه‌حل تغییری به‌وجود می‌آید؟
سلام
نه در راه حل تغییری ایجاد نمیشه ! اما آیا نباید این رو برسی کنیم ؟ چون در نگاه اول که واضح نیست و وقتی به این موضوع پی میبریم که این حالت هم برسی بشه به همین خاطر پرسیدم که چرا بررسی نکردین؟ چون فکر کردم شاید چیزی هست که متوجه نشدم یا نکته ای وجود داره !
سلام
منظورتان را متوجه نمی‌شوم! وقتی راه‌حل نوشته شده به شکل بستگی ندارد، یعنی بررسی شده است. در هیچ کتاب معتبری چنین چیزی را که شما می‌گویید نمی‌نویسند. درواقع، اگر راه‌حل نیاز به حالت‌بندی داشته باشد، در راه‌حل حالت‌ها نوشته می‌‌شود و اگر نیازی نباشد، طبیعتاً نوشتن همان راه‌حل تکرار نمی‌شود.
سلام وقت بخیر
آیا دراقع می‌گویید که در یک راه‌حل خوب و کامل، تمامی مراحل حل باید با استفاده از کلمات قابل‌درک باشند و «نیازی» به شکل نباشد؟ و آیا در یک راه‌حل خوب و کامل، نباید حداقل ذکر شود که در مثلث‌های دارای زاویهٔ باز هم این استدلال درست است؟ این‌ها پرسش‌های انکاری نیستند. صرفاٌ پرسش‌اند. با تشکر.
سلام
نه! با توجه به کامنت «رادوین سالاری» که گفته باید حالت‌بندی می‌کردید، به پرسش‌های شما پاسخ می‌دهم.
در اثبات قضیهٔ میانه-مساحت، یک شکل رسم شده است. این شکل صرفاً برای این است که راه‌حل را راحت‌تر درک کنیم و با حذف آن، هیچ ایراد منطقی در اثبات پیش نمی‌آید. ایراد رادوین سالاری این است که باید برای حالتی که ارتفاع بیرون مثلث باشد هم شکل رسم می‌کردیم و توضیح می‌دادیم. من گفته‌ام که نیازی به این کار نبوده؛ چون راه‌حل برای حالتی که ارتفاع بیرون باشد هم درست است. درواقع اگر متن راه‌حل برای مثلث با زاویهٔ باز کار نکند یا مجبور باشیم که برای مثلث با زاویهٔ باز عبارت‌های جبری دیگری بنویسیم، آن‌وقت مجبوریم حالت‌بندی انجام دهیم.
برای اینکه بهتر متوجه شوید، تمرین زیر را حل کنید.
تمرین. فرض کنید درستی فرمول مساحت مثلث را برای مثلث‌های قائم‌الزاویه پذیرفته باشیم. حالا فرمول مساحت مثلث را برای هر مثلث دلخواه به‌دست آورید.
سلام وقت به‌خیر و شرمنده بابت تاخیر شدید
فرمول مساحت مثلث، نصف حال‌ضرب ارتفاع در قاعده‌ای که بر آن وارد شده است، می‌باشد؛ که می‌خواهیم با فرض درست بودن آن برای مثلث قائم‌الزاویه، آن را برای دیگر مثلث‌ها نیز ثابت کنیم.
برای حل تمرین باید حالت‌بندی زیر را انجام دهیم:
۱. ارتفاعی که داخل مثلث است ۲. ارتفاعی که خارج از مثلث است
برای حالتی که ارتفاع مورد نظر، یکی از اضلاع مثلث باشد، مثلث قائم‌الزاویه را خواهیم داشت که درستی فرمول مساحت را برای آن، قبول داریم.
حالت ۱.
مساحت مثلث را به‌صورت مجموع مساحت‌های دو مثلث قائم‌الزاویه می‌نویسیم. داریم (به شکل نگاه کنید):\[\begin{aligned}&S_{ABC}=S_{ABH}+S_{ACH}\\\\=\;&\frac{AH\times BH}{2}+\frac{AH\times CH}{2}\\\\=\;&\frac{AH}{2}(BH+CH)\\\\=\;&\frac{AH}{2}(BC)=\frac{AH\times BC}{2}\end{aligned}\]
حالت ۲.
مساحت مثلث را به‌صورت تفاضل مساحت‌های دو مثلث قائم‌الزاویه می‌نویسیم. داریم (به شکل نگاه کنید):
\[\begin{aligned}=\;&\frac{AH\times CH}{2}-\frac{AH\times BH}{2}\\\\=\;&\frac{AH}{2}(CH-BH)\\\\=\;&\frac{AH}{2}(BC)=\frac{AH\times BC}{2}\end{aligned}\]
البته می‌توانستیم ابتدا ثابت کنیم که در هر مثلثی که قائم‌الزاویه نباشد، حداقل یک ارتفاع داخلی وجود دارد و سپس با اثبات حالت ۱، پیش می‌رفتیم. اما دلیل انتخاب حالت‌بندی این بود که با این اثبات، علاوه بر اثبات فرمول برای ارتفاع داخلی، آن را برای ارتفاع خارجی نیز اثبات کردیم و می‌توانیم بعدها از برابری این دو استفاده کنیم.
به‌دلیلی، دکمه‌ی آپلود تصویر برای من زیر هیچ کامنتی وجود ندارد و درحال‌حاضر نمی‌توانم شکل‌ها را آپلود کنم.
اینکه دکمهٔ آپلود تصویر برای شما نمایش داده نمی‌شود، مورد عجیبی است. از چه مرورگری استفاده می‌کنید؟
سلام
من از مرورگر کروم استفاده می‌کنم و آن موقع دکمه‌ی آپلود تصویر موجود نبود اما در حال حاضر با تغییرات جدید انجام‌شده، این امکان دوباره وجود دارد
تصویرهای مربوط به متن بالا:
ممنون
جالبه که من برای مثلث با زاویه باز فکر کردم جواب نده ( چون اگر از دو راس دیگر مثلث ارتفاع بکشیم بیرون میفته ) اما با اون ها هم جواب میده در نتیجه همیشه میانه به دو قسمت مساوی تقسیم میکنه و البته عکس قضیه میانه هم همینطوره