محاسبه حجم حاصل از دوران یک متوازی‌الاضلاع حول یکی از اضلاعش

فرض کنید در متوازی‌الاضلاع $ABCD$ زاویه‌های \(A\) و \(C\) تند باشند. حجم حاصل از دوران $ABCD$ حول ضلع $AD$ چقدر است؟

از رأس‌های \(A\) و \(C\) ارتفاع‌های وارد بر \(BC\) و \(AD\) را رسم می‌کنیم.

حجم حاصل از دوران مستطیل \(AECF\) حول $AD$ برابر است با:
\[V_1=\pi AF^2 \times AE.\]
از طرفی، \(BF=DE\). چرا؟

حجم حاصل از دوران مثلث $CDE$ حول ضلع $DE$ برابر است با:
\[\begin{aligned}V_2&=\frac{\pi}{3}CE^2\times DE\\[7pt]&=\frac{\pi}{3}AF^2\times DE.\end{aligned}\]
حجم حاصل از دوران مثلث $ABF$ حول $AD$ برابر است با:
\[V_3=\frac{2\pi}{3}AF^2\times DE.\]
چرا؟

از $B$ بر $AD$ یک عمود رسم می‌کنیم.

حجم حاصل از دوران $AFBH$ حول $AH$ برابر است با:
\[V_4=\pi AF^2\times BF.\]
حجم حاصل از دوران $ABH$ حول $AH$ برابر است با:
\[\begin{aligned}V_5&=\frac{\pi}{3}BH^2\times AH\\[7pt]&=\frac{\pi}{3}AF^2\times BF.\end{aligned}\]
بنابراین:
\[\begin{aligned}V_3&=V_4-V_5\\[7pt]&=\pi AF^2\times BF-\frac{\pi}{3}AF^2\times BF\\[7pt]&=\frac{2\pi}{3}AF^2\times BF\\[7pt]&=\frac{2\pi}{3}AF^2\times DE.\end{aligned}\]

حجم حاصل از دوران متوازی‌الاضلاع $ABCD$ حول $AD$ برابر است با:
\[\begin{aligned}V&=V_1-V_2-V_3\\[7pt]&=V_1-(V_2+V_3)\\[7pt]&=\pi AF^2\times AE-\Big(\frac{\pi}{3}AF^2\times DE+\frac{2\pi}{3}AF^2\times DE\Big)\\[7pt]&=\pi\Big(AF^2\times AE-\big(\frac{1}{3}AF^2\times DE+\frac{2}{3}AF^2\times DE\big)\Big)\\[7pt]&=\pi\Big(AF^2\times AE-AF^2\times DE\Big)\\[7pt]&=\pi AF^2(AE-DE)\\[7pt]&=\pi AF^2\times AD.\end{aligned}\]

در ویدئو زیر می‌توانید شکل حاصل از دوران یک متوازی‌الاضلاع را ببینید.