هشتم. فصل ۳. چندضلعی‌ها و تقارن. تمرین ۱

۸. ۳. ۲. ۱. در بازی مثلث که در بخش قبل معرفی شد،
الف) نفر اول چگونه بازی کند که همیشه برنده باشد؟
ب) فرض کنید بازی را با $n$ نقطه $(n>4)$ از رأس‌های یک $n$-ضلعی منتظم انجام می‌دهید. برای چه $n$هایی نفر اول همیشه می‌تواند برنده باشد؟ برای چه $n$هایی نفر دوم می‌تواند همیشه برنده باشد؟

راهنمای حل

الف) شش نقطه را به‌صورت زیر در نظر بگیرید.

نفر اول، پاره‌خط $AD$ را رسم می‌کند و نقطهٔ وسط آن را به‌عنوان مرکز تقارنِ شکل (نقطهٔ $G$) در نظر می‌گیرد.

نفر دوم، هر پاره‌خطی را که رسم کرد، نفر اول قرینهٔ آن را (نسبت به نقطهٔ $G$) رسم می‌کند. برای مثال، اگر نفر دوم $AB$ را رسم کرد، نفر اول $DE$ را رسم می‌کند.
البته یک استثناء وجود دارد؛ اگر نفر دوم $CF$ یا $BE$ را رسم کرد، نفر اول $BE$ یا $CF$ را رسم می‌کند.

با روش گفته شده، واضح است که اگر نفر اول مثلثی رسم کرده باشد، قبل از او،‌ نفر دوم مثلثی رسم کرده است.

ب) راهنمایی: برای $n$های زوجی که مضرب ۴ نیستند می‌توان از روش قسمت «الف» استفاده کرد. برای $n$های مضرب ۴ نیز می‌توان از روشی مشابه روش قسمت «الف» استفاده کرد.

نقد مسئله. در کتاب‌های تکمیلی، مسائلی مانند قسمت «ب» مسئلهٔ‌ بالا، با عنوان «پروژه» معرفی شده‌اند. در مورد این مسئله، یا نویسندگان کتاب فراموش کرده‌اند که عبارت «پروژه» را قبل از مسئله بنویسند یا ….