می‌دانیم \(a\)، \(b\)، \(c\)، و \(d\) اعداد فرد هستند و \(a < b < c < d\). بنابراین، اگر \(a > 3\)، آنگاه \(a\geq5\)، \(b\geq7\)، \(c\geq9\)، و \(d\geq11\). پس
\[\begin{aligned}a+b+c+d\geq5+7+9+11=32.\end{aligned}\] در نتیجه، \(a\) نمیتواند بزرگ‌تر از \(3\) باشد.
اگر \(a=3\)، آنگاه فقط یک جواب برای معادلهٔ داده شده، وجود دارد.
اگر \(a=3\)، آنگاه \(b\geq5\)، \(c\geq7\)، و \(d\geq9\). در این‌صورت حداقل مقدار برای \(a+b+c+d\) برابر است با:
\[3+5+7+9=24.\]
اگر \(a=1\)، آنگاه \(b\) نمیتواند بزرگ‌تر از \(5\) باشد.
اگر \(a=1\) و \(b\) بزرگ‌تر از \(5\) باشد، آنگاه \(b\geq7\)، \(c\geq9\)، و \(d\geq11\). بنابراین، حداقل مقدار برای \(a+b+c+d\) برابر است با:
\[1+7+9+11=28.\] پس \(b\) نمیتواند بزرگ‌تر از \(5\) باشد.
اگر \(a=1\) و \(b=5\)، آنگاه فقط یک جواب برای معادلهٔ داده شده وجود دارد.
اگر \(a=1\) و \(b=5\)، آنگاه \(c+d\) باید برابر \(18\) باشد. زیرا:
\[\begin{aligned}&1+5+c+d=24\\&\Rightarrow c+d=24-6\\&\Rightarrow c+d=18.\end{aligned}\] حال چون می‌دانیم \(c < d\)، پس
\[c < \frac{18}{2}=9.\] بنابراین، اگر \(a=1\) و \(b=5\)، آنگاه \(c\) فقط می‌تواند برابر \(7\) باشد، و در نتیجه، \(d=11\) و
\[1+5+7+11=24.\]
اگر \(a=1\) و \(b=3\)، آنگاه دقیقاً سه جواب برای معادلهٔ داده شده وجود دارد.
اگر \(a=1\) و \(b=3\)، آنگاه \(c+d\) باید برابر \(20\) باشد. زیرا:
\[\begin{aligned}&1+3+c+d=24\\&\Rightarrow c+d=24-4\\&\Rightarrow c+d=20.\end{aligned}\] حال چون می‌دانیم \(c < d\)، پس
\[c < \frac{20}{2}=10.\] بنابراین، اگر \(a=1\) و \(b=3\)، آنگاه سه حالت برای \(c\) وجود دارد.
حالت اول: \(c=5\). در این حالت \(d=15\) و
\[1+3+5+15=24.\]
حالت دوم: \(c=7\). در این حالت \(d=13\) و
\[1+3+7+13=24.\]
حالت سوم: \(c=9\). در این حالت \(d=11\) و
\[1+3+9+11=24.\]
مینا \(1\) یا \(2\) و یا \(3\) عدد را از لیست اعداد \(2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, 81\) انتخاب می‌کند و مجموع آن‌ها را روی کاغذ می‌نویسد. (اگر مینا فقط یک عدد انتخاب کند، آن عدد همان مجموع است.) اگر بدانیم عددی که مینا نوشته کوچک‌تر یا مساوی \(100\) است، آنگاه چند حالت مختلف برای عددی که مینا نوشته است، وجود دارد؟
حالت اول. اگر مینا فقط یک عدد انتخاب کند، \(8\) حالت ممکن وجود دارد، که همان اعداد داده شده هستند:
\[2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, 81.\]
حالت دوم. برای اینکه مجموع دو عدد را نشان دهیم، یک جدول رسم می‌کنیم و اعداد سمت چپ را با اعداد بالای جدول جمع می‌کنیم. از آنجایی که نیازی به جمع یک عدد با خودش و جمع دوباره‌ٔ دو عدد نداریم، فقط قسمت بالای جدول را پر می‌کنیم.
دو نکته از این جدول برداشت می‌شود:
\(\bullet\) اول اینکه، هرگاه دو عدد پشت سر هم را با هم جمع کنیم، یکی از همین اعداد داخل لیست را به دست می‌آوریم. پس آن را به عنوان مجموع جدید در نظر نمی‌گیریم، زیرا آن را به عنوان مجموع تک عددی حساب کرد‌ه‌ایم.
\(\bullet\) دوم اینکه، مجموع‌های دیگر، همگی متمایزند و \(20\)تا حاصل‌جمع وجود دارد که کمتر یا برابر با \(100\) هستند.
حالت سوم. در این حالت، حاصل‌جمع سه عدد از لیست را در نظر می‌گیریم.
نکتهٔ اول بند قبل (که درباره وجود مجموع هر دو عدد پشت سرهم در خود لیست گفته شد،) در اینجا بسیار اهمیت دارد.
اگر سه عدد پشت سر هم از لیست انتخاب شوند، ممکن است، از بین این سه عدد، مجموع دو عدد بزرگ‌تر برابر با عدد دیگری از لیست مینا باشد. برای مثال:
\[\begin{aligned}&5+7+12\\&=5+(7+12)\\&=5+19\\&=26\end{aligned}\] که در حالت دوم آن را شمرده‌ایم.
توجه کنید که اگر دو عدد از این \(3\) عدد، پشت سر هم باشند، باز هم همین اتفاق مجدداً رخ می‌دهد. برای مثال:
\[\begin{aligned}&12+19+50\\&=(12+19)+50\\&=31+50\\&=81\end{aligned}\]
یا
\[\begin{aligned}&2+31+50\\&=2+(31+50)\\&=2+81\\&=83.\end{aligned}\]
بنابراین، هر مجموع جدیدی که بخواهیم حساب کنیم، باید سه عددی باشند که دو عدد پشت سرهم نداشته باشند.
حال، هر کدام از حالت‌ها را جداگانه حساب می‌کنیم. با در نظر گرفتن این نکات که مجموع سه عدد باید کمتر از \(100\) باشد و همچنین، هیچ دو عددی نباید پشت سرهم باشند داریم:
\[\begin{aligned}&2+7+19=28\\&2+7+31=40\\&2+7+50=59\\&2+7+81=90\\&2+12+31=45\\&2+12+50=64\\&2+12+81=95\\&2+19+50=71\\[7pt]&5+12+31=48\\&5+12+50=67\\&5+12+81=98\\&5+19+50=74\\[7pt]&7+19+50=76.\end{aligned}\]
هر ترکیب دیگری از سه عدد، یا دو عدد پشت سرهم دارد (که در حالت‌های اول یا دوم شمرده شده‌اند) و یا \(81\) و \(31\)، یا \(81\) و \(19\) را شامل می‌شود (که خیلی بزرگ است).
در حالت سوم، \(13\)تا مجموع دیگر به‌دست آوردیم. پس همهٔ حالت‌های ممکن برای عددی که مینا نوشته، برابر است با:
\[8+20+13=41.\]
«عددساز» نام یک ماشین است که یک عدد گویای بین \(0\) و \(1\)، مانند \(x\)، را می‌گیرد و با قانون‌های زیر کار می‌کند.
\(\bullet\) اگر \(x\leq\frac{1}{2}\) وارد ماشین عددساز شود، آن‌وقت عددساز \(2x\) را تحویل می‌دهد.
\(\bullet\) اگر \(x>\frac{1}{2}\) وارد ماشین عددساز شود، آن‌وقت عددساز \(2-2x\) را تحویل می‌دهد.
توجه کنید که اگر \(x\leq0\) یا \(x\geq1\) وارد عددساز شود، آن‌وقت عددساز خطا (\(error\)) می‌دهد!
برای مثال، اگر \(\frac{5}{13}\) را وارد عددساز کنیم و خروجی را دوباره وارد عددساز کنیم و این‌کار را ادامه دهیم، زنجیر زیر تولید می‌شود:
\[\frac{5}{13}\to\frac{10}{13}\to\frac{6}{13}\to\frac{12}{13}\to\frac{2}{13}\to\cdots\]
مینا عدد \(a\) را وارد عددساز کرد و خروجی را دوباره وارد عددساز کرد و این‌کار را ادامه داد تا زنجیر زیر به‌دست آمد.
\[a\to b\to c\to1\to error.\] حاصل‌جمع همهٔ مقدارهای ممکن برای \(a\) را به‌دست آورید.
واضح است که \(a\)، \(b\)، و \(c\) بین \(0\) و \(1\) هستند.
چون در غیر این‌صورت، عددساز خطا (\(error\)) می‌داد.
\(c=\frac{1}{2}\).
چون وقتی \(c\) را وارد عددساز می‌کنیم، خروجی عدد \(1\) است، دو حالت برای \(c\) وجود دارد. حالت اول. \(c\leq\frac{1}{2}\). در این‌صورت داریم:
\[2c=1\Rightarrow c=\frac{1}{2}.\] حالت دوم. \(c>\frac{1}{2}\). در این‌صورت داریم:
\[\begin{aligned}&2-2c=1\\&\Rightarrow 2-1=2c \\&\Rightarrow 1=2c \\&\Rightarrow \frac{1}{2}=c\end{aligned}\] که با فرض حالت دوم در تناقض است.
در نتیجه، \(b=\frac{1}{4}\) یا \(b=\frac{3}{4}\).
می‌دانیم که زنجیر مینا به‌صورت زیر است.
\[a\to b\to \frac{1}{2}\to 1\to error.\] یعنی وقتی \(b\) را وارد عددساز کنیم، خروجی \(\frac{1}{2}\) است. دو حالت برای \(b\) وجود دارد. حالت اول. \(b\leq\frac{1}{2}\). در این‌صورت داریم:
\[2b=\frac{1}{2}\Rightarrow b=\frac{1}{4}.\] حالت دوم. \(b>\frac{1}{2}\). در این‌صورت داریم:
\[\begin{aligned}&2-2b=\frac{1}{2}\\[7pt]&\Rightarrow2-\frac{1}{2}=2b\\[7pt]&\Rightarrow\frac{3}{2}=2b\\[7pt]&\Rightarrow\frac{3}{4}=b.\end{aligned}\]
بنابراین، چهار حالت برای \(a\) وجود دارد: \(a=\frac{1}{8}\)، \(a=\frac{3}{8}\)، \(a=\frac{5}{8}\)، یا \(a=\frac{7}{8}\).
می‌دانیم که حالت‌های ممکن برای زنجیر مینا عبارتند از
\[\begin{aligned}&a\to \frac{1}{4}\to\frac{1}{2}\to 1\to error\\[7pt]&a\to\frac{3}{4}\to\frac{1}{2}\to1 \to error.\end{aligned}\] \(\bullet\) اگر \(b=\frac{1}{4}\)، آنگاه دو حالت برای \(a\) وجود دارد. حالت اول. \(a\leq\frac{1}{2}\). در این‌صورت داریم:
\[2a=\frac{1}{4}\Rightarrow a=\frac{1}{8}.\] حالت دوم. اگر \(a>\frac{1}{2}\). در این‌صورت داریم:
\[\begin{aligned}&2-2a=\frac{1}{4}\\[7pt]&2-\frac{1}{4}=2a\\[7pt]&\frac{7}{4}=2a\\[7pt]&\frac{7}{8}=a.\end{aligned}\]
\(\bullet\) اگر \(b=\frac{3}{4}\)، آنگاه بازهم دو حالت برای \(a\) وجود دارد. حالت اول. \(a\leq\frac{1}{2}\). در این‌صورت داریم:
\[2a=\frac{3}{4}\Rightarrow a=\frac{3}{8}.\] حالت دوم. اگر \(a>\frac{1}{2}\). در این‌صورت داریم:
\[\begin{aligned}&2-2a=\frac{3}{4}\\[7pt]&2-\frac{3}{4}=2a\\[7pt]&\frac{5}{4}=2a\\[7pt]&\frac{5}{8}=a.\end{aligned}\]
بنابراین، حاصل‌جمع همهٔ مقدارهای ممکن برای \(a\) برابر است با:
\[\frac{1}{8}+\frac{3}{8}+\frac{5}{8}+\frac{7}{8}=\frac{16}{8}=2.\]
یک مستطیل لبه‌سفید:
\(\bullet\) یک مستطیل \(m\times n\) است که \(m\) و \(n\) اعدادی طبیعی هستند و \(m\geq3\) و \(n\geq3\).
\(\bullet\) با مربع‌های \(1\times1\) شبکه‌بندی شده است.
\(\bullet\) مربع‌های \(1\times1\) داخل آن که ضلع مشترکی با ضلع‌های مستطیل ندارند، زرد هستند.
\(\bullet\) مربع‌های \(1\times1\) داخل آن که با ضلع‌های مستطیل ضلع مشترک دارند، سفید هستند.
برای مثال، شکل زیر، یک مستطیل لبه‌سفید است که در آن \(m=6\) و \(n=8\).
برای یک مستطیل لبه‌سفید، نسبت ناحیهٔ زرد به ناحیهٔ سفید را با \(r\) نمایش می‌دهیم. برای مثال، در شکل بالا داریم: \[r=\frac{24}{24}=1.\]
در یک مستطیل لبه‌سفید داریم \(n=4\) و \(r=\frac{a}{23}\). اگر \(a\) یک عدد طبیعی باشد، آنگاه حاصل‌ضرب همهٔ مقدارهای ممکن برای \(a\) را محاسبه کنید.
در یک مستطیل لبه‌سفید، اگر \(n=4\)، آنگاه \(r=1-\frac{4}{m+2}\).
واضح است که در یک مستطیل لبه‌سفید، تعداد مربع‌های \(1\times1\) زرد و سفید به‌ترتیب برابر \((m-2)(n-2)\) و \(2m+2n-4\) است. بنابراین،
\[\begin{aligned}r&=\frac{(m-2)(n-2)}{2m+2n-4}\\[7pt]&=\frac{(m-2)(4-2)}{2m+2(4)-4}\\[7pt]&=\frac{(m-2)\times2}{2m+8-4}\\[7pt]&=\frac{(m-2)\times2}{2m+4}\\[7pt]&=\frac{(m-2)\times2}{2(m+2)}\\[7pt]&=\frac{m-2}{m+2}\\[7pt]&=\frac{m+2-4}{m+2}\\[7pt]&=\frac{m+2}{m+2}-\frac{4}{m+2}\\[7pt]&=1-\frac{4}{m+2}.\end{aligned}\]
از طرفی، می‌دانیم \(r=\frac{a}{23}\). پس:
\[\begin{aligned}&1-\frac{4}{m+2}=\frac{a}{23}\\[7pt]&\Rightarrow1-\frac{a}{23}=\frac{4}{m+2}\\[7pt]&\Rightarrow\frac{23-a}{23}=\frac{4}{m+2}\\[7pt]&\Rightarrow(23-a)(m+2)=4\times23.\end{aligned}\] چون \(m\geq3\)، پس \(m+2\geq5\) و از آنجا که \(m\) عددی طبیعی است، نتیجه می‌گیریم که \(23-a\) نیز عددی طبیعی است و بنابراین، \(a<23\). از طرفی، \[\begin{aligned}&4\times23\\&=1\times92\\&=2\times46.\end{aligned}\] در نتیجه، سه مقدار متفاوت برای \(a\) وجود دارد:
\[\begin{aligned}&23-a=4\Rightarrow 19=a\\&23-a=1\Rightarrow22=a\\&23-a=2\Rightarrow21=a.\end{aligned}\] بنابراین، حاصل‌ضرب همهٔ مقدارهای ممکن برای \(a\) برابر است با:
\[19\times22\times21=8778.\]
رادوین یک عدد صحیح مثبت \(4\)رقمی انتخاب کرده است. او یکی از ارقام را پاک می‌کند. \(3\)رقم باقی مانده نیز، یک عدد صحیح مثبت \(3\)رقمی است. رادوین عدد \(4\)رقمی و \(3\)رقمی را با هم جمع می‌کند و پاسخ برابر \(6031\) می‌شود. مجموع ارقام این عدد \(4\)رقمی چند است؟
فرض کنید عددی که رادوین انتخاب کرده است \(abcd\) باشد، که در آن \(d\) رقم یکان، \(c\) رقم دهگان، \(b\) رقم صدگان و \(a\) رقم هزارگان است.
رادوین حتماً رقم \(d\) را پاک کرده است.
اگر رادوین رقم \(a\) را پاک کرده باشد، عدد \(3\)رقمی ایجاد شده \(bcd\) است، و مجموع این دو عدد برابر \(abcd + bcd\) است، که رقم یکان این مجموع به‌صورت زیر است:\[d + d = 2d.\] یعنی باید رقم یکان زوج باشد، چون \(2d\) زوج است. اما یکان عدد \(6031\) فرد است، پس او رقم \(a\) را پاک نکرده است.
به دلیل مشابه، او نمیتواند رقم \(b\) یا \(c\) را پاک کرده باشد. بنابراین، رادوین رقم \(d\) را پاک کرده است.
حال، می‌دانیم:
\[\begin{aligned}&\overline{abcd}+\overline{abc}=6031\\&\Rightarrow1000a+100b+10c+d+100a+10b+c=6031\\&\Rightarrow1100a+110b+11c+d=6031\\&\Rightarrow11(100a+10b+c)+d=6031\\&\Rightarrow11(100a+10b+c)+d=11\times548+3.\end{aligned}\]
چون \(a\)، \(b\)، \(c\)، و \(d\) رقم هستند، از معادلهٔ بالا نتیجه می‌شود \(d=3\) و
\[\begin{aligned}&11(100a+10b+c)=11\times548\\&\Rightarrow100a+10b+c=548\\&\Rightarrow a=5,b=4,c=8.\end{aligned}\]
بنابراین، عدد چهاررقمی رادوین \(5483\) است و مجموع رقم‌های آن برابر است با:
\[5+4+8+3=20.\]
راه‌حل دوم
فرض کنید عددی که رادوین انتخاب کرده است \(abcd\) باشد، که در آن \(d\) رقم یکان، \(c\) رقم دهگان، \(b\) رقم صدگان و \(a\) رقم هزارگان است.
رادوین حتماً رقم \(d\) را پاک کرده است.
اگر رادوین رقم \(a\) را پاک کرده باشد، عدد \(3\)رقمی ایجاد شده \(bcd\) است، و مجموع این دو عدد برابر \(abcd + bcd\) است، که رقم یکان این مجموع به‌صورت زیر است:\[d + d = 2d.\] یعنی باید رقم یکان زوج باشد، چون \(2d\) زوج است. اما یکان عدد \(6031\) فرد است، پس او رقم \(a\) را پاک نکرده است.
به دلیل مشابه، او نمیتواند رقم \(b\) یا \(c\) را پاک کرده باشد. بنابراین، رادوین رقم \(d\) را پاک کرده است.
حاصل‌جمع دو عدد \(abcd\) و \(abc\) را به‌صورت ستونی می‌نویسیم:
در ستون‌های بالا، اگر حاصل‌جمع ارقام ستون یکان بزرگ‌تر از \(9\) باشد، آن‌وقت \(1\) واحد به ستون دهگان اضافه می‌شود. رقم اضافه شونده به ستون دهگان را با \(x\) نمایش می‌دهیم. به‌همین‌ترتیب، رقم اضافه شونده به‌ستون‌های صدگان و هزارگان را به‌ترتیب با \(y\) و \(z\) نمایش می‌دهیم:
می‌توان نشان داد که \(z=1\).
واضح است که \(y+a+b < 30\). زیرا \(y\)، \(a\)، و \(b\) سه رقم از ارقام \(0\) تا \(9\) هستند و مجموع سه رقم همواره کوچک‌تر از \(28\) است. (حاصل‌جمع سه رقم دلخواه، حداکثر برابر است با \(9+9+9=27\). از طرفی، چون رقم یکان حاصل‌جمع \(y+a+b\) برابر \(0\) است، پس سه حالت برای \(y+a+b\) وجود دارد: حالت اول: \(y+a+b=0\). اگر مجموع این سه رقم برابر \(0\) باشد، آن‌وقت هر سه‌تای آن‌ها باید برابر صفر باشد. اما چون \(abcd\) یک عدد چهاررقمی است، \(a\) نمیتواند برابر \(0\) باشد. حالت دوم: \(y+a+b=20\). چون \(y\) دهگان حاصل‌جمع \(x+c+b\) است، پس بیشترین مقدار ممکن برای \(y\) برابر \(2\) است. اگر \(y\) برابر \(2\) باشد، آن‌وقت \(a\) و \(b\) باید برابر \(9\) باشند. اما در حاصل‌جمع زیر، واضح است که \(a\) نمیتواند برابر \(9\) باشد. (چون \(a+z=6\)، پس \(a\leq6\).)
حالت سوم: \(y+a+b=10\). چون \(a\leq6\)، پس می‌توان ارقامی مانند \(b\) و \(y\) یافت به‌طوری‌که \(y+a+b=10\). اکنون از سه حالت بالا نتیجه می‌شود که \(z=1\).
چون \(z=1\) و \(a+z=6\)، پس \(a=5\).
حال، می‌توان نشان داد که \(b=4\) و \(y=1\).
می‌دانیم:
\[\begin{aligned}&a+b+y=10\\&\Rightarrow5+b+y=10\\&\Rightarrow b+y=5.\end{aligned}\] چون \(y\) دهگان مجموع سه رقم \(b\)، \(c\)، و \(x\) است، پس \(y\) یکی از ارقام \(0\)، \(1\)، یا \(2\) است.
\(\bullet\) اگر \(y=0\) آن‌وقت \(b=5\). در ستون دهگان، \(b\) را برابر با \(5\) قرار می‌دهیم. چون رقم یکانِ حاصل‌جمعِ ستونِ دهگان برابر \(3\) است (و از \(5\) کوچک‌تر است)، پس در ستون دهگان باید \(b+c+x\) عددی دورقمی باشد که این با فرض \(y=0\) در تناقض است.
\(\bullet\) اگر \(y=1\)، آن‌وقت داریم:
\[\begin{aligned}&a+b+y=10\\&\Rightarrow5+b+1=10\\&\Rightarrow6+b=10\\&\Rightarrow b=4.\end{aligned}\]
\(\bullet\) اگر \(y=2\)، از ستون صدگان نتیجه می‌شود که \(b=3\). از طرفی، باید \(x+c+b=23\)، و در نتیجه، \(x+c=20\)؛ ولی چنین چیزی امکان ندارد! (چون واضح است که مجموع دو رقم نمیتواند برابر \(20\) شود.)
اکنون، می‌توان نشان داد که \(x=1\)، \(c=8\)، \(d=3\).
واضح است که حاصل‌جمع دو رقم همواره کوچک‌تر از \(19\) است. بنابراین، در ستون یکان، مجموع دو رقم \(d\) و \(c\) یا برابر \(1\) است یا برابر \(11\).
\(\bullet\) اگر \(c+d\) برابر \(1\) باشد، آنگاه در ستون دهگان \(x=0\) و در نتیجه، \(c=9\). اما در این حالت، مقدار \(c\) در ستون یکان نمیتواند برابر \(9\) باشد.
\(\bullet\) اگر \(c+d\) برابر \(11\) باشد، آنگاه در ستون دهگان \(x=1\) و در نتیجه، \(c=8\).
حال، چون \(c+d=11\) و \(c=8\)، پس \(d=3\).
بنابراین، عدد چهاررقمی رادوین \(5483\) است و مجموع رقم‌های آن برابر است با:
\[5+4+8+3=20.\]
لیانا \(4\) رقم متفاوت از ارقام \(1\) تا \(9\) انتخاب کرده و با آن‌ها \(24\) عدد \(4\)رقمی (با ارقام متفاوت) ساخته است. فرض کنید که حاصل‌جمع این \(24\) عدد، برابر \(N\) باشد. اگر لیانا این \(24\) عدد را طوری ساخته باشد که مجموع مقسوم‌علیه‌های اول \(N\)، بیشترین مقدار ممکن باشد، آنگاه مجموع مقسوم‌علیه‌های اول \(N\) را به‌دست آورید.
فرض می‌کنیم \(a\)، \(b\)، \(c\) و \(d\)، \(4\) رقم انتخابی از اعداد \(1\) تا \(9\) باشند که با یکدیگر متفاوتند. لیانا با این \(4\) رقم، \(24\) عدد \(4\)رقمی (با رقم‌های متفاوت) ساخته است.
مسئله را در \(3\) مرحله حل می‌کنیم.
مرحلهٔ اول: بررسی یکان، دهگان، صدگان، و هزارگان
در این \(24\) عدد، ارقام \(a\)، \(b\)، \(c\)، و \(d\) در جایگاه‌های یکان، دهگان، صدگان، و هزارگان قرار می‌گیرند. اگر رقم هزارگان \(a\) باشد، آنگاه \(6\) حالت ممکن برای \(3\) رقم بعدی داریم:\[bcd, bdc, cbd, cdb, dbc, dcb.\] یعنی، \(6\) حالت ممکن برای اعداد \(4\)رقمی وجود دارد به‌طوری‌که رقم هزارگان آن‌ها \(a\) باشد.
به طور مشابه، اگر رقم هزارگان \(b\)، \(c\)، یا \(d\) باشد، \(6\) حالت ممکن برای \(3\) رقم بعدی داریم. یعنی، \(6 \times 3 = 18\) حالت ممکن برای اعداد \(4\)رقمی وجود دارد به‌طوری‌که رقم هزارگان آن‌ها \(b\)، \(c\)، یا \(d\) باشد.
بنابراین، می‌توان گفت هر کدام از ارقام \(a\)، \(b\)، \(c\)، و \(d\)، \(6\)بار در جایگاه هزارگان، \(6\)بار در جایگاه صدگان، \(6\)بار در جایگاه دهگان، و \(6\)بار در جایگاه یکان قرار می‌گیرند.
مرحلهٔ دوم: محاسبۀ \(N\)
چون از ارقام \(a\)، \(b\)، \(c\) و \(d\)، هر کدام \(6\)بار در جایگاه یکان قرار می‌گیرند، پس مجموع حاصل‌جمع یکان‌های این \(24\) عدد \(4\)رقمی برابر است با:
\[6a + 6b + 6c + 6d = 6 (a + b + c + d).\]
به همین ترتیب می‌توان حاصل‌جمع دهگان‌ها، صدگان‌ها، و هزارگان‌های این \(24\) عدد \(4\) رقمی را نیز به‌دست آورد. بنابراین:
\[\begin{aligned}N&=1000 \times 6 \times (a + b + c + d) + 100 \times 6 \times (a + b + c + d) + 10 \times 6 \times (a + b + c + d)+ 6 \times (a + b + c + d)\\&=6000 (a + b + c + d) + 600 (a + b + c + d) + 60 (a + b + c + d) + 6 (a + b + c + d).\end{aligned}\]
حال، اگر قرار دهیم:\[s = a + b + c +d\] داریم:\[\begin{aligned}N &= 6000s + 600s + 60s + 6s\\&= 6666s.\end{aligned}\]
مرحلهٔ سوم: حاصل‌جمع مقسوم‌علیه‌های اول \(N\)
عدد \(6666\) را به عوامل اول تجزیه می‌کنیم:
\[6666=2 \times 3 \times 11 \times 101.\]بنابراین:
\[N = 2 \times 3 \times 11 \times 101 \times s.\] حال، باید مقدار \(s\) را طوری تعیین کنیم که حاصل‌جمع مقسوم‌علیه‌های اول \(s\) بیشترین مقدار ممکن باشد.
می‌دانیم: \[s = a + b + c + d.\] بزرگترین مقدار ممکن برای \(s\) برابر است با: \[9 + 8 + 7 + 6 = 30\]و کوچکترین مقدار ممکن برای \(s\) برابر است با:\[1 + 2 + 3 + 4 = 10.\] اگر \(s = 29\) (یعنی اگر \(a\)، \(b\)، \(c\)، و \(d\) برابر \(9\)، \(8\)، \(7\)، و \(5\) باشند)، آنگاه:\[N = 2 \times 3 \times 11 \times 101 \times 29\]و در نتیجه، مجموع مقسوم‌علیه‌های اول \(N\) برابر است با: \[2 + 3 + 11 + 101 + 29 = 146.\] اگر \(s\) عدد صحیح دیگری (از \(10\) تا \(30\)) باشد، مجموع مقسوم‌علیه‌های اول آن، کمتر از \(29\) خواهد بود(؟).
بنابراین، اگر لیانا این \(24\) عدد را طوری ساخته باشد که مجموع مقسوم‌علیه‌های اول \(N\)، بیشترین مقدار ممکن باشد، آنگاه مجموع مقسوم‌علیه‌های اول \(N\) برابر است با \(146\).
