پاسخ تشریحی مسئلهٔ ۲ – مسابقهٔ ریاضی تکمیلی – آبان ۹۸

هریک از حروف داخل جدول زیر، به‌جای یکی از اعداد $1$ تا $9$ نشسته‌اند.
می‌دانیم:
$\bullet$ اگر یک واحد از عدد سه‌رقمی سطر اول (یعنی $\overline{abc}$) کم کنیم،‌ حاصل بر $8$ و $17$ بخش‌پذیر است.
$\bullet$ عدد سه‌رقمی سطر دوم (یعنی $\overline{def}$) مضرب $7$ و $13$ است.
$\bullet$ عدد سه‌رقمی ستون دوم (یعنی $\overline{beh}$) بر $293$ بخش‌پذیر است.
$\bullet$ عدد سه‌رقمی ستون سوم (یعنی $\overline{cfi}$) مضرب $109$ است.

تعیین کنید هریک از $9$ حرف داخل جدول، به‌جای چه عددی نشسته‌اند؟

---

راهنمای حل

ابتدا، با توجه به اطلاعات داده شده برای سطرهای اول و دوم، و ستون‌های دوم و سوم، همهٔ حالت‌های ممکن برای این سطرها و ستون‌ها را مشخص می‌کنیم.

---

$\bullet$ عدد سطر اول، ممکن است یکی از اعداد $137$، $273$، $681$، $817$، یا $953$ باشد. (چرا؟)

$\bullet$ عدد سطر دوم، ممکن است یکی اعداد $182$، $273$، $364$، $546$، $637$، $728$، یا $819$ باشد. (چرا؟)

$\bullet$ عدد ستون دوم، ممکن است یکی از اعداد $293$، $586$، یا $879$ باشد. (چرا؟)

$\bullet$ عدد ستون سوم، ممکن است یکی از اعداد $218$، $327$، $436$، $654$، $763$، $872$، یا $981$ باشد. (چرا؟)

در ادامه، از ترکیب عددهای ممکن در سطرها و ستون‌ها استفاده می‌کنیم و حالت‌های ناممکن را حذف می‌کنیم. از ستون دوم که فقط سه حالت دارد، شروع می‌کنیم.

$\bullet$ عدد ستون دوم $586$ است. (چرا؟)

$\bullet$ پس عدد سطر اول $953$ است. (چرا؟)

$\bullet$ و عدد سطر دوم $182$ است. (چرا؟)

$\bullet$ در نتیجه، عدد ستون سوم $327$ است. (چرا؟)

یک خانهٔ جدول خالی مانده است؛ ولی باید همهٔ عددهای $1$ تا $9$ در جدول باشند. پس عدد خانهٔ خالی $4$ است.
بنابراین:
$$\begin{matrix}a=9&b=5&c=3\\d=1&e=8&f=2\\g=4&h=6&i=7.\end{matrix}$$

 

---