می‌خواهیم خانه‌های خالی زیر را با اعداد \(1\)، \(2\)، \(3\)، \(4\)، \(5\)، \(6\)، \(7\)، و \(8\) پر کنیم به‌طوری‌که مجموع اعداد روی هر ضلع با مجموع اعداد روی هریک از دو ضلع دیگر برابر باشد. (تکرار اعداد مجاز نیست.)اگر مجموع اعداد روی هر ضلع را با $S$ نمایش دهیم، آن‌وقت همهٔ مقدارهای ممکن $S$ را بیابید.
راهنمای حل
ابتدا مطابق شکل زیر، داخل هر دایره یک حرف قرار می‌دهیم.
سپس مسئله را در چند مرحله حل می‌کنیم.
مرحلهٔ اول
با توجه به شکل بالا داریم:
\[S=12+\frac{a+b+c}{3}.\quad(1)\]
چرا؟
میدانیم که مجموع این هشت عدد با حاصلجمع \(1\) تا \(8\) برابر است. پس:
\[\begin{aligned}a+b+c+w+v+x+y+z&=1+2+3+4+5+6+7+8\\[8pt]&=\frac{8\times9}{2}\\[8pt]&=36.\quad(2)\end{aligned}\]
از طرفی میدانیم که مجموع اعداد روی هر ضلع، برابر \(S\) است. پس:
\[\begin{aligned}S&=a+v+w+b\quad(3)\\S&=b+z+c\quad(4)\\S&=c+y+x+a.\quad(5)\end{aligned}\]
از رابطههای \((3)\)، \((4)\)، و \((5)\) نتیجه می‌شود:
\[\begin{aligned}&S+S+S=(a+v+w+b)+(b+z+c)+(c+y+x+a)\\&\Rightarrow 3S=(a+b+c+w+v+x+y+z)+(a+b+c).\quad(6)\end{aligned}\]
حال، با توجه به رابطههای \((2)\) و \((6)\) داریم:
\[\begin{aligned}&3S=36+(a+b+c)\\[8pt]&\Rightarrow S=\frac{36+(a+b+c)}{3}\\[8pt]&\Rightarrow S=\frac{36}{3}+\frac{a+b+c}{3}\\[8pt]&\Rightarrow S=12+\frac{a+b+c}{3}.\end{aligned}\]
واضح است که کمترین مقدار ممکن برای \(a+b+c\) برابر است با:
\[a+b+c=1+2+3=6.\quad(7)\]
حال با استفاده از رابطههای \((1)\) و \((7)\) نتیجه می‌شود:
\[\begin{aligned}S&=12+\frac{a+b+c}{3}\\[8pt]&=12+\frac{6}{3}\\&=12+2\\&=14.\end{aligned}\]
یعنی اگر \(a\)، \(b\)، و \(c\) برابر با \(1\)، \(2\)، و \(3\) باشند، آن‌وقت \(S\) باید برابر با \(14\) باشد. در نتیجه \(S\) نمی‌تواند کمتر از \(14\) باشد.
واضح است که بیشترین مقدار ممکن برای \(a+b+c\) برابر است با:
\[a+b+c=6+7+8=21.\quad(8)\]
از رابطههای \((1)\) و \((8)\) نتیجه می‌شود:
\[\begin{aligned}S&=12+\frac{a+b+c}{3}\\[8pt]&=12+\frac{21}{3}\\&=12+7\\&=19.\end{aligned}\]
یعنی اگر \(a\)، \(b\)، و \(c\) برابر با \(6\)، \(7\)، و \(8\) باشند، آن‌وقت \(S\) باید برابر با \(19\) باشد. در نتیجه \(S\) نمی‌تواند بیشتر از \(19\) باشد.
پس در مراحل بعد باید مقدارهای \(14\)، \(15\)، \(16\)، \(17\)، \(18\)، و \(19\) را بررسی کنیم.
همانطور که دیدیم، اگر \(a+b+c=6\)، آن‌وقت \(S\) باید برابر \(14\) باشد. در این حالت، بیشترین مقدار ممکن برای \(b+c\) برابر است با:
\[b+c=2+3=5.\]
از طرفی، مجموع اعداد روی ضلع پایین مثلث، باید برابر \(S\) باشد؛ یعنی:
\[\begin{aligned}&b+z+c=S\\&\Rightarrow5+z=14\\&\Rightarrow z=9.\end{aligned}\]
چون \(z\) نمی‌تواند عددی بزرگتر از \(8\) باشد، پس \(S\) نمی‌تواند برابر با \(14\) باشد.
اگر \(S\) برابر \(18\) باشد، آن‌وقت بنابه رابطهٔ \((1)\) داریم:
\[\begin{aligned}&S=12+\frac{a+b+c}{3}\\[8pt]&\Rightarrow18=12+\frac{a+b+c}{3}\\[8pt]&\Rightarrow18-12=\frac{a+b+c}{3}\\[8pt]&\Rightarrow6=\frac{a+b+c}{3}\\&\Rightarrow18=a+b+c.\quad(9)\end{aligned}\]
از طرفی، مجموع اعداد روی ضلع پایین مثلث باید برابر \(18\) باشد، یعنی:
\[b+z+c=18.\quad(10)\]
از رابطههای \((9)\) و \((10)\) نتیجه می‌شود:
\[\left.\begin{aligned}a+b+c=18\\b+z+c=18\end{aligned}\right\}\Rightarrow a=z.\]
اما میدانیم که هشت عدد داخل دایرهها باید متفاوت باشند. پس \(S\) نمی‌تواند برابر با \(18\) باشد.
مرحلهٔ ششم
مقدار \(S\) می‌تواند برابر با \(15\)، \(16\)، \(17\)، یا \(19\) باشد. چرا؟
اگر \(S\) برابر \(15\) باشد، آن‌وقت بنابه رابطهٔ \((1)\) داریم:
\[\begin{aligned}&S=12+\frac{a+b+c}{3}\\[8pt]&\Rightarrow15=12+\frac{a+b+c}{3}\\[8pt]&\Rightarrow15-12=\frac{a+b+c}{3}\\[8pt]&\Rightarrow3=\frac{a+b+c}{3}\\&\Rightarrow9=a+b+c.\end{aligned}\]
حال، می‌توانیم حالت‌هایی را بررسی کنیم که مجموع سه عدد طبیعی برابر \(9\) می‌شود. برای نمونه:
\[a=1,\;b=2,\;c=6.\]
در این حالت، چون مجموع اعداد روی ضلع پایین مثلث برابر \(15\) است، داریم:
\[\begin{aligned}&b+z+c=15\\&\Rightarrow2+z+6=15\\&\Rightarrow z=15-8\\&\Rightarrow z=7.\end{aligned}\]
اکنون به‌سادگی می‌توانیم مقدارهای \(w\)، \(v\)، \(x\)، و \(y\) را نیز پیدا کنیم.
پرسش. اگر \(a=1\)، \(b=3\)، و \(c=5\)، آیا می‌توان جواب دیگری پیدا کرد؟
برای حالت‌هایی که \(S\) برابر با \(16\)، \(17\)، یا \(19\) باشد نیز با روشی مشابه روش بالا، می‌توان مثال‌هایی ساخت. برای نمونه، مثال‌های زیر را ببینید.
این سؤال از آزمون پایهٔ هفتم یکی از کشورهای پیشرفته انتخاب شده است. متأسفانه شما را به تست و جواب کوتاه و سؤات به‌درد نخور عادت می‌دهند و دانش‌آموزان کشورهای پیشرفته را ….
بله حق با شماس:( اگه معلم ما مثلن شما بودین خوب بود 🙂
ولی خب من نمونه دولتی درس میخونم …….همیشه علاقه داشتم بیشتر یادبگیرم……برا همین الان تو سایت شمام:(
shideh khodaparast
مهمان
5 سال قبل
سلام
من پاسخ کتاب تکمیلی ریاضی هشتم را می خواهم . راهنمایی می فرمایید
اگر مجموع اعداد روی هر ضلع را با $S$ نمایش دهیم، آن‌وقت همهٔ مقدارهای ممکن $S$ را بیابید.
:(خیلی وقت گیر بود سوالش
این سؤال از آزمون پایهٔ هفتم یکی از کشورهای پیشرفته انتخاب شده است. متأسفانه شما را به تست و جواب کوتاه و سؤات به‌درد نخور عادت می‌دهند و دانش‌آموزان کشورهای پیشرفته را ….
بله حق با شماس:( اگه معلم ما مثلن شما بودین خوب بود 🙂
ولی خب من نمونه دولتی درس میخونم …….همیشه علاقه داشتم بیشتر یادبگیرم……برا همین الان تو سایت شمام:(
سلام
من پاسخ کتاب تکمیلی ریاضی هشتم را می خواهم . راهنمایی می فرمایید
سلام
به صفحهٔ اول سایت بروید: http://www.takmili.com
روی تصویر کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم کلیک کنید؛ سپس فصل و تمرین مورد نظر خود را انتخاب کنید.