آزمون تیزهوشان نهم به دهم – خرداد ۹۷ – پرسش ۸۲

یازده زیرمجموعهٔ غیرمساوی از $M=\{1,2,3,\dots,10\}$ طوری انتخاب می‌کنیم که از هر دوتای آنها، یکی زیرمجموعهٔ دیگری باشد. اگر $A$، $B$، و $C$ به‌ترتیب مجموعه‌های $7$، $5$، و $3$ عضوی از این $11$ مجموعه باشد، در مورد $A\cup(B-C)$ چه می‌توان گفت؟
۱) $11$ عضوی است.
۲) $9$ عضوی است.
۳) $7$ عضوی است.
۴) $5$ عضوی است.

---

راهنمای حل

واضح است که
\[(B-C)\subseteq A.\]
(چرا؟)

بنابراین،
\[\begin{aligned}&(B-C)\subseteq A\\&\Rightarrow A\cup (B-C)=A\\&\Rightarrow n\big(A\cup (B-C)\big)=n(A).\end{aligned}\]
چون بنابه فرض مسئله، $n(A)=7$، پس:
\[n\big(A\cup (B-C)\big)=7.\]
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

---

این مسئله با توجه به تعریف زنجیر که در صفحهٔ ۵ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم ارائه شده، طرح شده است.