در یک گروه از مسابقات فوتبال، $4$ تیم وجود دارد که هریک با سه تیم دیگر گروه مسابقه می‌دهند. اگر نتیجهٔ بازی تساوی بود، هرکدام یک امتیاز کسب می‌کنند. اگر نتیجه تساوی نباشد، تیم برنده $3$ امتیاز و تیم بازنده صفر امتیاز می‌گیرد. در پایان مسابقات، مجموع امتیازات هر $4$ تیم، چند عدد مختلف می‌تواند باشد؟
۱) $5$
۲) $6$
۳) $7$
۴) $8$
راهنمای حل
در مجموع \(6\) مسابقه انجام میشود. (چرا؟)
تمام حالت‌های این شش مسابقه، به‌صورت زیر هستند.
| مجموع امتیازها | تعداد تساوی | تعداد برد |
|---|---|---|
| \(6\times2=12\) | \(6\) | \(0\) |
| \(1\times3+5\times2=13\) | \(5\) | \(1\) |
| \(2\times3+4\times2=14\) | \(4\) | \(2\) |
| \(3\times3+3\times2=15\) | \(3\) | \(3\) |
| \(4\times3+2\times2=16\) | \(2\) | \(4\) |
| \(5\times3+1\times2=17\) | \(1\) | \(5\) |
| \(6\times3=18\) | \(0\) | \(6\) |
پس مجموع امتیازات هر \(4\) تیم، می‌تواند هریک از اعداد \(12\)، \(13\)، \(14\)، \(15\)، \(16\)، \(17\)، یا \(18\) باشد.
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.
پرسش. اگر \(n\) تیم داشته باشیم و هریک از آنها با \(n-1\) تیم دیگر مسابقه دهد، در مجموع چند مسابقه انجام میشود؟
(تمرین ۲ صفحهٔ صفحهٔ ۲۰ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم، و تمرین ۱۱ صفحهٔ ۱۶ کتاب ریاضیات تکمیلی هفتم را ببینید.)
