آزمون ریاضی شبیه‌ساز تیزهوشان و نمونه دولتی، تعیین مرکز، و جانمایی نهم به دهم

فرض کنید در ذوزنقهٔ \(ABCD\) داشته باشیم \(BC=CD=DA=1\) و \(AB=2\).

در این‌صورت \(B\widehat{C}D=120^\circ\).

چرا؟

بنابراین، در مثلث \(BCD\) بنابه قضیهٔ مثلث متساوی الساقین و قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث، داریم:
\[\begin{aligned}&C\widehat{D}B+D\widehat{B}C+B\widehat{C}D=180^\circ\\&\Rightarrow 2C\widehat{D}B+120^\circ=180^\circ\\&\Rightarrow2C\widehat{D}B=60^\circ\\&\Rightarrow C\widehat{D}B=30^\circ.\end{aligned}\]

به طریقی مشابه، می‌توان ثابت کرد که \(D\widehat{C}A=30^\circ\). حال، اگر محل برخورد دو قطر ذوزنقه \(ABCD\) را \(O\) بنامیم، از قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث (در مثلث \(CDO\)) داریم:
\[\begin{aligned}&C\widehat{D}O+D\widehat{O}C+O\widehat{C}D=180^\circ\\&\Rightarrow30^\circ+D\widehat{O}C+30^\circ=180^\circ\\&\Rightarrow60^\circ+D\widehat{O}C=180^\circ\\&\Rightarrow D\widehat{O}C=120^\circ.\end{aligned}\]

بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

\[A\widehat{O}C=A\widehat{C}O=15^\circ.\quad(1)\]
(چرا؟)

پس:
\[B\widehat{O}D=45^\circ.\]
(چرا؟)

می‌دانیم که \(A\) مجموعه‌ای ناتهی است. پس \(n(A\cup B)\ne0\). همچنین، می‌دانیم:
\[n(A\cup B)=n(A-B)+n(B-A)+n(A\cap B).\] پس هر سه مقدار \(n(A-B)\)، \(n(B-A)\)، و \(n(A\cap B)\) نمی‌توانند برابر \(0\) باشند.

حال، با توجه به رابطهٔ \[\begin{aligned}&3 \times n(A-B)\\& = 2 \times n(B-A)\\& = 5 \times n(A \cap B)\end{aligned}\] و اینکه می‌خواهیم حداقل مقدار \(n(B)\) را بیابیم، باید کوچک‌ترین عدد طبیعی را پیدا کنیم که هم بر \(2\)، هم بر \(3\)، و هم بر \(5\) بخش‌پذیر باشد. واضح است که این عدد ک‌م‌م سه عدد \(2\)، \(3\)، و \(5\) است؛ یعنی \(30\). بنابراین:
\[\begin{aligned}&n(A-B)=10\\&n(B-A)=15\\&n(A\cap B)=6.\end{aligned}\] در نتیجه:
\[\begin{aligned}n(B)&=n(B-A)+n(A\cap B)\\&=15+6\\&=21.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

گزارهٔ اول درست است. (چرا؟)

مجموعهٔ \(\{n^2\mid n\in\mathbb{N}\}\) جذاب است. (چرا؟)

مجموعهٔ \(\big\{x\in\mathbb{N}\mid\frac{189}{x}\in\mathbb{N}\big\}\) جذاب نیست. (چرا؟)

مجموعهٔ \(\{2k-7\mid k\in\mathbb{N},10\leq k\leq90\}\) جذاب است. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

پاسخ تشریحی

گزینهٔ ۱.
\[\begin{aligned}\big|\underbrace{-1-\sqrt{5}}_{ < 0}\big|&=-\big(-1-\sqrt{5}\big)\\&=1+\sqrt{5}\\&\approx1+2.23\\&=3.23\end{aligned}\]گزینهٔ ۲.
\[\begin{aligned}\sqrt{\big(\sqrt{5}-1\big)^2}&=\big|\overbrace{\sqrt{5}-1}^{ > 0}\big|\\&=\sqrt{5}-1\\&\approx2.23-1\\&=1.23\end{aligned}\]

گزینهٔ ۳.
\[\begin{aligned}\big|\underbrace{1-\sqrt{5}}_{ < 0}\big|&=-\big(1-\sqrt{5}\big)\\&=-1+\sqrt{5}\\&\approx-1+2.23\\&=1.23\end{aligned}\]گزینهٔ ۴.
\[\begin{aligned}|-1| - |\sqrt{5}|&=1-\sqrt{5}\\&\approx 1-2.23\\&=-1.23\end{aligned}\]

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

\[\begin{aligned}&7.34\times10^{22}+5.9736\times10^{24}\\&=0.0734\times10^{24}+5.9736\times10^{24}\\&=\big(0.0734+5.9736\big)\times10^{24}\\&=6.0470\times10^{24}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ است.

فرض کنیم شعاع این کره برابر $r$ باشد. چون حجم و مساحت کره برابر هستند، پس:
\[\begin{aligned}&\frac{4}{3}\pi r^3=4\pi r^2\\&\Rightarrow \frac{1}{3}r=1\\&\Rightarrow r=3.\end{aligned}\]

اگر سه عدد فرد متوالی را با \(x-2\)، \(x\)، و \(x+2\) نمایش دهیم، آن‌وقت:
\[\begin{aligned}&(x-2)+x+(x+2)=69\\&\Rightarrow3x=69\\&\Rightarrow x=23\\&\Rightarrow x^2=529.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.