آزمون ریاضی شبیه‌ساز تیزهوشان و نمونه دولتی، تعیین مرکز، و جانمایی نهم به دهم

واضح است که مساحت مربعی که روی ضلع \(AB\) بنا می‌شود برابر \(a^2\) است.

مساحت مثلث \(ABD\) برابر \(\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\). (چرا؟)

می‌دانیم هریک از زاویه‌های یک \(n\)ضلعی منتظم از رابطهٔ \(\frac{(n-2)\times180^\circ}{n}\) به‌دست می‌آید. (نوشتهٔ «دربارهٔ زاویه‌های یک \(n\)ضلعی محدب» را بخوانید.) بنابراین اندازهٔ هریک از زاویه‌های شش‌ضلعی منتظم برابر است با:
\[\frac{(6-2)\times180^\circ}{6}=4\times30^\circ=120^\circ.\]
در نتیجه، \(2y=120^\circ\). از طرفی، \(x=30^\circ\). (چرا؟)

ابتدا گستردهٔ مقسوم‌علیه را محاسبه می‌کنیم:
\[\begin{aligned}&(x-1)^2(x+1)\\&=(x^2-2x+1)(x+1)\\&=x^3+x^2-2x^2-2x+x+1\\&=x^3-x^2-x+1.\end{aligned}\] حال، \(mx^4+nx+2\) را بر \(x^3-x^2-x+1\) تقسیم می‌کنیم:

برای اینکه باقی‌ماندهٔ تقسیم برابر صفر شود، باید داشته باشیم:
\[\begin{aligned}\left\{\begin{aligned}&2m=0\\&n=0\\&2-m=0\end{aligned}\right.\end{aligned}\] چون دستگاه معادلات بالا جواب ندارد، پس هیچ مقداری برای \(m\) و \(n\) وجود ندارد به‌طوری که چندجمله‌ای \(mx^4+nx+2\) بر \((x-1)^2(x+1)\) بخش‌پذیر باشد.

پاسخ تشریحی

ابتدا برای \((A-B)\cap C\) یک نمودار ون رسم می‌کنیم:

حال، در بین گزینه‌های داده شده، و با استفاده از نمودار ون، مجموعه‌ای را پیدا می‌کنیم که با \((A-B)\cap C\) برابر باشد.

گزینهٔ ۱.

گزینهٔ ۲.

گزینهٔ ۳.

گزینهٔ ۴.

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

در بین اعدادِ
\[0.\overline{1}, 0.\overline{2}, 0.\overline{3}, \dots , 0.\overline{1396}\]اعداد برابر را پیدا می‌کنیم:
\[\begin{aligned}&0.\overline{1}=0.\overline{11}=0.\overline{111}=0.\overline{1111}\\&0.\overline{2}=0.\overline{22}=0.\overline{222}\\&0.\overline{3}=0.\overline{33}=0.\overline{333}\\&0.\overline{4}=0.\overline{44}=0.\overline{444}\\&0.\overline{5}=0.\overline{55}=0.\overline{555}\\&0.\overline{6}=0.\overline{66}=0.\overline{666}\\&0.\overline{7}=0.\overline{77}=0.\overline{777}\\&0.\overline{8}=0.\overline{88}=0.\overline{888}\\&0.\overline{9}=0.\overline{99}=0.\overline{999}\\&0.\overline{10}=0.\overline{1010}\\&0.\overline{12}=0.\overline{1212}\\&0.\overline{13}=0.\overline{1313}\\\end{aligned}\]
در نتیجه، تعداد اعضای این مجموعه برابر است با:
\[1396-22=1374.\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

\(\Big\{2^{x-1}\mid x\in\mathbb{N},x < 8\Big\}=\{1,2,4,8,16,32,64\}\). (چرا؟)

پاسخ تشریحی

چون \(x+|x|=0\)، پس \(|x|=-x\). در نتیجه:
\[\sqrt[3]{\sqrt{4x^2}\times\left(\frac{x}{4}\right)^{-1}}=-2.\]
چرا؟

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

اگر \(x < 0\)، آن‌وقت:
\[\Big|24-3|2x-7|+\sqrt[3]{-27x^3}\Big|=-3x-3.\]
(چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

فرض کنیم شعاع این کره برابر $r$ باشد. چون حجم و مساحت کره برابر هستند، پس:
\[\begin{aligned}&\frac{4}{3}\pi r^3=4\pi r^2\\&\Rightarrow \frac{1}{3}r=1\\&\Rightarrow r=3.\end{aligned}\]

فرض کنیم که طول و عرض مستطیل برابر \(x\) و \(y\) باشند. در این‌صورت: \[x+y=18.\quad(1)\] (چرا؟)

از رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) نتیجه می‌شود: \[xy=162-\frac{d^2}{2}\cdot\] (چگونه؟)

گزینهٔ ۲ صحیح است.
طبق تعریف کسری که صورت و مخرج آن یک چندجمله‌ای باشد، گویا است. بین عبارت‌های داده شده فقط صورت و مخرج، $\dfrac{5\sqrt{7}}{a}$ و $\dfrac{\sqrt{\pi}}{2a-3b}$ چندجمله‌ای هستند.

چون
\[\begin{aligned}x^2&=\Big(\frac{4+\sqrt{6}}{\sqrt{5}}\Big)^2\\[7pt]&=\frac{16+6+8\sqrt{6}}{5}\\[7pt]&=\frac{22+8\sqrt{6}}{5}\end{aligned}\]
پس
\[\begin{aligned}5x^2-\sqrt{24}&=5\times\frac{22+8\sqrt{6}}{5}-\sqrt{4\times6}\\[7pt]&=22+8\sqrt{6}-2\sqrt{6}\\&=22+6\sqrt{6}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.