آزمون ریاضی شبیه‌ساز تیزهوشان و نمونه دولتی، تعیین مرکز، و جانمایی نهم به دهم

در انداختن یک تاس، احتمال زوج بودن، فرد بودن، اول بودن، و مرکب بودن عدد رو شده به‌ترتیب برابر است با:
\[\begin{aligned}&\frac{n\big(\{2,4,6\}\big)}{n\big(\{1,2,3,4,5,6\}\big)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\\[7pt]&\frac{n\big(\{1,3,5\}\big)}{n\big(\{1,2,3,4,5,6\}\big)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\\[7pt]&\frac{n\big(\{2,3,5\}\big)}{n\big(\{1,2,3,4,5,6\}\big)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\\[7pt]&\frac{n\big(\{4,6\}\big)}{n\big(\{1,2,3,4,5,6\}\big)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.\end{aligned}\]
(یادآوری! عدد \(1\) نه اول است و نه مرکب.)

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

هریک از زاویه‌های داخلی پنج‌ضلعی منتظم و شش‌ضلعی منتظم به‌ترتیب برابر \(108^\circ\) و \(120^\circ\) است. (چرا؟)

در شکل زیر، دو قطر \(PQ\) و \(MN\) را امتداد داده‌ایم تا یکدیگر را در نقطهٔ \(A\) قطع کنند. باید زاویهٔ \(NAP\) را محاسبه کنیم؛ برای این کار، اندازهٔ زاویه‌های مثلث \(ANP\) را به‌دست می‌آوریم.

اندازهٔ زاویهٔ \(APN\) برابر \(108\) درجه است. (چرا؟)

پس، بنابه قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث، داریم:
\[\begin{aligned}&A\widehat{P}N+P\widehat{N}A+N\widehat{A}P=180^\circ\\&\Rightarrow108^\circ+60^\circ+N\widehat{P}A=180^\circ\\&\Rightarrow N\widehat{P}A=180^\circ-168^\circ\\&\Rightarrow N\widehat{P}A=12^\circ.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

از قضیهٔ خطوط موازی و مورب نتیجه می‌شود که زاویهٔ \(x\)، مکمل زاویهٔ \(110^\circ\) است. پس \[\begin{aligned}&x+110^\circ=180^\circ\\&\Rightarrow x=70^\circ.\end{aligned}\]

مطابق شکل زیر، یکی از ضلع‌های زاویهٔ \(y\) را امتداد می‌دهیم تا خط افقی پایین را در نقطهٔ‌ \(A\) قطع کند.

بنابه قضیهٔ خطوط موازی و مورب، اندازهٔ زاویهٔ \(A\) برابر \(80\) درجه است. پس، بنابه قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث (در مثلث \(ABC\)) داریم:
\[\begin{aligned}A\widehat{C}B&=180^\circ-70^\circ-80^\circ\\&=30^\circ.\end{aligned}\]
در نتیجه روی خط \(AC\) داریم:
\[\begin{aligned}&30^\circ+90^\circ+y=180^\circ\\&\Rightarrow y=180^\circ-120^\circ\\&\Rightarrow y=60^\circ.\end{aligned}\]

پس:
\[x+y=70^\circ+60^\circ=130^\circ.\]
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

\[\begin{aligned}\frac{A^2-B^2}{C^2}&=\frac{(A+B)(A-B)}{C^2}\\[7pt]&=\frac{\big(a^2-b^2+a^2+b^2\big)\big(a^2-b^2-(a^2+b^2)\big)}{(ab)^2}\\[7pt]&=\frac{(2a^2)(a^2-b^2-a^2-b^2)}{a^2b^2}\\[7pt]&=\frac{(2a^2)(-2b^2)}{a^2b^2}\\[7pt]&=\frac{-4a^2b^2}{a^2b^2}\\[7pt]&=-4.\end{aligned}\]

واضح است که
\[(B-C)\subseteq A.\]
(چرا؟)

این مسئله با توجه به تعریف زنجیر که در صفحهٔ ۵ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم ارائه شده، طرح شده است.

گزینهٔ ۱ نادرست است.
چرا؟

گزینهٔ ۲ درست است.
چرا؟

گزینهٔ ۳ درست است.
چرا؟

گزینهٔ ۴ درست است.
چرا؟

گزینهٔ ۳ صحیح است.
در بقیهٔ گزینه‌ها طول و عرض نقطه‌های داده شده عضو مجموعه اعداد گویا یا مجموعه اعداد گنگ هستند که نمی‌توانیم آن‌ها را در صفحه مختصات نمایش دهیم.

\[\begin{aligned}&\pi(12)^2(25)-\frac{4}{3}\pi(10)^3\\&=\pi(144)(25)-\frac{4}{3}\pi(1000)\\&=3600\pi-\frac{4000}{3}\pi\\&=\frac{6800}{3}\pi.\end{aligned}\]

همهٔ مقادیر ممکن برای \(y\)، اعداد \(0\)، \(1\)، \(2\)، ...، و \(16\) هستند. پس معادلهٔ داده شده \(17\)تا جواب صحیح نامنفی دارد.

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

مسئلهٔ مشابه

تمرین ۷ صفحهٔ کتاب ۷۱ ریاضیات تکمیلی هشتم

توجه کنید که بنابه گفتهٔ مسئله $a$ و $b$ اعدادی صحیح هستند؛ یعنی فقط $x$ را باید متغیر در نظر گرفت.
\[\begin{aligned}&(x^2+ax+1)(x+b)\\&=x^2(x+b)+ax(x+b)+1(x+b)\\&=x^3+bx^2+ax^2+abx+x+b\\&=x^3+(b+a)x^2+(ab+1)x+b.\end{aligned}\]
پس، اگر به‌جای $a$ و $b$ هر عدد صحیحی قرار دهیم، تعداد جمله‌های حاصل‌ضرب نمی‌تواند بیشتر از چهارتا باشد.

بنابراین، تعداد جمله‌های حاصل‌ضرب نمی‌تواند پنج‌تا باشد.

برای اینکه بدانیم سؤال درست است یا نه، باید نشان دهیم که تعداد جمله‌های حاصل‌ضرب می‌تواند دوتا، سه‌تا یا چهارتا باشد؛ برای اثبات این ادعا کافی است برای هریک از مواردی که گفتیم حداقل یک مثال بیاوریم.
مثال برای چهار جمله؟

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

پرسش. چند عدد صحیح مانند $a$ و $b$ وجود دارد به‌طوری‌که حاصل عبارت $(x^2+ax+1)(x+b)$، چهار جمله داشته باشد؟ در صورت وجود، حداقل دو مثال برای $a$ و $b$ بیاورید.
چند عدد صحیح مانند $a$ و $b$ وجود دارد به‌طوری‌که حاصل عبارت $(x^2+ax+1)(x+b)$، سه جمله داشته باشد؟ در صورت وجود، حداقل دو مثال برای $a$ و $b$ بیاورید.
چند عدد صحیح مانند $a$ و $b$ وجود دارد به‌طوری‌که حاصل عبارت $(x^2+ax+1)(x+b)$، دو جمله داشته باشد؟ در صورت وجود، حداقل دو مثال برای $a$ و $b$ بیاورید.