آنالیز ترکیبی – کلاس حل مسئله – مسئله‌ها

  1. چند سه‌تایی مرتب مانند \((a,b,c)\) وجود دارد به‌طوری که هریک از \(a\)، \(b\)، و \(c\) به مجموعهٔ
    \(\{1,3,3^2,3^3,\dots,3^{10}\}\) تعلق داشته باشند و در ضمن، عدد \(a^b\times b^c\times c^a\) مربع کامل باشد؟
  2. به چند طریق می‌توان \(4\) رأس از رأس‌های یک \(11\)ضلعی منتظم را انتخاب کرد به‌طوری که \(4\)ضلعی تشکیل شده توسط این \(4\) رأس، شامل مرکز \(11\)ضلعی نباشد؟
  3. در چند جایگشت دوری از اعداد \(1\) تا \(8\) هر دو عدد مجاور نسبت به‌هم اول‌اند؟
  4. تعداد دنباله‌های \(a_1, a_2,\dots,a_6\) از عددهای طبیعی را بیابید به‌گونه‌ای که \(a_1=1\)، \(a_6=2310\)، و به‌ازای هر \(1\leq i\leq5\)، \(a_{i+1}\) بر \(a_i\) بخش‌پذیر باشد. در چند دنباله هیچ دوتا از \(a_i\)ها برابر نیستند؟
  5. خانه‌های بالای قطر اصلی یک جدول \(12\times12\) خاکستری و بقیهٔ خانه‌های جدول سفید شده‌اند. می‌توانیم سطر‌های این جدول را باهم جابه‌جا کنیم. با تکرار این عمل، چند الگوی رنگی مختلف از قطر اصلی جدول می‌توانیم به‌دست آوریم؟

    6. جدول ۱۲ در ۱۲

  6. به چند طریق می‌توان با تعدادی دومینو، شکل زیر را به‌طور کامل پوشاند به‌طوری که هر خانه توسط یک دومینو پوشیده شود و هیچ دو دومینویی روی هم قرار نگیرند؟
    7. شکلی که باید توسط دومینوها پر شود.
  7. عدد طبیعی \(n\) را «خاص» می‌گوییم اگر عدد طبیعی \(m\) با ویژگی‌های زیر وجود نداشته باشد:

    8. \(\bullet\) \(m > n\).
    \(\bullet\) مجموع رقم‌های \(m\) برابر مجموع رقم‌های \(n\) باشد.
    \(\bullet\) حاصل‌ضرب رقم‌های \(m\) برابر با حاصل‌ضرب رقم‌های \(n\) باشد.

    چند عدد هفت‌رقمی خاص وجود دارد؟‌

  8. یک دور \(100\) رأسی با شماره رأس‌های \(1\) تا \(100\)، مانند شکل زیر، در اختیار داریم. می‌دانیم علاوه بر یال‌های این دور، تعدادی یال دیگر مانند شکل، به رأس شمارهٔ \(49\) متصل‌اند. در این شکل چند مسیر متفاوت از رأس \(1\) به رأس شمارهٔ \(100\) داریم؟

    9. (منظور از یک رأس، نقاطی‌اند که دور دایره قرار دارند. منظور از یک یال، پاره‌خطی است که دو رأس را به‌هم متصل می‌کند.)

    المپیاد ریاضی و کامپیوتر
    یک دور به‌طول \(100\) که رأس شمارهٔ \(49\) به رئوس \(44\) تا \(48\) و \(50\) تا \(53\) متصل است.
  9. فرض کنید \(a_{n,k}\) تعداد راه‌های توزیع \(k\) آب‌نبات یکسان بین \(n\) نفر باشد به‌گونه‌ای که به هیچ کسی بیش از دو آب‌نبات نرسد. حاصل عبارت زیر را تعیین کنید.

    10. \[a_{2007,1}+a_{2007,4}+a_{2007,7}+\dots+a_{2007,4012}\]

  10. به‌ازای چند جایگشت از اعداد \(1\) تا \(30\) مانند \(a_1,a_2,\dots,a_{30}\) رابطهٔ \(\sum_{i=1}^{30}|a_i-i|=450\) برقرار است؟
  11. در چند جایگشت دوری از اعداد \(1,1,1,2,2,2,3,3,3\) سه عدد مجاور که همگی برابر باشند وجود ندارد؟

    12. اگر قبلاً «آنالیز ترکیبی ۴ (دورهٔ حل مسئله)» را خریده‌اید، لطفاً وارد حساب کاربری‌تان شوید:

    ورود

    در غیر این‌صورت، برای مشاهدهٔ بقیهٔ مسائل و راه‌حل تشریحی آنها، روی لینک زیر کلیک کنید و مراحل خرید محصول را انجام دهید.

    آنالیز ترکیبی (۴) - دورهٔ حل مسئله

نوشته‌های قبلی و بعدی

اشتراک‌گذاری در بله اشتراک‌گذاری در بله

ارسال کامنت و دیدگاه

در اولین فرصت به کامنت شما پاسخ می‌دهیم و بلافاصله یک ایمیل برایتان ارسال می‌کنیم. ❤️
6 پرسش و نظر

سوال هفتم:
یک عدد خاص،نباید شامل ارقام مرکب باشد.مثلا عدد87 را در نظر بگیرید.چگونه یک m میسازید؟من عدد مورد نظرم را با تجزیه رقم8 میسازم و برای رسیدن به مجموع 15،از تعدادی رقم1 استفاده میکنم و به 42711 میرسم.این عدد هم از 87 بزرگتر است،هم مجموع ارقام آن با مجموع ارقام 87 برابر است و هم ضرب ارقام آن.پس نتیجه میگیریم یک عدد خاص باید و باید شامل ارقام1،2،3،5و7 باشد و بس.اکنون یک عدد خاص با ارقام غیر مرکب را در نظر بگیرید؛برای ساخت m،می توان همان ارقام عدد خاص را جابجا کرد،که این یعنی عدد خاص ما،باید بزرگترین عدد با آن مجموعه ارقام باشد،یا اگر عدد خاص مثلا شامل 2و3 بود،به جای آن دو،از رقم6 استفاده کرد که در این حالت مجموع ارقام افزایش می یابد.یا مثلا شامل دوتا 2 باشد که میتوان از یک 4 استفاده کرد که مجموع زیاد نمیشود ولی یک رقم از ارقام mکمتر میشود که مطلوب نیست.پس با داشتن مجموعه ارقام یک عدد خاص،آن عدد به طور یکتا مشخص میشود.مثلا،{7،1،12}عدد7211را مشخص می کند.زیرا گفتیم که بزرگترین عدد،مورد نظر است.اکنون تعداد مجموعه های رقم ها،متناظر است با جواب های معادله سیاله زیر در اعداد صحیح نامنفی:
X1+X2+X3+X4+X5=7
کهXiها تعداد ارقام1،2،3،5و7 هستند.و جواب این معادله هم برابر است با!11تقسیم بر!7×!4

0
پاسخ

سوال دهم:
هر ai و i یکی از اعداد 1تا30 است.پس اگر کل این اعداد از قدر مطلق خارج شوند،عددی به فرم زیر خواهیم داشت:
30 30 29 29 28 28…2 2 1 1
علامت های پشت این اعداد مجهول هستند و نمیدانیم کدامشان باید مثبت یا منفی باشند،ولی چون هر قدر مطلق،دقیقا یک عدد مثبت و یک عدد منفی به ما میدهد و ما 30 تا قدر مطلق داریم،پس باید دقیقا 30 عدد مثبت و دقیقا 30 عدد منفی داشته باشیم.(اگر aiوiبا هم مساوی باشند،باز هم میتوان فرض کرد یکی از دوعدد به صورت مثبت و دیگری به شکل منفی خارج میشود)اکنون میخواهیم برای مجموع بالا،یک ماکسیمم پیدا کنیم.به وضوح باید 30 علامت مثبت را برای جفت اعداد 16 تا 30 قرار دهیم و 30 علامت منفی را هم برای جفت اعداد 1 تا 15 تا به بیشترین مقدار ممکن برسیم.
این بیشترین مقدار ممکن همان عدد 450 است که طبق شرط،این مجموع باید برابر با آن می بود.از این موضوع نتیجه می گیریم که تمام جفت اعداد 16 تا 30 باید با علامت مثبت و تمام جفت اعداد 1 تا 15 باید با علامت منفی از قدر مطلق خارج شوند.و دوباره نتیجه میشود که برای این منظور،اعداد 1تا 15 باید در جایگاه های 16 ام تا 30 ام قرار بگیرند و اعداد 16 تا 30 هم باید در جایگاه های اول تا 15 ام قرار بگیرند.هر کدام از این دو گروه را به !15 حالت میتوان سازماندهی کرد و جواب نهایی طبق اصل ضرب برابر خواهد بود با:!15×!15

0
پاسخ