در شکل زیر، \(AB\) قطر مکعب است.
فرض کنیم، طول یال‌های مکعب بالا برابر \(a\) باشند. برای محاسبهٔ طول \(AB\)، مثلث \(ABC\) را تشکیل می‌دهیم:
چون \(A\widehat{C}B=90^\circ\) (؟)، پس مثلث \(ABC\) قائم‌الزاویه است. با استفاده از قضیهٔ فیثاغورس داریم \(BC=\sqrt{2}\,a\). (چرا؟)
پاره‌خط \(BC\) قطر یکی از وجه‌های مکعب است. بنابراین، همان‌طور که در شکل زیر می‌بینید، مثلث \(BCD\) یک مثلث قائم‌الزاویه است.
پس بنابه قضیهٔ فیثاغورس داریم:
\[\begin{aligned}&BC^2=BD^2+CD^2\\&\Rightarrow BC^2=a^2+a^2\\&\Rightarrow BC^2=2a^2\\&\Rightarrow BC=\sqrt{2a^2}\\&\Rightarrow BC=\sqrt{2}\,a.\end{aligned}\]
بنابراین، \(AB=\sqrt{3}\,a\). (چرا؟)
با استفاده از قضیهٔ فیثاغورس در مثلث \(ABC\) داریم:
\[\begin{aligned}&AB^2=AC^2+BC^2\\&\Rightarrow AB^2=a^2+\big(\sqrt{2}\,a\big)^2\\&\Rightarrow AB^2=a^2+2a^2\\&\Rightarrow AB^2=3a^2\\&\Rightarrow AB^2=\sqrt{3a^2}\\&\Rightarrow AB=\sqrt{3}\,a.\end{aligned}\]
به عبارت دیگر، طول قطر مکعب، \(\sqrt{3}\) برابر طول یال آن است.
ارسال کامنت و دیدگاه
در اولین فرصت به کامنت شما پاسخ می‌دهیم و بلافاصله یک ایمیل برایتان ارسال می‌کنیم. ❤️?
?
سلام یه سوال قطر وجهی چیه؟
سلام
به زبان ساده، به هریک از شش مربعی که از چسباندن آنها به‌هم می‌توان یک مکعب ساخت، وجه می‌گویند. «قطر وجه» یعنی قطر آن مربع‌ها…
قطر منشور چجوری حساب میشه
منشور با چه قائده‌ای؟
هیچ مسئله ی هندسه ای هست که تو اثباتش نشه از فیثاغورس استفاده کرد؟ 🙂
سلام، به نظرتون میشه یک مکعب مستطیل داشت که همه ی قطرهاش طبیعی باشن؟
سلام
مکعب‌مستطیل دو قطر هم‌اندازه دارد. آیا منظورتون اینه که هم قطر مکعب‌مستطیل عدد طبیعی باشد و هم قطر وجه‌هایش؟
بله، منظورم این هست که هم قطر وجه هاش عدد طبیعی باشه و هم قطر میان دو نقطه مقابل مکعب مستطیل طبیعی باشه.
ببخشید چطور زاویهACB برابر ۹۰ درجه هست؟؟ من هرجور حساب میکنم از ۹۰ درجه میشه میشه توضیح بدین
پس حساب نکنید! با «نِی» یک مکعب بسازید تا ببینید.
خیلی عالی بسیار ممنونم بابت اثبات های خوبتون