بی‌شمارش!

پاسخ تشریحی

$$\begin{aligned}&\big(-\dfrac{1}{2}xy^2\big)^3\big(\dfrac{2}{x^2y^3}\big)^2(-4x)\\&=\big(-\frac{1}{8}x^3y^6\big)\big(\frac{4}{x^4y^6}\big)(-4x)\\&=\big(-\frac{1}{8}\times4\times(-4)\big)\frac{x^3y^6}{x^4y^6}x\\&=2.\end{aligned}$$

پاسخ تشریحی

واضح است که عبارت‌های $xy^2$، $-\sqrt{2}x$، و $5$ یک‌جمله‌ای هستند.
عبارت $x^2+3x^2$ به یک‌جمله‌ای تبدیل می‌شود. زیرا: $$x^2+3x^2=4x^2.$$
چون $\frac{5x^2}{y}=5x^2y^{-1}$، پس توان $y$ صحیحی نامنفی نیست. در نتیجه، $\frac{5x^2}{y}$ یک‌جمله‌ای نیست.
چون $\sqrt{y}x^2=y^{\frac{1}{2}}x^2$، پس توان $y$ صحیح نامنفی نیست. در نتیجه، $\sqrt{y}x^2$ یک‌جمله‌ای نیست.

پاسخ تشریحی

$$\begin{aligned}&A(‎\dfrac{\sqrt{2}}{3}p^2q^3)=‎\dfrac{\sqrt[3]{2}}{2}p^4q^5w^2\\[6pt]&\Rightarrow A=\frac{‎\frac{\sqrt[3]{2}}{2}p^4q^5w^2}{‎\frac{\sqrt{2}}{3}p^2q^3}\\[6pt]&\Rightarrow A=\frac{3\sqrt[3]{2}}{2\sqrt{2}}p^2q^2w^2.\end{aligned}$$

پاسخ تشریحی

همهٔ حالت‌های ممکن برای $A$ و $B$ عبارتند از:
$$\begin{aligned}&\left.\begin{aligned}&A=x^2\\&B=1\end{aligned}\right\}\Rightarrow A-B=x^2-1\\&\left.\begin{aligned}&A=-x^2\\&B=-1\end{aligned}\right\}\Rightarrow A-B=-x^2+1\\&\left.\begin{aligned}&A=x\\&B=x\end{aligned}\right\}\Rightarrow A-B=0\\&\left.\begin{aligned}&A=-x\\&B=-x\end{aligned}\right\}\Rightarrow A-B=0\\&\left.\begin{aligned}&A=1\\&B=x^2\end{aligned}\right\}\Rightarrow A-B=1-x^2\\&\left.\begin{aligned}&A=-1\\&B=-x^2\end{aligned}\right\}\Rightarrow A-B=-1+x^2.\end{aligned}$$
بنابراین، برای $A-B$ سه جواب وجود دارد:
$$x^2-1,\;-x^2+1,\;0.$$

پرسش. برای $A+B$ چند جواب وجود دارد؟

پاسخ تشریحی

$$\begin{aligned}&-‎\frac{a}{2}A=3ab+‎\frac{a^2cb}{5}\\[6pt]&\Rightarrow A=\frac{3ab+‎\frac{a^2cb}{5}}{-‎\frac{a}{2}}\\[6pt]&\Rightarrow A=\frac{a(3b+\frac{acb}{5})}{-\frac{a}{2}}\\[6pt]&\Rightarrow A=-2(3b+\frac{acb}{5})\\[6pt]&\Rightarrow A=-6b-\frac{2}{5}abc.\end{aligned}$$

پاسخ تشریحی

عبارت $xy^2+y^2x$، یک‌جمله‌ای است. زیرا $xy^2+y^2x=2xy^2$.

عبارت $\frac{5x^2}{y}+\frac{y}{5x^2}+a$، چندجمله‌ای نیست. زیرا $\frac{5x^2}{y}$ یک‌جمله‌ای نیست.

عبارت $\frac{x^2y+xy^2}{5}$، دوجمله‌ای است. زیرا می‌توان آن را به‌صورت مجموع دوتا یک‌جمله‌ای غیرمتشابه نوشت: $$\frac{x^2y+xy^2}{5}=\frac{1}{5}x^2y+\frac{1}{5}xy^2.$$عبارت $x^2+3x^2+2x^3$، دوجمله‌ای است. زیرا می‌توان آن را به‌صورت مجموع دوتا یک‌جمله‌ای غیرمتشابه نوشت: $$x^2+3x^2+2x^3=4x^2+2x^3.$$عبارت $yx^2+\sqrt{x^2}y$، چندجمله‌ای نیست. زیرا $\sqrt{x^2}y=|x|y$، و $|x|y$ یک‌جمله‌ای نیست(؟).

عبارت $-\sqrt{2}x+\sqrt{3}x$ دوجمله‌ای نیست. زیرا جمله‌های $-\sqrt{2}x$ و $\sqrt{3}x$ متشابه‌اند. در واقع، عبارت $-\sqrt{2}x+\sqrt{3}x$ یک‌جمله‌ای است و ضریب عددی آن برابر $-\sqrt{2}+\sqrt{3}$ است:$$-\sqrt{2}x+\sqrt{3}x=(-\sqrt{2}+\sqrt{3})x.$$عبارت $5+\sqrt{3}$ یک عدد حقیقی است. پس یک‌جمله‌ای است.

پاسخ تشریحی

حاصل‌ضرب دوتا دوجمله‌ای در یکدیگر حداقل دوجمله‌ای است. (چرا؟)

حاصل‌ضرب دوتا دوجمله‌ای می‌تواند سه‌جمله‌ای باشد. برای مثال:
$$\begin{aligned}&(x+1)(x+1)\\&=x(x+1)+1(x+1)\\&=x^2+x+x+1\\&=x^2+2x+1.\end{aligned}$$
حاصل‌ضرب دوتا دوجمله‌ای می‌تواند چهارجمله‌ای باشد. برای مثال:
$$\begin{aligned}&(x+1)(y+1)\\&=x(y+1)+1(y+1)\\&=xy+x+y+1.\end{aligned}$$

واضح است که حاصل‌ضرب دوتا دوجمله‌ای نمی‌تواند بیشتر از چهار جمله داشته باشد.

پرسش. حاصل‌ضرب یک دوجمله‌ای در یک سه‌جمله‌ای، چند جمله‌ می‌تواند داشته باشد؟

پاسخ تشریحی

$$\begin{aligned}&\sqrt{2}(x+1)(\sqrt{8}x^2+\sqrt{2}x+2)\\&=(\sqrt{2}x+\sqrt{2})(\sqrt{8}x^2+\sqrt{2}x+2)\\&=\sqrt{2}x(\sqrt{8}x^2+\sqrt{2}x+2)+\sqrt{2}(\sqrt{8}x^2+\sqrt{2}x+2)\\&=\sqrt{16}x^3+\sqrt{4}x^2+2\sqrt{2}x+\sqrt{16}x^2+\sqrt{4}x+2\sqrt{2}\\&=4x^3+2x^2+2\sqrt{2}x+4x^2+2x+2\sqrt{2}\\&=4x^3+6x^2+(2\sqrt{2}+2)x+2\sqrt{2}.\end{aligned}$$
بنابراین، فقط جمله‌های $4x^3$ و $6x^2$ ضرایب گویا دارند.

تعداد جمله‌های حاصل‌ضرب حداکثر $4$ جمله است. زیرا:
$$\begin{aligned}&(x^2+ax+1)(x+b)\\&=x^2(x+b)+ax(x+b)+1(x+b)\\&=x^3+bx^2+ax^2+abx+x+b\\&=x^3+(b+a)x^2+(ab+1)x+b.\end{aligned}$$
با عددگذاری به‌جای $a$ و $b$می‌توان مثال‌هایی ساخت که چندجمله‌ای حاصل، چهارجمله‌ای، سه‌جمله‌ای، یا دوجمله‌ای باشد. برای نمونه:
$\bullet$ اگر $a=0$ و $b=1$، آن‌وقت عبارت داده شده چهارجمله‌ای است:
$$\begin{aligned}&x^3+(b+a)x^2+(ab+1)x+b\\&=x^3+x^2+x+1.\end{aligned}$$
$\bullet$ اگر $a=1$ و $b=0$، آن‌وقت عبارت داده شده سه‌جمله‌ای است:
$$\begin{aligned}&x^3+(b+a)x^2+(ab+1)x+b\\&=x^3+x^2+x.\end{aligned}$$
$\bullet$ اگر $a=0$ و $b=0$، آن‌وقت عبارت داده شده دوجمله‌ای است:
$$\begin{aligned}&x^3+(b+a)x^2+(ab+1)x+b\\&=x^3+x.\end{aligned}$$