۱. برای هریک از دنباله‌های زیر، چهار جملهٔ اول و جملهٔ صدم را بیابید.
الف) $a_n=n^2-1$
a1a2a3a4a100=12−1=0=22−1=3=32−1=8=42−1=15=1002−1=9999. ب) $c_n=\dfrac{(-1)^n}{n^2}$
c1c2c3c4c100=12(−1)1=1−1=−1=22(−1)2=41=32(−1)3=9−1=42(−1)4=161=1002(−1)100=100001. ج) $t_n=(-1)^{n+1}\dfrac{n}{n+1}$
t1t2t3t4t100=(−1)1+11+11=(−1)221=21=(−1)2+12+12=(−1)332=−32=(−1)3+13+13=(−1)443=43=(−1)4+14+14=(−1)554=−54=(−1)100+1100+1100=(−1)101101100=−101100. د) $s_n=1+(-1)^n$
s1s2s3s4s100=1+(−1)1=1+(−1)=0=1+(−1)2=1+1=2=1+(−1)3=1+(−1)=0=1+(−1)4=1+1=2=1+(−1)100=1+1=2. هـ) $r_n=3$
r1r2r3r4r100=3=3=3=3=3. ۲. جملهٔ عمومی هریک از دنباله‌های زیر را بیابید.
الف) $2,4,8,16,\dots$
هریک از جمله‌های این دنباله توان‌های طبیعی عدد $2$ هستند. پس جملهٔ عمومی این دنباله می‌تواند به‌صورت زیر باشد.
an=2n.ب) $-\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{9},-\dfrac{1}{27},\dfrac{1}{81},\dots$
هریک از جمله‌های این دنباله، بدون در نظر گرفتن علامت آنها، توان‌های طبیعی عدد $\frac{1}{3}$ هستند. از طرفی، چون علامت جمله‌ها یکیدرمیان عوض می‌شود، پس جملهٔ عمومی این دنباله را می‌توان به‌صورت زیر نوشت.
an=(−1)n3n1.ج) $3,0.3,0.03,0.003,\dots$
می‌توان جمله‌های این دنباله را این‌گونه نوشت:
a1a2a3a4=3=13=1003=0.3=103=1013=0.03=1003=1023=0.003=10003=1033.
بنابراین، جملهٔ عمومی این دنباله می‌تواند به‌صورت زیر باشد.
an=10n−13.د) $-2,3,8,13,\dots$
جملهٔ اول این دنباله، عدد $-2$ است؛ برای جمله‌های بعدی، هر جمله از جملهٔ قبلی‌اش $5$ واحد بیشتر است. یعنی اگر این دنباله را با حرف $a$ نام‌گذاری کنیم، آن‌وقت:
a1a2a3a4=−2=a1+5=−2+5=a2+5=(−2+5)+5=−2+2×5=a3+5=(−2+2×5)+5=−2+3×5.
خاصیت مشترک بین این جمله‌ها را می‌توان به‌صورت زیر نمایش داد.
a1a2a3a4=−2+0×5=−2+1×5=−2+2×5=−2+3×5.
بنابراین، جملهٔ عمومی این دنباله می‌تواند به‌صورت زیر باشد.
an=−2+(n−1)×5.هـ) $2,6,18,54,\dots$
جملهٔ اول این دنباله، عدد $2$ است؛ برای جمله‌های بعدی، هر جمله $3$ برابر جملهٔ قبلی‌اش است. یعنی اگر این دنباله را با حرف $a$ نام‌گذاری کنیم، آن‌وقت:
a1a2a3a4=2=a1×3=2×3=a2×3=(2×3)×3=2×32=a3×3=(2×32)×3=2×33.
خاصیت مشترک بین این جمله‌ها را می‌توان به‌صورت زیر نمایش داد.
a1a2a3a4=2×30=2×31=2×32=2×33.
بنابراین، جملهٔ عمومی این دنباله می‌تواند به‌صورت زیر باشد.
an=2×3n−1.و) $1,\dfrac{3}{4},\dfrac{5}{9},\dfrac{7}{16},\dfrac{9}{25},\dots$
صورت و مخرج اعضای این دنباله، به‌ترتیب اعداد فرد طبیعی و اعداد مربع کامل هستند:
11,43,95,167,259,….
بنابراین، جملهٔ عمومی این دنباله می‌تواند به‌صورت زیر باشد.
an=n22n−1.ز) $6,8,6,8,6,8,6,8,\dots$
اعداد این دنباله، یکیدرمیان، $1$ واحد از $7$ کمتر و $1$ واحد از $7$ بیشتر هستند. بنابراین، جملهٔ عمومی این دنباله می‌تواند به‌صورت زیر باشد.
an=7+(−1)n.ح) $1,\dfrac{1}{2},3,\dfrac{1}{4},5,\dfrac{1}{6},\dots$
در این دنباله، اعداد طبیعی یکیدرمیان معکوس شده‌اند. بنابراین، جملهٔ عمومی این دنباله می‌تواند به‌صورت زیر باشد.
an=n(−1)n+1.۳. جملۀ عمومی یک دنباله به‌صورت $a_n=\frac{3n-1}{n+2}$ است. جملۀ چندم این دنباله برابر $\frac{20}{9}$ می‌شود؟
باید $n$ای را پیدا کنیم که به‌ازای آن حاصل $\frac{3n-1}{n+2}$ برابر $\frac{20}{9}$ شود. یعنی:
n+23n−1=920⇒9(3n−1)=20(n+2)⇒27n−9=20n+40⇒7n=49⇒n=7.۴. در یک کشور، میانگین قیمت یک کالا هر سال $6$ درصد افزایش یافته است. در سال $2002$ میانگین قیمت این کالا $240\,000$ دلار بوده است. فرض کنید $a_n$ نشان‌دهندهٔ میانگین قیمت این کالا برای $n$ سال پس از سال $2002$ باشد.
الف) فرمول دنبالهٔ $a_n$ را بیابید.
میانگین قیمت این کالا در سال $2003$:
a1=1.06×240000.
میانگین قیمت این کالا در سال $2004$:
a2=(1.06)a1=(1.06)(1.06×240000)=(1.06)2×240000.
میانگین قیمت این کالا در سال $2005$:
a3=(1.06)a2=(1.06)((1.06)2×240000)=(1.06)3×240000.
بنابراین، میانگین قیمت این کالا $n$ سال بعد از سال $2002$ از رابطهٔ زیر به‌دست می‌آید:
an=(1.06)n×240000.ب) میانگین قیمت این کالا در سال $2010$ چقدر بوده است؟
a2010−2002=a8=(1.06)8×240000=382523.538 ۵. در هریک از الگوهای چوب‌کبریتی زیر، تعداد چوب‌کبریت‌ها یک دنباله می‌سازند. جملۀ عمومی هر دنباله را بیابید.
الف) 
شکل ۱ را یک
مثلث سربالا می‌نامیم. می‌خواهیم تعداد مثلث‌های سربالا در شکل
nاُم را بشماریم.
در سطر اول (از بالا) شکل $n$اُم، $1$ مثلث سربالا وجود دارد.
در سطر دوم شکل $n$اُم، $2$ مثلث سربالا وجود دارد.
در سطر سوم شکل $n$اُم، $3$ مثلث سربالا وجود دارد.
$\quad$ $\vdots$
در سطر $n$اُم شکل $n$اُم، $n$ مثلث سربالا وجود دارد.
بنابراین تعداد مثلث‌های سربالا در شکل $n$اُم برابر است با:
1+2+3+⋯+n.
بنابراین، تعداد مثلث‌های سربالا در شکل $n$اُم برابر است با:
1+2+3+⋯+n=2n(n+1).
چون تعداد چوب‌کبریت‌های شکل $n$اُم با مجموع چوب‌کبریت‌هایی که مثلث‌های سربالا را می‌سازند برابر است، پس تعداد چوب‌کبریت‌های شکل $n$اُم برابر است با:
3×2n(n+1).ب)
شکل ۱،
12 چوب‌کبریت دارد.
تعداد چوب‌کبریت‌های شکل ۲ را می‌توان این‌گونه شمرد؛ یک مکعب با
12 چوب‌کبریت و
2 مکعب با
8 چوب‌کبریت:
12+2(8).
تعداد چوب‌کبریت‌های شکل ۳ را می‌توان این‌گونه شمرد؛ یک مکعب با
12 چوب‌کبریت و
4 مکعب با
8 چوب‌کبریت:
12+4(8).
تعداد چوب‌کبریت‌های شکل ۴ را می‌توان این‌گونه شمرد؛ یک مکعب با
12 چوب‌کبریت و
6 مکعب با
8 چوب‌کبریت:
12+6(8).
بنابراین، تعداد چوب‌کبریت‌های شکل
n را می‌توان این‌گونه شمرد؛ یک مکعب با
12 چوب‌کبریت و
2n−2 مکعب با
8 چوب‌کبریت:
12+(2n−2)(8). پرسش. آیا می‌توانید حداقل دو روش دیگر برای حل این مسئله ارائه کنید؟
۶. شکل نهم الگوی زیر، چند دایره دارد؟
تعداد دایره‌های شکل‌های اول تا چهارم، به‌ترتیب برابرند با:
1×1,2×2+1,3×3+1+2,4×4+1+2+3.
بنابراین، تعداد دایره‌های شکل نهم برابر است با:
9×9+1+2+3+⋯+8=81+28×9=81+36=117.۷. سه جملهٔ اول یک دنباله را داریم:
1,4,9,….
برای این دنباله، دو جملهٔ عمومی متفاوت پیدا کنید و در هریک، سه جملهٔ بعدی را بنویسید.
جملهٔ عمومی اول:
an=n2.
در این حالت، شش جملهٔ اول دنباله عبارتند از:
1,4,9,16,25,36,….
جملهٔ عمومی دوم:
bn=n2+(n−1)(n−2)(n−3).
در این حالت، شش جملهٔ اول دنباله عبارتند از:
1,4,9,22,49,96,….سؤال. آیا می‌توانید جملهٔ عمومی دیگری برای این دنباله بیابید؟
۸. چهار جملهٔ اول یک دنباله را داریم:
2,4,8,16,….
برای این دنباله، دو جملهٔ عمومی متفاوت پیدا کنید و در هریک، سه جملهٔ بعدی را بنویسید.
جملهٔ عمومی اول:
an=2n.
در این حالت، هفت جملهٔ اول دنباله عبارتند از:
21,22,23,24,25,26,27,….
جملهٔ عمومی دوم:
bn=2n+(n−1)(n−2)(n−3)(n−4).
در این حالت، هفت جملهٔ اول دنباله عبارتند از:
21,22,23,24,229,2126,2367,….۹. دنبالهٔ زیر را در نظر بگیرید. −2,0,2,4,… اگر جملهٔ عمومی این دنباله را با an نمایش دهیم، آیا می‌توان an را طوری تعیین کرد که
الف) a5=6؟
an=2(n−2). ب) a5=111؟
an=2(n−2)+(n−1)(n−2)(n−3)(n−4)×835. ج) a5=7؟
an=2(n−2)+(n−1)(n−2)(n−3)(n−4)×241. 
ارسال کامنت و دیدگاه
در اولین فرصت به کامنت شما پاسخ می‌دهیم و بلافاصله یک ایمیل برایتان ارسال می‌کنیم. ❤️