۱. در هریک از قسمت‌های زیر، جملهٔ عمومی یک دنبالهٔ حسابی داده شده است. ابتدا پنج جملهٔ اول هر دنباله را به‌دست آورید و آنها را روی یک نمودار نشان دهید. سپس قدرنسبت هر دنباله را تعیین کنید.
الف) $a_n=-6-4(n-1)$
الف) b
ب) d
ج) c
د) a
(توجه کنید که نمودارهای a و b نمایش‌دهندهٔ دنباله‌های حسابی کاهشی، و نمودارهای c و d نمایش‌دهندهٔ دنباله‌های حسابی افزایشی هستند. با توجه به ضریب n، دنباله‌های قسمت‌های «الف» و «د»، دنباله‌های حسابی کاهشی، و دنباله‌های قسمت‌های «ب» و «ج»، دنباله‌های حسابی افزایشی هستند.)
۳. در هریک از قسمت‌های زیر، جملهٔ اول و قدرنسبت یک دنبالهٔ حسابی داده شده است. ابتدا جملهٔ عمومی هر دنباله را به‌دست آورید. سپس جملهٔ دهم هر دنباله را محاسبه کنید.
الف) $a=14$ و $d=-\frac{3}{2}$
جملهٔ عمومی این دنباله برابر است با:an=3+3(n−1).جملهٔ دهم این دنباله برابر است با:a10=3+3×9=3+93=103.
۴. در هریک از قسمت‌های زیر، چهارجملهٔ اول یک دنباله داده شده است. دنباله‌هایی را که می‌توانند یک دنبالهٔ حسابی باشند، مشخص کنید و جملهٔ عمومی آنها را به‌صورت استاندارد، یعنی $a_n=a+(n-1)d$، بنویسید.
الف) $-31,-19,-7,4,\dots$
این دنباله یک دنبالهٔ حسابی با قدرنسبت $2$ و جملهٔ عمومیِan=2+2(n−1)است.
۵. در هریک از قسمت‌های زیر، تعیین کنید که دنبالهٔ داده شده، یک دنبالهٔ حسابی هست یا نه. در صورتی که دنباله حسابی هست، جملهٔ عمومی آنها را به‌صورت استاندارد، یعنی $a_n=a+(n-1)d$، بنویسید.
الف) $a_n=4+7n$
سه جملهٔ اول این دنباله به‌صورت زیر هستند.31,51,71چون اختلاف هر دو جملهٔ متوالی، عدد ثابتی نیست، پس $c_n$ یک دنبالهٔ حسابی نیست.51−3171−51=−152,=−352.
سه جملهٔ اول این دنباله به‌صورت زیر هستند.2,5,0چون اختلاف هر دو جملهٔ متوالی، عدد ثابتی نیست، پس $f_n$ یک دنبالهٔ حسابی نیست.5−20−5=3,=−5.
۶. در هریک از قسمت‌های زیر، اطلاعاتی دربارهٔ یک دنبالهٔ حسابی داده شده است. به پرسش هر قسمت پاسخ دهید.
الف) صدمین جمله برابر $-750$، و قدرنسبت برابر $-20$ است. پنجمین جمله چیست؟
می‌دانیم: a100=−750,d=−20.
می‌خواهیم $a_{5}$ را محاسبه کنیم. برای این‌کار ابتدا جملهٔ اول و سپس جملهٔ عمومی دنباله را به‌دست می‌آرویم. a100=a1+99d⇒−750=a1+99(−20)⇒−750=a1−1980⇒1230=a1.
بنابراین، جملهٔ عمومی این دنباله برابر است با: an=1230−20(n−1).
پس: a5=1230−20(4)=1230−80=1150.
ب) نهمین جمله برابر $\frac{2}{3}$، و چهاردهمین جمله برابر $\frac{1}{4}$ است. جملهٔ عمومی چیست؟
⎩⎨⎧a14=a1+13d⇒41=a1+13da9=a1+8d⇒32=a1+8d⇒32−41=(a1+8d)−(a1+13d)⇒125=−5d⇒−121=d.
در نتیجه: a9=a1+8d⇒32=a1+8(−121)⇒32=a1−32⇒34=a1.
بنابراین، جملهٔ عمومی این دنباله برابر است با: an=34−121(n−1).
ج) اولین جمله برابر $3500$، و قدر نسبت برابر $-15$ است. چندمین جمله برابر $2795$ است؟
چون دنبالهٔ داده شده یک دنبالهٔ حسابی است، پس می‌توان آن را به شکل زیر نمایش داد. an=a+(n−1)d.
جملهٔ اول این دنباله برابر $-1$ است. یعنی: a=−1.
جملهٔ دهم این دنباله برابر $-\frac{29}{2}$ است. پس: a10=−1+(10−1)d=−229⇒−1+9d=−229⇒9d=−229+1⇒9d=−227⇒d=−1827⇒d=−23.
بنابراین، جملهٔ عمومی این دنباله برابر است با: an=−1+(n−1)×−23.
حال می‌خواهیم nای را پیدا کنیم که برای آن، an برابر −34 شود. an=−1+(n−1)×−23⇒−34=−1+(n−1)×−23⇒−33=−23n+23⇒−33−23=−23n⇒−269=−23n⇒−32×(−269)=n⇒23=n.
پس، 23اُمین جملهٔ این دنبالهٔ حسابی برابر −34 است.
۸. بین دو عدد $131$ و $254$، نود و شش عدد درج کرده‌ایم، به گونه‌ای که این نود و هشت عدد یک دنباله حسابی می‌سازند. جملهٔ یازدهم این دنبالهٔ حسابی را به‌دست آورید.
ارسال کامنت و دیدگاه
در اولین فرصت به کامنت شما پاسخ می‌دهیم و بلافاصله یک ایمیل برایتان ارسال می‌کنیم. ❤️