۱. در هریک از قسمت‌های زیر، جملهٔ عمومی یک دنبالهٔ حسابی داده شده است. ابتدا پنج جملهٔ اول هر دنباله را به‌دست آورید و آنها را روی یک نمودار نشان دهید. سپس قدرنسبت هر دنباله را تعیین کنید.
الف) $a_n=-6-4(n-1)$
پنج جملهٔ اول این دنباله عبارتند از:
\[-6,-10,-14,-18,-22.\]
قدرنسبت این دنباله برابر $-4$ است.
پرسش. چرا نقطههای شکل بالا، روی یک خط راست قرار دارند؟ معادلهٔ این خط چیست؟
ب) $b_n=\frac{5}{2}-(n-1)$
چهار جملهٔ اول این دنباله عبارتند از:
\[\frac{5}{2},\frac{3}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{3}{2}.\]
قدرنسبت این دنباله برابر $-1$ است.
پرسش. چرا نقطههای شکل بالا، روی یک خط راست قرار دارند؟ معادلهٔ این خط چیست؟
۲. هر یک از نمودارهای زیر، متعلق به کدام دنبالهٔ حسابی است؟
الف) \(a_n=-\frac{3}{4}n+8\)
ب) \(a_n=3n-5\)
ج) \(a_n=2+\frac{3}{4}n\)
د) \(a_n=25-3n\)
الف) b
ب) d
ج) c
د) a
(توجه کنید که نمودارهای a و b نمایشدهندهٔ دنبالههای حسابی کاهشی، و نمودارهای c و d نمایشدهندهٔ دنبالههای حسابی افزایشی هستند. با توجه به ضریب \(n\)، دنبالههای قسمت‌های «الف» و «د»، دنبالههای حسابی کاهشی، و دنبالههای قسمت‌های «ب» و «ج»، دنبالههای حسابی افزایشی هستند.)
۳. در هریک از قسمت‌های زیر، جملهٔ اول و قدرنسبت یک دنبالهٔ حسابی داده شده است. ابتدا جملهٔ عمومی هر دنباله را به‌دست آورید. سپس جملهٔ دهم هر دنباله را محاسبه کنید.
الف) $a=14$ و $d=-\frac{3}{2}$
جملهٔ عمومی این دنباله برابر است با:\[a_n=14-\frac{3}{2}(n-1).\]جملهٔ دهم این دنباله برابر است با:\[\begin{aligned}a_{10}&=14-\frac{3}{2}(9)\\[6pt]&=14-\frac{27}{2}\\[6pt]&=\frac{1}{2}.\end{aligned}\]
ب) $a=\sqrt{3}$ و $d=\sqrt{3}$
جملهٔ عمومی این دنباله برابر است با:\[a_n=\sqrt{3}+\sqrt{3}(n-1).\]جملهٔ دهم این دنباله برابر است با:\[\begin{aligned}a_{10}&=\sqrt{3}+\sqrt{3}\times9\\&=\sqrt{3}+9\sqrt{3}\\&=10\sqrt{3}.\end{aligned}\]
۴. در هریک از قسمت‌های زیر، چهارجملهٔ اول یک دنباله داده شده است. دنباله‌هایی را که می‌توانند یک دنبالهٔ حسابی باشند، مشخص کنید و جملهٔ عمومی آنها را به‌صورت استاندارد، یعنی $a_n=a+(n-1)d$، بنویسید.
الف) $-31,-19,-7,4,\dots$
این دنباله، یک دنبالهٔ حسابی نیست. چون اختلاف هر دو جملهٔ متوالی آن، عدد ثابتی نیست.\[\begin{aligned}-7-4&=-11,\\-19-(-7)&=-12.\end{aligned}\]
ب) $16,9,2,-5,\dots$
این دنباله یک دنبالهٔ حسابی با قدرنسبت $-7$ و جملهٔ عمومیِ\[a_n=16-7(n-1)\]است.
ج) $2,4,8,16,\dots$
این دنباله، یک دنبالهٔ حسابی نیست. چون اختلاف هر دو جملهٔ متوالی آن، عدد ثابتی نیست.\[\begin{aligned}4-2&=2,\\8-4&=4.\end{aligned}\]
د) $2,4,6,8,\dots$
این دنباله یک دنبالهٔ حسابی با قدرنسبت $2$ و جملهٔ عمومیِ\[a_n=2+2(n-1)\]است.
۵. در هریک از قسمت‌های زیر، تعیین کنید که دنبالهٔ داده شده، یک دنبالهٔ حسابی هست یا نه. در صورتی که دنباله حسابی هست، جملهٔ عمومی آنها را به‌صورت استاندارد، یعنی $a_n=a+(n-1)d$، بنویسید.
الف) $a_n=4+7n$
دنبالهٔ داده شده یک دنبالهٔ حسابی است:\[\begin{aligned}a_n&=4+7n\\&=4+7n-7+7\\&=4+7(n-1)+7\\&=11+7(n-1).\end{aligned}\]
ب) $b_n=4+2^n$
سه جملهٔ اول این دنباله به‌صورت زیر هستند.\[6,8,12\]چون اختلاف هر دو جملهٔ متوالی، عدد ثابتی نیست، پس $b_n$ یک دنبالهٔ حسابی نیست.\[\begin{aligned}8-6&=2,\\12-8&=4.\end{aligned}\]
ج) $c_n=\frac{1}{1+2n}$
سه جملهٔ اول این دنباله به‌صورت زیر هستند.\[\frac{1}{3},\frac{1}{5},\frac{1}{7}\]چون اختلاف هر دو جملهٔ متوالی، عدد ثابتی نیست، پس $c_n$ یک دنبالهٔ حسابی نیست.\[\begin{aligned}\frac{1}{5}-\frac{1}{3}&=-\frac{2}{15},\\[6pt]\frac{1}{7}-\frac{1}{5}&=-\frac{2}{35}.\end{aligned}\]
د) $d_n=1+\frac{n}{2}$
دنبالهٔ داده شده یک دنبالهٔ حسابی است:\[\begin{aligned}d_n&=1+\frac{n}{2}\\[6pt]&=1+\frac{n}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\\[6pt]&=1+\frac{1}{2}(n-1)+\frac{1}{2}\\[6pt]&=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}(n-1).\end{aligned}\]
هـ) $e_n=6n-10$
دنبالهٔ داده شده یک دنبالهٔ حسابی است:\[\begin{aligned}e_n&=6n-10\\&=6n-6+6-10\\&=6(n-1)-4\\&=-4+6(n-1).\end{aligned}\]
د) $f_n=3+(-1)^nn$
سه جملهٔ اول این دنباله به‌صورت زیر هستند.\[2,5,0\]چون اختلاف هر دو جملهٔ متوالی، عدد ثابتی نیست، پس $f_n$ یک دنبالهٔ حسابی نیست.\[\begin{aligned}5-2&=3,\\0-5&=-5.\end{aligned}\]
۶. در هریک از قسمت‌های زیر، اطلاعاتی دربارهٔ یک دنبالهٔ حسابی داده شده است. به پرسش هر قسمت پاسخ دهید.
الف) صدمین جمله برابر $-750$، و قدرنسبت برابر $-20$ است. پنجمین جمله چیست؟
میدانیم:
\[a_{100}=-750,\quad d=-20.\]
میخواهیم $a_{5}$ را محاسبه کنیم. برای اینکار ابتدا جملهٔ اول و سپس جملهٔ عمومی دنباله را به‌دست میآرویم.
\[\begin{aligned}&a_{100}=a_1+99d\\&\Rightarrow-750=a_1+99(-20)\\&\Rightarrow-750=a_1-1980\\&\Rightarrow1230=a_1.\end{aligned}\]
بنابراین، جملهٔ عمومی این دنباله برابر است با:
\[a_n=1230-20(n-1).\]
پس:
\[\begin{aligned}a_5&=1230-20(4)\\&=1230-80\\&=1150.\end{aligned}\]
ب) نهمین جمله برابر $\frac{2}{3}$، و چهاردهمین جمله برابر $\frac{1}{4}$ است. جملهٔ عمومی چیست؟
\[\begin{aligned}&\left\{\begin{aligned}&a_{14}=a_1+13d\Rightarrow\frac{1}{4}=a_1+13d\\[6pt]&a_{9}=a_1+8d\Rightarrow\frac{2}{3}=a_1+8d\end{aligned}\right.\\[6pt]&\Rightarrow\frac{2}{3}-\frac{1}{4}=(a_1+8d)-(a_1+13d)\\[6pt]&\Rightarrow\frac{5}{12}=-5d\\[6pt]&\Rightarrow-\frac{1}{12}=d.\end{aligned}\]
در نتیجه:
\[\begin{aligned}&a_{9}=a_1+8d\\[6pt]&\Rightarrow\frac{2}{3}=a_1+8\big(-\frac{1}{12}\big)\\[6pt]&\Rightarrow\frac{2}{3}=a_1-\frac{2}{3}\\[6pt]&\Rightarrow\frac{4}{3}=a_1.\end{aligned}\]
بنابراین، جملهٔ عمومی این دنباله برابر است با:
\[a_n=\frac{4}{3}-\frac{1}{12}(n-1).\]
ج) اولین جمله برابر $3500$، و قدر نسبت برابر $-15$ است. چندمین جمله برابر $2795$ است؟
\[\begin{aligned}&a_n=a_1+(n-1)d\\&\Rightarrow 2795=3500+(n-1)(-15)\\&\Rightarrow2795=3500-15n+15\\&\Rightarrow15n=3515-2795\\&\Rightarrow15n=720\\&\Rightarrow n=48.\end{aligned}\]
د) جملهٔ بیستم برابر $100$، و جملهٔ اول با قدرنسبت برابر است. جملهٔ دهم چه عددی است؟
میدانیم:
\[a_{20}=100,\quad a_1=d.\]
بنابراین:
\[\begin{aligned}&a_{20}=a_1+(20-1)d\\&\Rightarrow100=d+19d\\&\Rightarrow100=20d\\&\Rightarrow5=d.\end{aligned}\]
در نتیجه:
\[\begin{aligned}a_{10}&=a_1+9d\\&=5+9\times5\\&=5+45\\&=50.\end{aligned}\]
۷. در یک دنبالهٔ حسابی، جملهٔ اول برابر \(-1\) و جملهٔ دهم برابر \(-\frac{29}{2}\) است. چندمین جملهٔ این دنباله برابر \(-34\) است؟
چون دنبالهٔ داده شده یک دنبالهٔ حسابی است، پس میتوان آن را به شکل زیر نمایش داد.
\[a_n=a+(n-1)d.\]
جملهٔ اول این دنباله برابر $-1$ است. یعنی:
\[a=-1.\]
جملهٔ دهم این دنباله برابر $-\frac{29}{2}$ است. پس:
\[\begin{aligned}&a_{10}=-1+(10-1)d=-\frac{29}{2}\\[7pt]&\Rightarrow-1+9d=-\frac{29}{2}\\[7pt]&\Rightarrow9d=-\frac{29}{2}+1\\[7pt]&\Rightarrow9d=-\frac{27}{2}\\[7pt]&\Rightarrow d=-\frac{27}{18}\\[7pt]&\Rightarrow d=-\frac{3}{2}.\end{aligned}\]
بنابراین، جملهٔ عمومی این دنباله برابر است با:
\[a_n=-1+(n-1)\times-\frac{3}{2}.\]
حال میخواهیم \(n\)ای را پیدا کنیم که برای آن، \(a_n\) برابر \(-34\) شود.
\[\begin{aligned}&a_n=-1+(n-1)\times-\frac{3}{2}\\[7pt]&\Rightarrow-34=-1+(n-1)\times-\frac{3}{2}\\[7pt]&\Rightarrow-33=-\frac{3}{2}n+\frac{3}{2}\\[7pt]&\Rightarrow-33-\frac{3}{2}=-\frac{3}{2}n\\[7pt]&\Rightarrow-\frac{69}{2}=-\frac{3}{2}n\\[7pt]&\Rightarrow-\frac{2}{3}\times\big(-\frac{69}{2}\big)=n\\[7pt]&\Rightarrow23=n.\end{aligned}\]
پس، \(23\)اُمین جملهٔ این دنبالهٔ حسابی برابر \(-34\) است.
۸. بین دو عدد $131$ و $254$، نود و شش عدد درج کرده‌ایم، به گونه‌ای که این نود و هشت عدد یک دنباله حسابی می‌سازند. جملهٔ یازدهم این دنبالهٔ حسابی را به‌دست آورید.
میدانیم:
\[a_1=131,\quad a_{98}=254.\]
بنابراین:
\[\begin{aligned}&a_{98}=a_1+97d\\&\Rightarrow254=131+97d\\&\Rightarrow123=97d\\[5pt]&\Rightarrow\frac{123}{97}=d.\end{aligned}\]
در نتیجه:
\[\begin{aligned}a_{11}&=a_1+10d\\[6pt]&=131+10\times\frac{123}{97}\\[6pt]&=131+\frac{1230}{97}\\[6pt]&=\frac{13937}{97}.\end{aligned}\]
ارسال کامنت و دیدگاه
در اولین فرصت به کامنت شما پاسخ می‌دهیم و بلافاصله یک ایمیل برایتان ارسال می‌کنیم. ❤️