این اعداد میتوانند چهار جمله از یک دنبالهٔ هندسی با قدرنسبت \(3\) باشند. زیرا:
\[\begin{aligned}\frac{21}{7}&=3\\[9pt]\frac{63}{21}&=3\\[9pt]\frac{189}{63}&=3.\end{aligned}\]
بنابراین، با جایگذاری مقدار جملهٔ اول و قدرنسبت در فرمول جملهٔ عمومی دنبالهٔ هندسی، داریم:
\[\begin{aligned}t_n&=t_1r^{n-1}\\&=7(3)^{n-1}.\end{aligned}\]
این اعداد میتوانند چهار جمله از یک دنبالهٔ حسابی با قدرنسبت \(9\) باشند. زیرا:
\[\begin{aligned}12-3&=9\\21-12&=9\\30-21&=9.\end{aligned}\]
بنابراین، با جایگذاری مقدار جملهٔ اول و قدرنسبت در فرمول جملهٔ عمومی دنبالهٔ حسابی، داریم:
\[\begin{aligned}a_n&=a_1+(n-1)d\\&=3+(n-1)(9).\end{aligned}\]
این اعداد میتوانند چهار جمله از یک دنبالهٔ هندسی با قدرنسبت \(-\frac{1}{2}\) باشند. زیرا:
\[\begin{aligned}\frac{-\frac{1}{2}}{1}&=-\frac{1}{2}\\[9pt]\frac{\frac{1}{4}}{-\frac{1}{2}}&=-\frac{1}{2}\\[9pt]\frac{-\frac{1}{8}}{\frac{1}{4}}&=-\frac{1}{2}.\end{aligned}\]
بنابراین، با جایگذاری مقدار جملهٔ اول و قدرنسبت در فرمول جملهٔ عمومی دنبالهٔ هندسی، داریم:
\[\begin{aligned}t_n&=t_1r^{n-1}\\[7pt]&=1(-\frac{1}{2})^{n-1}.\end{aligned}\]
این اعداد میتوانند چهار جمله از یک دنبالهٔ هندسی با قدرنسبت \(-\frac{2}{3}\) باشند. زیرا:
\[\begin{aligned}\frac{-6}{9}&=-\frac{2}{3}\\[7pt]\frac{4}{-6}&=-\frac{2}{3}\\[7pt]\frac{-\frac{8}{3}}{4}&=-\frac{2}{3}.\end{aligned}\]
بنابراین، با جایگذاری مقدار جملهٔ اول و قدرنسبت در فرمول جملهٔ عمومی دنبالهٔ هندسی، داریم:
\[\begin{aligned}t_n&=t_1r^{n-1}\\[7pt]&=9(-\frac{2}{3})^{n-1}.\end{aligned}\]
این اعداد میتوانند چهار جمله از یک دنبالهٔ حسابی با قدرنسبت \(-\frac{1}{2}\) باشند. زیرا:
\[\begin{aligned}\frac{1}{6}-\frac{2}{3}&=-\frac{1}{2}\\[7pt]-\frac{1}{3}-\frac{1}{6}&=-\frac{1}{2}\\[7pt]-\frac{5}{6}-\big(-\frac{1}{3}\big)&=-\frac{1}{2}.\end{aligned}\]
بنابراین، با جایگذاری مقدار جملهٔ اول و قدرنسبت در فرمول جملهٔ عمومی دنبالهٔ حسابی، داریم:
\[\begin{aligned}a_n&=a_1+(n-1)d\\[7pt]&=\frac{2}{3}+(n-1)\big(-\frac{1}{2}\big).\end{aligned}\]
این اعداد میتوانند چهار جمله از یک دنبالهٔ هندسی با قدرنسبت \(-\sqrt{7}\) باشند. زیرا:
\[\begin{aligned}\frac{-\sqrt{7}}{1}&=-\sqrt{7}\\[7pt]\frac{7}{-\sqrt{7}}&=-\sqrt{7}\\[7pt]\frac{-7\sqrt{7}}{7}&=-\sqrt{7}.\end{aligned}\]
بنابراین، با جایگذاری مقدار جملهٔ اول و قدرنسبت در فرمول جملهٔ عمومی دنبالهٔ هندسی، داریم:
\[\begin{aligned}t_n&=t_1r^{n-1}\\&=1\big(-\sqrt{7}\big)^{n-1}.\end{aligned}\]
این اعداد میتوانند چهار جمله از یک دنبالهٔ هندسی با قدرنسبت \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) باشند. زیرا:
\[\begin{aligned}\frac{\frac{4}{\sqrt{3}}}{2}&=\frac{2}{\sqrt{3}}\\[9pt]\frac{\frac{8}{3}}{\frac{4}{\sqrt{3}}}&=\frac{2}{\sqrt{3}}\\[9pt]\frac{\frac{16}{3\sqrt{3}}}{\frac{8}{3}}&=\frac{2}{\sqrt{3}}.\end{aligned}\]بنابراین، با جایگذاری مقدار جملهٔ اول و قدرنسبت در فرمول جملهٔ عمومی دنبالهٔ هندسی، داریم:
\[\begin{aligned}t_n&=t_1r^{n-1}\\&=2\big(\frac{2}{\sqrt{3}}\big)^{n-1}.\end{aligned}\]
این دنباله، یک دنبالهٔ حسابی نیست. زیرا:
\[\frac{1}{2}-1\ne\frac{1}{3}-\frac{1}{2}.\]
این دنباله، یک دنبالهٔ هندسی نیست. زیرا:
\[\frac{\frac{1}{2}}{1}\ne\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}.\]
۲. جملهٔ شانزدهم هریک از دنباله‌های هندسی زیر را بیابید.
\[\begin{aligned}\underbrace{11,33}_{\color{red}33\div11=3},99,\dots\end{aligned}\]
قدرنسبت این دنباله برابر \(3\) است. بنابراین، با جایگذاری جملهٔ اول و قدرنسبت در جملهٔ عمومی دنبالهٔ هندسی، داریم:
\[\begin{aligned}t_n&=t_1r^{n-1}\\&=11(3)^{n-1}.\end{aligned}\]
در نتیجه:
\[\begin{aligned}t_{16}&=11(3)^{16-1}\\&=11(3)^{15}\\&=11(14348907)\\&=157837977.\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\underbrace{\frac{8}{5},-\frac{16}{25}}_{\color{red}-\frac{16}{25}\div\frac{8}{5}=-\frac{2}{5}},\frac{32}{125},-\frac{64}{625},\dots\end{aligned}\]
قدرنسبت این دنباله برابر \(-\frac{2}{5}\) است. بنابراین، با جایگذاری جملهٔ اول و قدرنسبت در جملهٔ عمومی دنبالهٔ هندسی، داریم:
\[\begin{aligned}t_n&=t_1r^{n-1}\\[7pt]&=\frac{8}{5}\big(-\frac{2}{5}\big)^{n-1}.\end{aligned}\]
در نتیجه:
\[\begin{aligned}t_{16}&=\frac{8}{5}\big(-\frac{2}{5}\big)^{16-1}\\[7pt]&=\frac{8}{5}\big(-\frac{2}{5}\big)^{15}\\[7pt]&=\frac{8}{5}\big(-\frac{32768}{30517578125}\big)\\[7pt]&=-\frac{262144}{152587890625}.\end{aligned}\]
۳. هریک از نمودارهای زیر، متعلق به کدام دنبالهٔ هندسی است؟
الف) \(t_n=18(\frac{2}{3})^{n-1}\)
ب) \(t_n=18(-\frac{2}{3})^{n-1}\)
ج) \(t_n=18(\frac{3}{2})^{n-1}\)
د) \(t_n=18(-\frac{3}{2})^{n-1}\)
الف) a
ب) c
ج) b
د) d
(دنبالهٔ قسمت «الف» یک دنبالهٔ هندسی کاهشی است. زیرا قدرنسبت آن بین \(0\) و \(1\) است. جملههای دنباله‌های قسمت‌های «ب» و «د» یکیدرمیان مثبت و منفی هستند. زیرا قدرنسبت این دنبالهها منفی است. دنبالهٔ قسمت «ج» یک دنبالهٔ افزایشی است. زیرا قدرنسبت آن بزرگتر از \(1\) است.)
۴. در هریک از قسمت‌های زیر، اطلاعاتی دربارهٔ یک دنبالهٔ هندسی داده شده است. به پرسش هر قسمت پاسخ دهید.
الف) سومین جمله برابر \(18\) و قدرنسبت برابر \(\frac{1}{6}\) است. هفتمین جملهٔ این دنباله چیست؟
در این دنبالهٔ هندسی، \(t_3=18\) و \(r=\frac{1}{6}\). بنابراین:
\[\begin{aligned}&t_3=t_1r^2\\[7pt]&\Rightarrow18=t_1\big(\frac{1}{6}\big)^2\\[7pt]&\Rightarrow3\times6=t_1\times\frac{1}{6^2}\\[7pt]&\Rightarrow3\times6^3=t_1\end{aligned}\]
حال، جملهٔ اول و قدرنسبت دنبالهٔ هندسی را داریم. پس میتوانیم هریک از جملههای آن را به‌دست آوریم.
\[\begin{aligned}t_7&=t_1r^6\\[7pt]&=3\times6^3\times\big(\frac{1}{6}\big)^6\\[7pt]&=3\times6^3\times\frac{1}{6^6}\\[7pt]&=3\times\frac{1}{6^3}\\[7pt]&=\frac{3}{6\times6^2}\\[7pt]&=\frac{1}{2\times6^2}\\[7pt]&=\frac{1}{72}.\end{aligned}\]
ب) اولین جمله برابر \(1536\) و قدرنسبت برابر \(\frac{1}{2}\) است. چندمین جمله برابر \(6\) است؟
فرض کنید \(k\)اُمین جملهٔ این دنبالهٔ هندسی برابر \(6\) باشد. میخواهیم \(k\) را بیابیم.
\[\begin{aligned}&t_k=t_1r^{k-1}\\&\Rightarrow6=1536\big(\frac{1}{2}\big)^{k-1}\\[7pt]&\Rightarrow\frac{6}{1536}=\big(\frac{1}{2}\big)^{k-1}\\[7pt]&\Rightarrow\frac{1}{256}=\big(\frac{1}{2}\big)^{k-1}\\[7pt]&\Rightarrow\big(\frac{1}{2}\big)^8=\big(\frac{1}{2}\big)^{k-1}\\[7pt]&\Rightarrow8=k-1\\&\Rightarrow9=k.\end{aligned}\]
ج) سومین جمله برابر \(-54\) و ششمین جمله برابر \(\frac{729}{256}\) است. جملهٔ عمومی این دنباله چیست؟
\[\begin{aligned}\left.\begin{aligned}&t_3=t_1r^2=-54\\[7pt]&t_6=t_1r^5=\frac{729}{256}\end{aligned}\right\}&\Rightarrow\frac{t_1r^5}{t_1r^2}=\frac{\frac{729}{256}}{-54}\\&\Rightarrow r^3=-\frac{27}{512}\\[7pt]&\Rightarrow r=\sqrt[3]{-\frac{27}{512}}\\[7pt]&\Rightarrow r=-\frac{3}{8}.\end{aligned}\]
حال، بهسادگی میتوانیم جملهٔ اول این دنباله را به‌دست آوریم:
\[\begin{aligned}&t_3=t_1r^2\\[7pt]&-54=t_1\big(-\frac{3}{8}\big)^2\\[7pt]&\Rightarrow-54=t_1\times\frac{9}{64}\\[7pt]&\Rightarrow-54\times\frac{64}{9}=t_1\\[7pt]&\Rightarrow-384=t_1.\end{aligned}\]
بنابراین، جملهٔ عمومی این دنباله برابر است با:
\[t_n=-384\big(-\frac{3}{8}\big)^{n-1}.\]
۵. الف) با استفاده از جمعیت هند در ۸ سال گذشته، برای پیش‌بینی جمعیت این کشور در سال‌های آینده، یک دنبالهٔ هندسی بسازید. (برای مشاهدهٔ جمعیت هند در ۸ سال گذشته، اینجا را کلیک کنید، و برای ساختن دنبالهٔ هندسی اینجا را کلیک کنید.)
ب) با استفاده از دنبالهٔ هندسی به‌دست آمده در قسمت «الف»، جمعیت هند را در پنج سال بعد بررسی کنید.
ج) آیا هند پرجمعیت‌ترین کشور دنیاست؟ اگر پاسخ‌تان منفی است، پیش‌بینی کنید که هند در چه سالی پرجمعیت‌ترین کشور دنیا خواهد شد.
