حجم مخروط ناقص

ذوزنقه قائم‌الزاویه زیر را در نظر بگیرید.


از دوران ذوزنقه قائم‌الزاویه حول ساق قائم یک مخروط ناقص تشکیل می‌شود. حجم این مخروط ناقص بر حسب قاعده‌ها و ارتفاع ذوزنقه چقدر است؟

امتداد ساق‌های ذوزنقه یکدیگر را در نقطه $E$ قطع میکنند.

دو مثلث قائم‌الزاویه تشکیل می‌شود. از دوران دو مثلث $ABE$ و $CDE$ حول $AE$ دو مخروط تشکیل می‌شود، حجم این دو مخروط را با $V_1$ و $V_2$ نشان می‌دهیم. حجم مخروط ناقص از رابطه زیر به‌دست می‌آید.

V=V1−V2.V=V_1-V_2.

برای محاسبه $V_1$ و $V_2$ باید طول $DE$ و $AE$ را حساب کنیم.
ادعا می‌کنیم:
DE=hab−aDE=\dfrac{ha}{b-a}و
AE=hbb−aAE=\dfrac{hb}{b-a}

چرا؟


پس
V1=π3AE×(AB)2=π3×hbb−a×b2=πhb33(b−a)\begin{aligned}V_1&=\frac{\pi }{3} AE\times (AB)^2\\[7pt]&=\frac{\pi}{3} \times\frac{hb}{b-a}\times b^2\\[7pt]&=\dfrac{\pi hb^3}{3(b-a)}\end{aligned}
و
V2=π3DE×(CD)2=π3×hab−a×a2=πha33(b−a)⋅\begin{aligned}V_2&=\frac{\pi}{3}DE\times(CD)^2\\[7pt]&=\frac{\pi}{3}\times\frac{ha}{b-a}\times a^2\\[7pt]&=\dfrac{\pi ha^3}{3(b-a)}\cdot\end{aligned}

پس حجم مورد نظر برابر است با:

V=V1−V2=πhb33(b−a)−πha33(b−a)=πh3(b3−a3b−a)=πh3×(b−a)(b2+ab+a2)b−a=πh3(b2+ab+a2).\begin{aligned}V&=V_1-V_2\\&=\frac{\pi h b^3}{3(b-a)}-\frac{\pi ha^3}{3(b-a)}\\&=\frac{\pi h}{3}\big(\frac{b^3-a^3}{b-a}\big)\\&=\frac{\pi h}{3}\times\frac{(b-a)(b^2+ab+a^2)}{b-a}\\&=\frac{\pi h}{3}(b^2+ab+a^2).\end{aligned}

نوشته‌های قبلی و بعدی

ارسال کامنت و دیدگاه

در اولین فرصت به کامنت شما پاسخ می‌دهیم و بلافاصله یک ایمیل برایتان ارسال می‌کنیم. ❤️

0 پرسش و نظر
Inline Feedbacks
مشاهده همه نظرات