حدس کولاتز

مسئلهٔ \(3n+1\) یا حدس کولاتز یکی از مسائل حل نشدهٔ ریاضیات است. صورت این مسئله بسیار ساده است به‌طوری‌که یک دانش‌آموز کلاس چهارمی به‌راحتی آن را متوجه می‌شود. اما ریاضیدانان بسیاری نتوانسته‌اند آن را حل کنند.
پال اردوش، ریاضیدان مشهور قرن بیستم گفته است: «ریاضیات زمان ما این آمادگی را ندارد که با چنین هیولایی در بیوفتد!»

صورت مسئلهٔ \(3n+1\) در کتاب‌های زیادی، از جمله کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم شرح داده شده است:

سدریک ویلانی، برندهٔ مدال فیلدز و نویسندهٔ کتاب تولد یک قضیه، دربارهٔ حدس کولاتز گفته است: «هر کس بتواند این حدس را اثبات یا نقض کند مانند یک قهرمان از او استقبال خواهد شد. من که مسلماً امتحان نخواهم کرد: علاوه بر اینکه مسئله‌ای است فوق‌العاده غامض، با روحیهٔ من هم سازگاری ندارد. مغز من برای تفکر در این سبک از مسائل تعلیم ندیده است.»

ویدئوی اول

در ویدئوی زیر، علاوه بر توضیحاتی دربارهٔ صورت مسئله، دنباله‌هایی مربوط به آن نیز معرفی می‌شوند.

دانلود رایگان ویدئو

در ویدئوی بالا، یک درخت بزرگ و چند دنباله از سایت oeis.org نشان داده می‌شود.

درخت بزرگ!

برای مشاهدهٔ درختی که در ویدئوی بالا نمایش داده شد، اینجا را کلیک کنید.
در صفحهٔ مربوط به حدس کولاتز سایت ویکپدیا، درخت‌ها و نمودارهای بزرگ و جالبی وجود دارد. برای نمونه، شکل زیر را ببینید.

دنبالهٔ A177729

اگر در فرایند گفته شده در حدس کولاتز از عددی مانند \(n\) شروع کنیم و به \(1\) برسیم، یک دنباله از اعداد طبیعی ساخته می‌‌شود که به آن دنبالهٔ کولاتزِ عدد \(n\) می‌گوییم.
در زیر، دنبالهٔ کولاتز اعداد \(1\) تا \(6\) آمده است.
\[\begin{aligned}&{\color{purple}1}.\\&{\color{purple}2},1.\\&{\color{purple}3},10,5,16,8,4,2,1.\\&{\color{purple}4},2,1.\\&{\color{purple}5},16,8,4,2,1.\\&{\color{purple}6},3,10,5,16,8,4,1.\end{aligned}\] عدد \(4\) و \(5\) در دنبالهٔ کولاتز عدد \(3\) آمده‌اند. ولی عدد \(6\) در دنبالهٔ کولاتز اعداد کوچک‌تر از خود نیامده است.
دنبالهٔ A177729 شامل اعدادی است که در دنبالهٔ کولاتز اعداد کوچک‌تر از خود نیامده باشند:
\[1, 2, 3, 6, 7, 9, 12, 15, 18, 19, 21, 24, 25, 27, 30,\dots.\]

پرسش ۱. به نظر شما، آیا شناخت کامل دنبالهٔ A177729 می‌تواند به حل مسئلهٔ \(3n+1\) کمک می‌کند؟

دنبالهٔ A060412

می‌خواهیم لیستی از اعداد طبیعی بسازیم. قانون اضافه کردن اعداد طبیعی به این لیست را با چند مثال شرح می‌دهیم.
1. در دنبالهٔ کولاتزِ عدد \(1\)، هیچ‌وقت به عددی کوچک‌تر از \(1\) نمی‌رسیم! پس قرار می‌دهیم \(\ell_1=0\)، و عدد \(1\) را داخل لیستمان قرار نمی‌دهیم.
2. در دنبالهٔ کولاتزِ عدد \(2\)، پس از \({\color{red}1}\) مرحله به عددی کوچک‌تر از \(2\) می‌رسیم: \[{\color{purple}2}, 1.\] پس قرار می‌دهیم \(\ell_2=1\)، و عدد \(2\) را به‌عنوان اولین عدد در یک لیست می‌نویسیم:
\[\color{green}[2]\]
3. در دنبالهٔ کولاتزِ عدد \(3\)، پس از \(\color{red}6\) مرحله به عددی کوچک‌تر از \(3\) می‌رسیم:
\[{\color{purple}3},10,5,16,8,4,2,{\color{gray}1}.\] پس قرار می‌دهیم \(\ell_3={\color{red}6}\)، و چون \(\ell_3 > \ell_2\)، پس عدد \(3\) را به لیستمان اضافه می‌کنیم:
\[\color{green}[2, 3].\]
4. در دنبالهٔ کولاتزِ عدد \(4\)، پس از \(1\) مرحله به عددی کوچک‌تر از \(4\) می‌رسیم:
\[{\color{purple}4},2,{\color{gray}1}.\] پس قرار می‌دهیم \(\ell_4=1\)، و چون \(\ell_4 < \ell_3\)، پس \(4\) را به لیستمان اضافه نمی‌کنیم.

5. در دنبالهٔ کولاتزِ عدد \(5\)، پس از \(3\) مرحله به عددی کوچک‌تر از \(5\) می‌رسیم: \[{\color{purple}5},16,8,4,{\color{gray}2},{\color{gray}1}.\] پس قرار می‌دهیم \(\ell_5=3\)، و چون \(\ell_5 < \ell_3\)، پس \(5\) را به لیستمان اضافه نمی‌کنیم.
6. در دنبالهٔ کولاتزِ عدد \(6\)، پس از \(1\) مرحله به عددی کوچک‌تر از \(6\) می‌رسیم: \[{\color{purple}6},3,{\color{gray}10},{\color{gray}\dots}.\] پس قرار می‌دهیم \(\ell_6=1\)، و چون \(\ell_6 < \ell_3\)، پس \(6\) را به لیستمان اضافه نمی‌کنیم.
7. در دنبالهٔ کولاتزِ عدد \(7\)، پس از \({\color{red}11}\) مرحله به عددی کوچک‌تر از \(7\) می‌رسیم:
\[{\color{purple}7},22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,{\color{gray}16},{\color{gray}\dots}.\] پس قرار می‌دهیم \(\ell_7={\color{red}11}\)، و چون \(\ell_7 > \ell_3\)، پس \(7\) را به لیستمان اضافه می‌کنیم:
\[\color{green}[2,3,7].\]
اگر به همین ترتیب ادامه دهیم، اعداد لیستمان دنبالهٔ زیر را می‌سازند:
\[\color{green}2, 3, 7, 27, 703, 10087, 35655, 270271, 362343, 381727,\dots.\] دنبالهٔ بالا، همان دنبالهٔ A060412 است که در ویدئو معرفی شد.

پرسش ۲. به نظر شما، آیا شناخت کامل دنبالهٔ A060412 می‌تواند به حل مسئلهٔ \(3n+1\) کمک می‌کند؟

ماشین حساب کولاتز

با یک جستجوی ساده می‌توانید وب‌سایت‌هایی را بیابید که ماشین‌حساب کولاتز آنلاین دارند. برای نمونه روی لینک زیر کلیک کنید.

ماشین‌حساب کولاتز آنلاین

با استفاده از ماشین‌حساب کولاتز بالا، می‌توایند دنبالهٔ کولاتز اعداد مختلفی را مشاهده کنید و تعداد جمله‌های آن‌ها را بشمارید.

ویدئوی دوم

حتماً مسائل زیادی را دیده‌اید که با استفاده از رسم شکل، به‌سادگی حل می‌شوند. در ویدئوی زیر، یک شکل جالب برای حدس کولاتز رسم می‌شود که نشان می‌دهد که چرا حل کردن این مسئله بسیار دشوار است.

دانلود رایگان ویدئو