نمونه سوال ریاضی دهم فصل ۱

دانش‌آموزان عزیز می‌توانند با حل این مسائل میزان توانایی خود را در مباحث فصل ۱ ریاضی دهم بسنجند.
معلم‌های عزیز می‌توانند از این مسائل در کلاس درس یا آزمون‌ها استفاده کنند.

تعداد این مسائل، به‌مرور افزایش می‌یابد.

1. در یک دنبالۀ حسابی جملۀ بیستم برابر \(100\) است، و جملۀ اول و قدرنسبت باهم برابرند. مجموع حداکثر چند جملۀ نخست این دنباله از \(240\) کوچکتر است؟

---

2. در یک دنبالۀ هندسی جمله‌های \(20\)اُم و \(24\)اُم به‌ترتیب \(\frac{1}{9}\) و \(9\) هستند. جملۀ دهم این دنباله را به‌دست آورید.

---

3. در یک دنبالۀ هندسی حاصل‌جمع جمله‌های اول و چهارم برابر \(56\)، و حاصل‌جمع جمله‌های دوم و سوم برابر \(24\) است. قدرنسبت این دنباله را بیابید.

---

4. اگر جمله‌های یک دنبالۀ حسابی افزایشی، زیرمجموعهٔ عددهای طبیعی باشند و مجموع \(20\) جملۀ نخست این دنباله \(410\) باشد، آنگاه مجموع \(10\) جملۀ نخست این دنباله را بیابید. (در دنبالهٔ حسابی افزایشی، هر جمله از جملهٔ قبلش بزرگ‌تر است.)

---

5. حاصل‌جمع سه عدد که دنبالۀ هندسی می‌سازند \(35\) و حاصل‌ضرب آنها \(1000\) است. این سه عدد را بیابید.

---

6. فرض کنید \(a\)، \(b\)، \(c\)، و \(d\) جمله‌های پشت سرهم یک دنبالهٔ هندسی باشند. ثابت کنید:
   \[(b-c)^2+(c-a)^2+(d-b)^2=(d-a)^2.\]

---

7. اولین، سومین، و پنجمین جملۀ یک دنبالۀ هندسی به‌ترتیب جمله‌های اول، چهارم، و ششم یک دنبالۀ حسابی هستند. اگر جملۀ اول دنبالهٔ حسابی \(5\) باشد، آنگاه قدرنسبت دنبالهٔ حسابی و هندسی را بیابید.

---

8. با ذکر دلیل، درستی یا نادرستی هریک از عبارت‌های زیر را تعیین کنید.

الف) در یک دنبالهٔ حسابی اگر \(m-n=k-\ell\)، آنگاه \(a_m-a_n=a_k-a_\ell\).

ب) در یک دنبالهٔ هندسی اگر \(m-n=k-\ell\)، آنگاه \(a_m-a_n=a_k-a_\ell\).


---

9. می‌خواهیم خانه‌های خالی جدول زیر را طوری پر کنیم که هر سطر آن (از چپ به راست) و هر ستون آن (از بالا به پایین)، یک دنبالهٔ حسابی باشد. همهٔ مقدارهای ممکن برای \(x\)، \(y\)، و \(z\) را بیابید.



---

10. خانه‌های خالی جدول زیر را طوری پر کنید که اعداد هر سطر و هر ستون جمله‌های پشت سرهم یک دنبالهٔ هندسی باشند. (راهنمایی: اعداد داخل جدول را تجزیه کنید.)




---

11. ثابت کنید که اگر $25$، $43$، و $70$ سه جمله از یک دنبالهٔ‌ حسابی باشند، آن‌وقت $2005$ نیز یکی از جمله‌های آن دنبالهٔ حسابی است.

---

12. نشان دهید که یک مثلث قائم‌الزاویه که ضلع‌های آن جمله‌های متوالی یک دنبالهٔ حسابی هستند، همواره با مثلثی به اضلاع $3$، $4$، و $5$، متشابه است.

---

13. فرض کنید $a$، $b$، و $c$ سه جملهٔ متوالی از یک دنبالهٔ حسابی باشند. ثابت کنید:

\[a^2+8bc=(2b+c)^2.\]


---

14. کیمیا جمله‌های مشترک دو دنبالهٔ \(?_?=15n+4\) و \(?_?=12k+1\) را به‌صورت یک دنباله نوشته است. پنجمین جملهٔ دنبالهٔ کیمیا چه عددی است؟

---

15. در دنباله‌های حسابیِ \[2,9,16,23,\dots\] و \[12,17,22,27,\dots\] چند عدد سه رقمی مشترک کوچک‌تر از $300$، موجود است؟

---

16. حسن جمله‌های مشترک دنباله‌های حسابی\[3, 7, 11,. . .\]و\[2, 9, 16,. . .\]را به‌صورت یک دنباله نوشته است. جملهٔ عمومی دنبالهٔ حسن را بیابید.

---

17. دربارهٔ یک دنبالهٔ حسابی می‌دانیم:
    \[a_4+a_8+a_{12}+a_{16}=224.\]
    آیا می‌توانیم جملهٔ دهم این دنباله را بیابیم؟ جملهٔ عمومی را چطور؟

---

18. در یک دنبالهٔ حسابی، مجموع پنج جملهٔ اول با مجموع چهار جملهٔ بعد از آنها برابر است. اگر جملهٔ اول این دنباله 48 باشد، آن‌وقت جملهٔ دهم چه عددی است؟
    

---

19. ضلع‌های یک مثلث قائم‌الزاویه، یک دنبالهٔ حسابی با قدرنسبت 7 می‌سازند. مساحت این مثلث چقدر است؟
    

---

20. ثابت کنید که در هر مثلث قائم‌الزاویه، ارتفاع وارد بر وتر واسطهٔ هندسی دو پاره‌خطی است که ارتفاع روی وتر ایجاد می‌کند.

---

21. اولین، \(20\)اُمین، \(58\)اُمین جملهٔ یک دنبالهٔ حسابی افزایشی، جمله‌های متوالی یک دنبالهٔ هندسی‌اند. قدرنسبت این دنبالهٔ هندسی را بیابید.
    

---

22. در یک دنباله \(a_1=1\) و برای \(n\geq1\)، داریم \((a_{n+1})^3=99(a_n)^3\). جملهٔ صدم این دنباله را بیابید.
    

---

23. مقدار \(a\) را طوری تعیین کنید که ریشه‌های چندجمله‌ای \(x^3-7x^2+14x+a\) جمله‌های یک دنبالهٔ هندسی افزایشی باشند.

---

24. آیا اعداد \(100\)، \(101\)، و \(102\) می‌توانند جمله‌های یک دنبالهٔ هندسی باشند؟ (لزومی ندارد که این جمله‌ها پشت سرهم باشند.)
    

فهرست درسنامهٔ الگو و دنباله

با کلیک روی هریک از لینک‌های زیر، صفحهٔ مربوطه باز خواهد شد.

جلسهٔ اول: تعریف دنباله تمرین‌های جلسهٔ‌ اول جلسهٔ دوم: هندسه و موسیقی اعضای یک دنباله! جلسهٔ سوم: دنبالهٔ حسابی تمرین‌های جلسهٔ‌ سوم جلسهٔ چهارم: واسطهٔ حسابی جلسهٔ پنجم: دنبالهٔ هندسی تمرین‌های جلسهٔ‌ پنجم جلسهٔ ششم: واسطهٔ هندسی جلسهٔ هفتم: تمرین‌های تکمیلی