برای اینکه درسنامهٔ «هندسه و موسیقی اعضای یک دنباله!» را به‌خوبی بیاموزید، حتماً روی لینک زیر کلیک کنید و از روش ارائه شده در آن استفاده کنید.

چگونه درسنامه‌های سایت تکمیلی را بخوانیم؟

الگو و دنباله درسنامه


مثال ۱. شش جملهٔ اول هریک از دنباله‌های زیر را روی یک نمودار نشان دهید.
الف)
1,12,13,14,15,16,,1n,1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\frac{1}{6},\dots,\frac{1}{n},\dots

ب)
1,12,13,14,15,16,,(1)n+1n,1,-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{4},\frac{1}{5},-\frac{1}{6},\dots,\frac{(-1)^{n+1}}{n},\dots

الگوی خطی
به دنباله‌‌ای که جملهٔ عمومی آنها به‌صورت $t_n=an+b$ باشد، الگوی خطی می‌گویند که در آن aa و bb اعداد حقیقی دلخواه و ثابت هستند.
از ما بپرسید

فرض کنید که من چندتا دنباله مثال زده باشم:
an=nbn=5ncn=2ndn=32nen=8n\begin{aligned}a_n&=n\\b_n&=\sqrt{5}n\\c_n&=2n\\d_n&=\frac{3}{2}n\\e_n&=-8n\\\quad\vdots&\end{aligned}
حالا فرض کنید می‌خواهم دربارهٔ همهٔ دنباله‌هایی حرف بزنم که در همهٔ آنها، مشابه دنباله‌های بالا، ضریب nn یک عددی حقیقی است؛ در این‌صورت می‌گویم:
«یک دنباله در نظر بگیرید که جملهٔ عمومی آن anan باشد که aa یک عدد حقیقی دلخواه و ثابت است.»
درواقع، در تعریف الگوی خطی، aa و bb نامی است که روی ضرایب چندجمله‌ای درجه ۱ گذاشته‌ایم.

می‌توان تعدادی از جمله‌های یک دنباله را در یک نمودار نشان داد. برای مثال، دنبالهٔ زیر را در نظر بگیرید.
1,3,5,7,9,11,,2n1,1,3,5,7,9,11,\dots,2n-1,\dots
در نمودار زیر، شش جملهٔ اول دنبالهٔ بالا نشان داده شده است.
دنباله
همهٔ نقاط تصویر بالا روی یک خط راست قرار دارند. آیا می‌توانید معادلهٔ این خط را بنویسید؟!
فرمول $y=ax+b$ را با $t_n=an+b$ مقایسه می‌کنیم:

  • رابطهٔ $y=ax+b$، معادلهٔ یک خط با شیب $a$ و عرض از مبدأ $b$ است و $x$ یک عدد حقیقی است.
  • در رابطهٔ $t_n=an+b$، $n$ یک عدد طبیعی است.

  • بنابراین، در رابطهٔ $t_n=an+b$، نقاطی از خط $y=ax+b$ را انتخاب می‌کنیم که $x$ آنها یک عدد طبیعی است. برای مثال، دنبالهٔ $t_n=2n-1$ را با خط $y=2x-1$ مقایسه کنید.
    دنباله

    مثال ۲. کدام دنباله‌های زیر، الگوی خطی هستند؟ پنج جملهٔ اول هریک از آنها را روی نمودار نشان دهید.
    الف) an=6n3a_n=6n-3

    ب) bn=2nb_n=2^n

    ج) cn=(n+1)2n2c_n=(n+1)^2-n^2

    د) dn=42n+1d_n=\frac{4}{2n+1}

    هـ) en=4n+2(1)ne_n=4n+2(-1)^n

    و) fn=3f_n=3

    ز) gn=n21g_n=n^2-1

    مثال ۳. اگر جملۀ پنجم یک الگوی خطی $17$ و جملۀ دوازدهم آن $52$ باشد، آن‌وقت جملۀ عمومی این الگوی خطی را به‌دست آورید.

    دنبالهٔ ریکامن

    سعی کنید قانون دنبالهٔ زیر را حدس بزنید.
    0,1,3,6,2,7,13,20,12,21,11,22,10,23,9,  24,8,25,43,62,42,63,41,18,42,17,43,  16,44,15,45,14,46,79,113,78,114,77,39,  78,38,79,37,80,36,81,35,82,34,83,33,  84,32,85,31,86,30,87,29,88,28,89,27,  90,26,91,157,224,156,225,155,\begin{aligned}&0,1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, \\&\;24, 8, 25, 43, 62,42, 63, 41, 18, 42, 17, 43,\\&\; 16, 44, 15, 45, 14, 46, 79, 113, 78, 114, 77, 39,\\&\; 78, 38, 79, 37, 80, 36, 81, 35, 82, 34, 83, 33,\\&\; 84, 32, 85, 31, 86, 30, 87, 29, 88, 28, 89, 27,\\&\; 90, 26, 91, 157, 224, 156, 225, 155,\dots\end{aligned}
    در ویدئوی زیر، قانون دنبالهٔ بالا شرح داده می‌شود؛ همچنین، شکل این دنباله را می‌بینید و آهنگ آن را می‌شنوید!




    نوشته‌های قبلی و بعدی


    ارسال کامنت و دیدگاه

    در اولین فرصت به کامنت شما پاسخ می‌دهیم و بلافاصله یک ایمیل برایتان ارسال می‌کنیم. ❤️

    3 پرسش و نظر
    Inline Feedbacks
    مشاهده همه نظرات
    Pharma
    مهمان
    2 سال قبل

    سلام اگر من بشنیم همه ی این درسنامه هارو کامل و با کیفیت بخونم،سطح ریاضی ام برای دبیرستان بالا میره

    امیرعلی عراقی
    مهمان
    3 سال قبل

    واقعا حیرت انگیزه!