یک روش سادهٔ دیگر برای تولید یک دنباله این است که از عدد $t_1$ شروع کنیم و برای ساختن جمله‌های بعدی، هربار، جملهٔ قبلی را در عدد ثابت \(r\) ضرب کنیم.
تعریف دنبالهٔ هندسی
یک دنبالهٔ هندسی، دنباله‌ای به‌صورتِ\[t_1,t_1r,t_1r^2,t_1r^3,t_1r^4,\dots\]است که در آن اعداد ناصفر $t_1$ و \(r\) به‌ترتیب جملهٔ اول و قدرنسبت دنباله هستند.
جملهٔ عمومی یک دنبالهٔ هندسی
بنابه تعریف دنبالهٔ هندسی، اگر $t_1$ و $r$ به‌ترتیب جملهٔ اول و قدرنسبت یک دنبالهٔ هندسی باشند، آن‌وقت جملهٔ عمومی این دنباله برابر است با:\[t_n=t_1r^{n-1}.\]
مثال ۱. در یک دنبالهٔ هندسی، \(t_1=2\) و \(r=3\). پنج جملهٔ اول و جملهٔ عمومی این دنباله را بنویسید.
با توجه به تعریف دنبالهٔ هندسی و جایگذاری مقدارهای \(t_1\) و \(r\) در دنبالهٔ \[t_1,t_1r,t_1r^2,t_1r^3,t_1r^4,\dots\]پنج جملهٔ اول این دنبالهٔ هندسی عبارتند از: \[2,2\times3,2\times3^2,2\times3^3,2\times3^4\] یا \[2,6,18,54,162.\] جملهٔ عمومی این دنبالهٔ هندسی برابر است با:\[t_n=2\times3^{n-1}.\]
مثال ۲. قدرنسبت و جملهٔ عمومی هریک از دنباله‌های زیر را به‌دست آورید.
الف) \(2,-10,50,-250,1250,\dots\)
\[\underbrace{2,-10}_{\color{red}-10\div2=-5},50,-250,1250,\dots\]
قدرنسبت این دنباله برابر \(-5\) است، یعنی \(r=-5\). بنابراین، جملهٔ عمومی این دنباله برابر است با:
\[t_n=2\times(-5)^{n-1}.\]
\[\underbrace{1,\frac{1}{3}}_{\color{red}\frac{1}{3}\div1=\frac{1}{3}},\frac{1}{9},\frac{1}{27},\frac{1}{81},\dots\]
قدرنسبت این دنباله برابر \(\frac{1}{3}\) است، یعنی \(r=\frac{1}{3}\). بنابراین، جملهٔ عمومی این دنباله برابر است با:
\[t_n=1\times\big(\frac{1}{3}\big)^{n-1}.\]
مثال ۳. هفت جملهٔ اول دنبالهٔ \(t_n=\frac{1}{5}\times2^{n-1}\) را روی یک نمودار نشان دهید.
برای سادگی، بهجای \(2001\) تا \(2008\)، از \(1\) تا \(8\) استفاده میکنیم. در اینصورت دنبالهٔ جمعیت سالانهٔ چین، پس از سال \(2000\)، بهصورت زیر است:
\[\begin{aligned}a_1&=1299.1\\a_2&=1307.3\\a_3&=1315.3\\a_4&=1323.1\\a_5&=1330.8\\a_6&=1338.4\\a_7&=1346.0\\a_8&=1353.5\end{aligned}\]
میدانیم هر جملهٔ یک دنبالهٔ هندسی از ضرب یک عدد ثابت (قدرنسبت) در جملهٔ قبلی به‌دست میآید. واضح است که دنبالهٔ بالا یک دنبالهٔ هندسی نیست. زیرا: \[\frac{a_2}{a_1}=\frac{1307.3}{1299.1}\simeq1.0063\] ولی \[\frac{a_3}{a_2}=\frac{1315.3}{1307.3}\simeq1.0061\] اما می‌توان یک دنبالهٔ هندسی پیدا کرد که جمله‌های آن به جمله‌های دنبالهٔ بالا خیلی نزدیک باشند. برای یافتن چنین دنباله‌ای روشهایی وجود دارد. در اینجا، برای پیدا کردن چنین دنباله‌ای از نرمافزارهای آنلاین استفاده میکنیم. براساس اطلاعات جدول بالا، دنبالهٔ جمعیت سالانهٔ چین بهصورت زیر مدل میشود. \[t_n=1292.10(1.0058)^n.\]
ب) با استفاده از دنبالهٔ هندسی به‌دست آمده در قسمت «الف»، رشد جمعیت سالانه در چین حدوداً چقدر است؟
با توجه به رابطه‌ای که در قسمت «الف» به‌دست آمد، رشد جمعیت سالانهٔ چین حدوداً \(0.58\%\) است.
ج) ابتدا، با استفاده از دنبالهٔ به‌دست آمده در قسمت «الف»، جمعیت چین را در سال \(2017\) پیش‌بینی کنید. سپس، آن را با جمعیت واقعی چین در سال \(2017\) مقایسه کنید. (برای مشاهدهٔ جمعیت چین در سال‌های اخیر، اینجا را کلیک کنید.)
با استفاده از رابطه‌ای که در قسمت «الف» به‌دست آمد، داریم:
\[\begin{aligned}t_{17}&=1292.10(1.0058)^{17}\\&=1292.10\times1.103310451\\&=1425.587434\end{aligned}\]
یعنی با استفاده از دنبالهٔ هندسی به‌دست آمده در قسمت «الف»، جمعیت چین در سال \(2017\) باید برابر با \(1\,425\,587\,434\) نفر باشد. اما براساس گزارش سایت worldmeters جمعیت چین در سال \(2017\) برابر با \(1\,421\,021\,791\) بوده است.
پرسش. پیش‌بینی ما از جمعیت چین در سال \(2017\) با رقم واقعی آن حدود \(4\) میلیون اختلاف دارد. این اختلاف چه معنایی می‌دهد؟
مثال ۵. سومین و ششمین جملهٔ یک دنبالهٔ هندسی به‌ترتیب \(\frac{63}{4}\) و \(\frac{1701}{32}\) است. پنجمین جملهٔ این دنباله چیست؟
سومین جملهٔ این دنبالهٔ هندسی \(\frac{63}{4}\) است. یعنی:
\[t_3=t_1r^2=\frac{63}{4}.\quad(1)\]
ششمین جملهٔ این دنبالهٔ هندسی \(\frac{1701}{32}\) است. یعنی:
\[t_6=t_1r^5=\frac{1701}{32}.\quad(2)\]
حال، با توجه به رابطههای \((1)\) و \((2)\) داریم:
\[\begin{aligned}&\frac{t_6}{t_3}=\frac{t_1r^5}{t_1r^2}=\frac{\frac{1701}{32}}{\frac{63}{4}}\\[9pt]&\Rightarrow r^3=\frac{27}{8}\\[9pt]&\Rightarrow r=\frac{3}{2}.\end{aligned}\]
حال، با جایگذاری مقدار \(r\) در رابطهٔ \((1)\)، \(t_1\) را به‌دست میآوریم:
\[\begin{aligned}&t_3=t_1\big(\frac{3}{2}\big)^2=\frac{63}{4}\\[7pt]&\Rightarrow t_1\times\frac{9}{4}=\frac{63}{4}\\[7pt]&\Rightarrow t_1=\frac{63}{4}\times\frac{4}{9}\\[7pt]&\Rightarrow t_1=7.\end{aligned}\]
بنابراین:
\[t_n=7\times\big(\frac{3}{2}\big)^{n-1}.\]
پس:
\[\begin{aligned}t_5&=7\times\big(\frac{3}{2}\big)^{5-1}\\[7pt]&=7\times\big(\frac{3}{2}\big)^4\\[7pt]&=7\times\frac{81}{16}\\[7pt]&=\frac{567}{16}.\end{aligned}\]
