برای اینکه درسنامه توان را به‌خوبی بیاموزید، حتماً روی لینک زیر کلیک کنید و از روش ارائه شده در آن استفاده کنید.
چگونه درسنامه‌های سایت تکمیلی را بخوانیم؟
مثال ۱. در رایانه، 1 1 1 8 8 8 1024 1024 1024 1 1 1 1024 1024 1024 1 1 1 1024 1024 1024 1 1 1 1024 1024 1024 1 1 1 1 1 1
8 × 1024 × 1024 × 1024 × 1024 = 8796093022208. \begin{aligned}&8\times1024\times1024\times1024\times1024\\&=8796093022208.\end{aligned} 8 × 1024 × 1024 × 1024 × 1024 = 8796093022208.
پرسش ۱. آیا می‌توان پاسخ مسئلهٔ بالا را با رقم‌های کمتری نمایش داد؟
تعریف توان طبیعی
اگر
a a a یک عدد حقیقی و
n n n یک عدد طبیعی باشد، آنگاه
a × a × a × ⋯ × a ⏞ بار n \overset{\text{بار}n}{\overbrace{a\times a\times a\times\dots\times a}} a × a × a × ⋯ × a بار n را با نماد
a n a^n a n نمایش می‌دهند و می‌خوانند
a a a به توان
n n n . در
a n a^n a n ، اعداد
a a a و
n n n را به‌ترتیب پایه و توان (نما) می‌نامند.
مثال ۲. در هریک از عبارت‌های زیر، ابتدا پایه و توان را مشخص کنید. سپس، حاصل عبارت را به‌دست آورید.
الف) ( 1 3 ) 5 \big(\dfrac{1}{3}\big)^5 ( 3 1 ) 5
در
( 1 3 ) 5 (\frac{1}{3})^5 ( 3 1 ) 5 ، پایه و توان به‌ترتیب
1 3 \frac{1}{3} 3 1 و
5 5 5 هستند.
( 1 3 ) 5 = 1 3 × 1 3 × 1 3 × 1 3 × 1 3 = 1 243 . \begin{aligned}&\big(\frac{1}{3}\big)^5=\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{243}.\end{aligned} ( 3 1 ) 5 = 3 1 × 3 1 × 3 1 × 3 1 × 3 1 = 243 1 .
ب) ( − 2 ) 4 (-2)^4 ( − 2 ) 4
در
( − 2 ) 4 (-2)^4 ( − 2 ) 4 ، پایه و توان به‌ترتیب
− 2 -2 − 2 و
4 4 4 هستند.
( − 2 ) 4 = ( − 2 ) × ( − 2 ) × ( − 2 ) × ( − 2 ) = 16. \begin{aligned}(-2)^4=(-2)\times(-2)\times(-2)\times(-2)=16.\end{aligned} ( − 2 ) 4 = ( − 2 ) × ( − 2 ) × ( − 2 ) × ( − 2 ) = 16.
ج) 4 3 4^3 4 3
در
4 3 4^3 4 3 ، پایه و توان به‌ترتیب
4 4 4 و
3 3 3 هستند.
4 3 = 4 × 4 × 4 = 64. 4^3=4\times4\times4=64. 4 3 = 4 × 4 × 4 = 64.
د) ( 3 ) 6 \big(\sqrt{3}\big)^6 ( 3 ) 6
در
( 3 ) 6 \big(\sqrt{3}\big)^6 ( 3 ) 6 ، پایه و توان به ترتیب
3 \sqrt{3} 3 و
6 6 6 هستند.
( 3 ) 6 = ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) = 27. \big(\sqrt{3}\big)^6=\big(\sqrt{3}\big)\big(\sqrt{3}\big)\big(\sqrt{3}\big)\big(\sqrt{3}\big)\big(\sqrt{3}\big)\big(\sqrt{3}\big)=27. ( 3 ) 6 = ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) = 27.
هـ) ( − 1 ) 5 \big(-1\big)^5 ( − 1 ) 5
در
( − 1 ) 5 (-1)^5 ( − 1 ) 5 ، پایه و توان به ترتیب
− 1 -1 − 1 و
5 5 5 هستند.
( − 1 ) 5 = ( − 1 ) ( − 1 ) ( − 1 ) ( − 1 ) ( − 1 ) = − 1. (-1)^5=(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)=-1. ( − 1 ) 5 = ( − 1 ) ( − 1 ) ( − 1 ) ( − 1 ) ( − 1 ) = − 1.
و) 0 2 0^2 0 2
در
0 2 0^2 0 2 ، پایه و توان به ترتیب
0 0 0 و
2 2 2 هستند.
0 2 = 0 × 0 = 0. 0^2=0\times0=0. 0 2 = 0 × 0 = 0.
مثال ۳. در هریک از قسمت‌های زیر، ابتدا پایهٔ هر توان را مشخص کنید و سپس، حاصل عبارت را به‌دست آورید.
الف) 3 6 × 3 5 × 7 4 3^6\times 3^5\times7^4 3 6 × 3 5 × 7 4
در
3 6 × 3 5 × 7 4 3^6\times 3^5\times7^4 3 6 × 3 5 × 7 4 ، پایهٔ
6 6 6 ،
5 5 5 ، و
4 4 4 به‌ترتیب
3 3 3 ،
3 3 3 ، و
7 7 7 است.
3 6 × 3 5 × 7 4 = ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) × ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) × ( 7 ) ( 7 ) ( 7 ) ( 7 ) = 729 × 243 × 2401 = 425329947. \begin{aligned}&3^6\times 3^5\times7^4\\&=(3)(3)(3)(3)(3)(3)\times(3)(3)(3)(3)(3)\times(7)(7)(7)(7)\\&=729\times243\times2401\\&=425329947.\end{aligned} 3 6 × 3 5 × 7 4 = ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) × ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) × ( 7 ) ( 7 ) ( 7 ) ( 7 ) = 729 × 243 × 2401 = 425329947.
ب) 6 1 × 2 5 6^1\times2^5 6 1 × 2 5
در
6 1 × 2 5 6^1\times2^5 6 1 × 2 5 ، پایهٔ
1 1 1 و
5 5 5 به‌ترتیب
6 6 6 و
2 2 2 هستند.
6 1 × 2 5 = 6 × ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) = 6 × 32 = 192. \begin{aligned}&6^1\times2^5\\&=6\times(2)(2)(2)(2)(2)\\&=6\times32\\&=192.\end{aligned} 6 1 × 2 5 = 6 × ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) = 6 × 32 = 192.
ج) − 4 3 -4^3 − 4 3
در
− 4 3 -4^3 − 4 3 ، پایهٔ
3 3 3 ، عدد
4 4 4 است.
− 4 3 = − ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) = − 64. -4^3=-(4)(4)(4)=-64. − 4 3 = − ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) = − 64.
د) 9 − 2 4 − ( 3 × 7 ) 2 9-2^4-(3\times7)^2 9 − 2 4 − ( 3 × 7 ) 2
در
9 − 2 4 − ( 3 × 7 ) 2 9-2^4-(3\times7)^2 9 − 2 4 − ( 3 × 7 ) 2 ، پایهٔ
4 4 4 و
2 2 2 به‌ترتیب
2 2 2 و
3 × 7 3\times 7 3 × 7 است.
9 − 2 4 − ( 3 × 7 ) 2 = 9 − ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) − ( 3 × 7 ) ( 3 × 7 ) = 9 − 16 − 441 = − 7 − 441 = − 448. \begin{aligned}&9-2^4-(3\times7)^2\\&=9-(2)(2)(2)(2)-(3\times7)(3\times7)\\&=9-16-441\\&=-7-441\\&=-448.\end{aligned} 9 − 2 4 − ( 3 × 7 ) 2 = 9 − ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) − ( 3 × 7 ) ( 3 × 7 ) = 9 − 16 − 441 = − 7 − 441 = − 448.
هـ) 6 5 4 3 \dfrac{6^5}{4^3} 4 3 6 5
در
6 5 4 3 \dfrac{6^5}{4^3} 4 3 6 5 ، پایهٔ
5 5 5 و
3 3 3 به‌ترتیب
6 6 6 و
4 4 4 است.
6 5 4 3 = ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) = ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) 2 = 243 2 . \begin{aligned}\frac{6^5}{4^3}&=\frac{(6)(6)(6)(6)(6)}{(4)(4)(4)}\\[7pt]&=\frac{(3)(3)(3)(3)(3)}{2}\\[7pt]&=\frac{243}{2}.\end{aligned} 4 3 6 5 = ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) = 2 ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) = 2 243 .
و) − 1 1 2 × ( − 3 ) 4 -11^2\times(-3)^4 − 1 1 2 × ( − 3 ) 4
در
− 1 1 2 × ( − 3 ) 4 -11^2\times(-3)^4 − 1 1 2 × ( − 3 ) 4 ، پایهٔ
2 2 2 و
4 4 4 به‌ترتیب
11 11 11 و
− 3 -3 − 3 است.
− 1 1 2 × ( − 3 ) 4 = − ( 11 ) ( 11 ) × ( − 3 ) ( − 3 ) ( − 3 ) ( − 3 ) = − 121 × 81 = − 9801. \begin{aligned}-11^2\times(-3)^4&=-(11)(11)\times(-3)(-3)(-3)(-3)\\&=-121\times81\\&=-9801.\end{aligned} − 1 1 2 × ( − 3 ) 4 = − ( 11 ) ( 11 ) × ( − 3 ) ( − 3 ) ( − 3 ) ( − 3 ) = − 121 × 81 = − 9801.
ز) 9 − 1 0 3 × 5 4 + ( 3 5 + 5 ) 2 9-10^{3}\times5^4+\big(3^5+5)^2 9 − 1 0 3 × 5 4 + ( 3 5 + 5 ) 2
در
9 − 1 0 3 × 5 4 + ( 3 5 + 5 ) 2 9-10^{3}\times5^4+\big(3^5+5)^2 9 − 1 0 3 × 5 4 + ( 3 5 + 5 ) 2 پایهٔ
3 3 3 ،
4 4 4 ، و
2 2 2 به‌ترتیب
10 10 10 ،
5 5 5 ، و
3 5 + 5 3^5+5 3 5 + 5 است. و داخل پرانتز، پایهٔ
5 5 5 عدد
3 3 3 است.
9 − 1 0 3 × 5 4 + ( 3 5 + 5 ) 2 = 9 − ( 10 ) ( 10 ) ( 10 ) × ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) + ( ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) + 5 ) 2 = 9 − 1000 × 625 + ( 243 + 5 ) 2 = 9 − 625000 + 24 8 2 = 9 − 625000 + ( 248 ) ( 248 ) = 9 − 625000 + 61504 = − 624991 + 61504 = − 563487. \begin{aligned}&9-10^{3}\times5^4+\big(3^5+5)^2\\&=9-(10)(10)(10)\times(5)(5)(5)(5)+\big((3)(3)(3)(3)(3)+5\big)^2\\&=9-1000\times625+\big(243+5)^2\\&=9-625000+248^2\\&=9-625000+(248)(248)\\&=9-625000+61504\\&=-624991+61504\\&=-563487.\end{aligned} 9 − 1 0 3 × 5 4 + ( 3 5 + 5 ) 2 = 9 − ( 10 ) ( 10 ) ( 10 ) × ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) + ( ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) + 5 ) 2 = 9 − 1000 × 625 + ( 243 + 5 ) 2 = 9 − 625000 + 24 8 2 = 9 − 625000 + ( 248 ) ( 248 ) = 9 − 625000 + 61504 = − 624991 + 61504 = − 563487.
پرسش ۲. به‌جای 2 4 × 2 5 2^4\times2^5 2 4 × 2 5 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) × ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) (2)(2)(2)(2)\times(2)(2)(2)(2)(2) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) × ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 2 9 2^9 2 9
تمرین برای مشاهدهٔ تمرین‌های بیشتر، روی لینک زیر، کلیک کنید.
تمرین‌های توان طبیعی
ارسال کامنت و دیدگاه
در اولین فرصت به کامنت شما پاسخ می‌دهیم و بلافاصله یک ایمیل برایتان ارسال می‌کنیم. ❤️پرسش اول : بله
43^2
در واقع منظور 2 به توان 43 هستش
پرسش دوم : انتخاب ب یا دو به توان نه
سلام خسته نباشید در مثال 10 قسمت ج جواب رو چرا در جواب پرانتز اول نوشتید 17*3 به توان 3 مگه نمیشه 17*3 به توان 6؟؟؟؟؟
سلام
با عرض پوزش، در صورت مسئله یک اشتباه تایپی رخ داده بود که اصلاح شد.
با سپاس فراوان از شما که تذکر دادید.