برای اینکه درسنامهٔ دنباله حسابی را به‌خوبی بیاموزید، حتماً روی لینک زیر کلیک کنید و از روش ارائه شده در آن استفاده کنید.
چگونه درسنامه‌های سایت تکمیلی را بخوانیم؟
شاید آسان‌ترین روش برای تولید یک دنباله این باشد که از عدد $a$ شروع کنیم و برای ساختن جمله‌های بعدی، هربار، جملهٔ قبلی را با عدد ثابت $d$ جمع کنیم.
تعریف دنبالهٔ حسابی
یک دنبالهٔ حسابی، دنباله‌ای به‌صورتِ\[a,a+d,a+2d,a+3d,a+4d,\dots\]است که در آن عدد $a$ جملهٔ اول دنباله است و عدد $d$ را قدرنسبت دنباله می‌نامند.
جملهٔ عمومی یک دنبالهٔ حسابی
بنابه تعریف دنبالهٔ حسابی، اگر $a$ و $d$ به‌ترتیب جملهٔ اول و قدرنسبت یک دنبالهٔ حسابی باشند، آن‌وقت جملهٔ عمومی این دنباله برابر است با:\[a_n=a+(n-1)d.\]
مثال ۱. در یک دنبالهٔ حسابی، اگر $a=2$ و $d=3$، آن‌وقت پنج جملهٔ اول و جملهٔ عمومی آن را بنویسید.
پنج جملهٔ اول این دنباله برابر است با:\[2,2+3,2+6,2+9,2+12,\dots\]
یا\[2,5,8,11,14,\dots.\]جملهٔ عمومی این دنباله برابر است با:\[a_n=2+3(n-1).\]
مثال ۲. قدرنسبت و جملهٔ عمومی دنبالهٔ زیر را به‌دست آورید.\[9,4,-1,-6,-11,\dots\]
قدرنسبت این دنباله برابر $-5$ است، یعنی $d=-5$. بنابراین، جملهٔ عمومی این دنباله برابر است با:\[a_n=9-5(n-1).\]
مثال ۳. الف) شش جملهٔ اول دنبالهٔ حسابی $a_n=1+2(n-1)$ را روی یک نمودار نشان دهید.
ب) نشان دهید که همهٔ جمله‌های دنبالهٔ $a_n=1+2(n-1)$ روی یک خط قرار دارند و معادلهٔ آن خط را به‌دست آورید.
ج) شیب خط به‌دست آمده در قسمت «ب» نشان‌دهندهٔ چه چیزی در دنبالهٔ $a_n=1+2(n-1)$ است؟
الف) در دنبالهٔ حسابی $a_n=1+2(n-1)$، داریم $a=1$ و $d=2$. بنابراین، شش جملهٔ اول این دنبالهٔ حسابی عبارتند از:\[1,3,5,7,9,11.\]
جمله‌های بالا، در نمودار زیر نشان داده شدهاند.
ب) چون\[\begin{aligned}a_n&=1+2(n-1)\\&=1+2n-2\\&=2n-1\end{aligned}\]پس همهٔ جمله‌های دنبالهٔ $a_n$ روی خط $y=2x-1$ قرار دارند.
ج) شیب خط بالا، همان قدرنسبت دنبالهٔ $a_n$ است(؟).
مثال ۴. دنبالهٔ زیر، یک دنبالهٔ حسابی است.\[13,7,1,-5,\dots\]
جملهٔ عمومی و سیصدمین جملهٔ این دنباله را به‌دست آورید.
واضح است که اولین جملهٔ این دنباله برابر $13$ است. پس:\[a=13.\]از طرفی،\[d=7-13=-6.\]بنابراین، جملهٔ عمومی این دنباله برابر است با:\[a_n=13-6(n-1).\]و در نتیجه، داریم:\[\begin{aligned}a_{300}&=13-6(300-1)\\&=13-6(299)\\&=13-1794\\&=-1781.\end{aligned}\]یعنی سیصدمین جملهٔ این دنباله برابر $-1781$ است.
مثال ۵. دربارهٔ یک دنبالهٔ حسابی، می‌دانیم $11$اُمین جملهٔ آن برابر $52$، و $19$اُمین جمله‌اش برابر $92$ است. هزارمین جملهٔ این دنباله، چه عددی است؟
جملهٔ عمومی این دنباله، به‌صورت\[a_n=a+(n-1)d\]است. پس کافی است $a$ و $d$ را به‌دست آوریم.
می‌دانیم که $11$اُمین جملهٔ این دنبالهٔ حسابی برابر $$52 است. پس\[\begin{aligned}&a_{11}=a+(11-1)d\\&\Rightarrow 52=a+10d.\quad(1)\end{aligned}\]همچنین می‌دانیم که $19$اُمین جملهٔ این دنبالهٔ حسابی برابر $92$ است. پس\[\begin{aligned}&a_{19}=a+(19-1)d\\&\Rightarrow 92=a+18d.\quad(2)\end{aligned}\]حال، با استفاده از رابطههای $(1)$ و $(2)$ میتوانیم $a$ و $d$ را به‌دست آوریم.
\[\begin{aligned}&\left\{\begin{aligned}&52=a+10d\\&92=a+18d\end{aligned}\right.\\&\Rightarrow 92-52=(a+18d)-(a+10d)\\&\Rightarrow 40=8d\\&\Rightarrow 5=d.\end{aligned}\]با جایگذاری $d=5$ در رابطهٔ $(1)$ داریم:\[\begin{aligned}&52=a+10(5)\\&\Rightarrow52=a+50\\&\Rightarrow 2=a.\end{aligned}\]پس، جملهٔ عمومی این دنباله برابر است با:\[a_n=2+5(n-1).\]در نتیجه:\[\begin{aligned}a_{1000}&=2+5(1000-1)\\&=2+5(999)\\&=2+4995\\&=4997.\end{aligned}\]
مثال ۶. مینو به‌دلیل بیماری‌اش، تا امروز $100$ میلی‌گرم از دارویی را استفاده می‌کرده است. دکترِ مینو به او گفته که از فردا تا پنج روز بعد، هر روز به مقدار یکسانی، دُز دارویش را افزایش دهد به‌طوری‌که در روز پنجم، دُز دارو به $300$ میلی‌گرم برسد. در هریک از چهار روز آینده، مینو باید چقدر از دارویش را مصرف کند؟
فرض کنید میزان داروی مصرفیِ امروز مینو را با $a_1$، و پنج روز بعد را به‌ترتیب به $a_2$ تا $a_6$ نمایش دهیم. چون\[\begin{aligned}a_1&=100,\\a_6&=300\end{aligned}\]و\[\begin{aligned}&a_6=a_1+5d\\&\Rightarrow300=100+5d\\&\Rightarrow200=5d\\&\Rightarrow40=d\end{aligned}\]
پس میزان داروی مصرفی امروز، و پنج روز آیندهٔ مینو، به‌ترتیب برابر است با:
\[\begin{aligned}&100,\\&100+40=140,\\&100+40\times2=180,\\&100+40\times3=220,\\&100+40\times4=260,\\&100+40\times5=300.\end{aligned}\]
مثال ۷. در الگوی زیر، تعداد دایره‌های شکل دوازدهم چندتاست؟
واضح است که تعداد دایره‌ها، یک دنبالهٔ حسابی می‌سازند.
جملهٔ اول این دنباله برابر $5$ و قدرنسبت آن برابر $3$ است. بنابراین، جملهٔ عمومی این دنباله برابر است با:\[a_n=5+3(n-1).\]
در نتیجه:
\[\begin{aligned}a_{12}&=5+3(11)\\&=5+33\\&=38.\end{aligned}\]
برای اینکه به مطالب این درس مسلط‌تر شوید، تمرین‌های دنبالهٔ حسابی را حل کنید.
تمرین‌های دنبالهٔ حسابی
ارسال کامنت و دیدگاه
در اولین فرصت به کامنت شما پاسخ می‌دهیم و بلافاصله یک ایمیل برایتان ارسال می‌کنیم. ❤️