شمارش طرح‌های مثلثی

برای شروع، \(2\) مثلث را در \(2\) گوشه مشخص می‌کنیم (مثلث بالایی و مثلث گوشۀ راست پایین). باید دقت کنیم که با دوران این حالت الگوی جدیدی ایجاد نمی‌شود. برای آن‌که بهتر حالت‌های ممکن را بررسی کنیم، همانند شکل \(A\)، مثلث‌های داخلی را از \(1\) تا \(6\) شماره‌گذاری می‌کنیم.

کافیست تنها یکی از \(6\) مثلث شماره‌گذاری شده را رنگ کنیم تا یک الگوی جدید ایجاد شود.
چون دو مثلث \(2\) و \(6\)، ضلع مشترک با مثلث‌های رنگ شدۀ گوشه دارند، پس نمی‌توان این دو مثلث را رنگی کرد.
طبق شکل ۲، اگر مثلث \(1\) را رنگ کنیم، اولین الگوی این دسته را خواهیم داشت.

همچنین دومین و سومین الگوی این دسته، هنگامی به‌دست می‌آید که طبق شکل‌های ۳ و ۴، مثلث‌های \(3\) و \(4\) را رنگ کنیم (به ترتیب).

باید به این نکته توجه کنیم که اگر مثلث \(5\) را رنگ کنیم، شکلی حاصل می‌شود که با بازتاب می‌توان آن را به شکل ۳ تبدیل کرد؛ بنابراین، الگوی جدیدی نخواهد بود.

شکل‌های ۲، ۳، و ۴ با دوران یا بازتاب به یکدیگر تبدیل نمی‌شوند. بنابراین، \(3\) الگوی متفاوت داریم که در آن‌ها \(2\) مثلث دارای \(2\) گوشۀ رنگی هستند.

ابتدا مثلث رنگی گوشه را مشخص می‌کنیم (در بالا)، و می‌دانیم رنگی بودن مثلث در دو گوشۀ دیگر الگوی جدیدی ایجاد نمی‌کند. همانند شکل \(B\) مثلث‌های داخلی را از \(1\) تا \(6\) شماره‌گذاری می‌کنیم.

کافیست \(2\) مثلث از \(6\) مثلث شماره‌گذاری شده را رنگ کنیم تا یک الگوی جدید ایجاد شود.
چون مثلث \(6\)، ضلع مشترک با مثلث رنگ شدۀ گوشه دارد، پس نمی‌توان این مثلث را رنگی کرد. باید دقت کنیم که مثلث‌هایی که ضلع مشترک دارند را نمی‌توان رنگ کرد.
طبق شکل ۵ اگر دو مثلث \(1\) و \(3\) را رنگ کنیم، اولین الگوی این دسته را خواهیم داشت.

شکل ۶ با رنگ کردن مثلث‌های \(1\) و \(4\)، شکل ۷ با رنگ کردن مثلث‌های \(1\) و \(5\)، و شکل ۸، با رنگ کردن مثلث‌های \(2\) و \(4\) به‌دست می‌آید:

اگر مثلث‌های \(2\) و \(5\) را رنگ کنیم، با شکل ۶ یکسان است و اگر مثلث‌های \(3\) و \(5\) را رنگ کنیم، با شکل ۵ یکسان خواهد بود.

شکل‌های ۵، ۶، ۷، و ۸ با دوران یا بازتاب یکسان نیستند. حالت دیگری هم برای رنگ کردن \(2\) مثلث نداریم. بنابراین، \(4\) الگوی متفاوت داریم که در آن‌ها \(1\) مثلث گوشه‌ای رنگی است.

همانند شکل \(C\) مثلث‌های داخلی را از \(1\) تا \(6\) شماره‌گذاری می‌کنیم.

کافیست \(3\) مثلث از \(6\) مثلث شماره‌گذاری شده را رنگ کنیم تا یک الگوی جدید ایجاد شود.
چون دو مثلث با ضلع مشترک نمی‌توانند رنگ شوند، پس تنها \(2\) الگو برای این دسته داریم:
\(\bullet\) رنگ کردن مثلث‌های \(1\)، \(3\)، و \(5\) (شکل ۹)،
\(\bullet\) یا رنگ کردن مثلث‌های \(2\)، \(4\)، و \(6\) (شکل ۱۰).

شکل‌های ۹ و ۱۰ یکسان نیستند. بنابراین، \(2\) الگوی متفاوت داریم که در آن‌ها هیچ مثلثی در گوشه رنگی نیستند.